r = b-d

1. N Si N< N * Efecto de la Competencia intraespecífica sobre el crecimiento poblacional: Modelo logístico o con densodependencia r = b-d b (N) d (N) r (N) r N * d b N * N * r= 0 N N t r= Valores positivos para N < N* , valores negativos para N > N*

2. Desde valores mayores y menores se tiende a N* = K Equilibrio Estable N K= Capacidad de carga del ambiente= Densidad que puede soportar el ambiente en equilibrio N * t Equilibrio Estable Equilibrio inestable

3. N K r (N) b (N) d r d b N d r<0 r>0 b b d (N) r (N) N

4. Denso- independencia inversa r<0 r b r>0 d N* N N* N b (N) d (N) N* t

5. Modelo logístico N K r N r (N) = r0 x (K- N)/K r (N) = r0 x (1- N/K) r (N)= r0 – r0 x N/K r t r0 r0/K K N

6. Efecto de variaciones al azar sobre b y d d Valor medio Desvíos b K ± d d - d K + d N K d t

7. Reclutamiento Neto dN/dt = r x N Pero r = r0 x (K-N)/K dN/dt = r0 x N x (K- N)/K N K/2 K

8. Número de nacimientos y muertos en función de N Número de nacimientos= b (N) x N Número de nacimientos Aumenta Disminuye Número de muertes N Reclutamiento neto Número de muertes= d (N) x N

9. Modelo Exponencial • Cuando las tasas de natalidad y mortalidad son independientes de la densidad • No hay factores externos que las modifiquen • La tasa intrínseca de crecimiento poblacional es constante • La tasa de reclutamiento neto aumenta con la densidad • El crecimiento poblacional es exponencial dN/dt r N N t N

10. Modelo logístico: N t • Cuando las tasas de natalidad y mortalidad son dependientes de la densidad • La disponibilidad de recursos impone un límite al crecimiento • La tasa intrínseca de crecimiento poblacional disminuye con la densidad • La tasa de reclutamiento neto muestra una curva en n con la densidad • El crecimiento poblacional es logístico dN/dt r N N

11. Constantes: densoindependientes Parámetros poblacionales Densodependientes Variables Densoindependientes Efecto densoindependiente: estocástico Efecto densodependiente ± ± P0

12. Los efectos de la densidad son inmediatos: dNt /dt= r Nt (K-Nt)/K No hay tiempo de retardo r disminuye inmediatamente con N Los efectos de la densidad no son inmediatos: Modelos con tiempo de retardo dNt /dt= r Nt (K-Nt-τ)/K Hay tiempo de retardo τ r disminuye de acuerdo a N en t- τ

13. K Crecimiento poblacional con retraso en el efecto de la denso dependencia sobre la tasa de crecimiento poblacional Oscilaciones amortiguadas K sigue siendo un punto de equilibrio estable Si τ y r son pequeños

14. N K t Crecimiento poblacional con retraso en el efecto de la densodependencia sobre la tasa de crecimiento poblacional τ τ Amplitud: 2 τ Si τ y r son intermedios

15. De un punto de equilibrio estable K pasamos a dos inestables K+ n K-n K A medida que τ o r aumentan, aumenta el número de puntos de equilibrio

16. r * τ K+ n + n + n K+ n + n - n K+ n + n K+ n-n K+n K+ n – n + n K+ n- n - n K K- n + n + n K- n + n - n K- n + n K- n-n K-n K- n – n + n K- n- n - n 1 2 4 8 2 n

17. A medida que aumenta r * τcada incremento produce un mayor efecto en la dinámica Bifurcaciones de Hopf 20 21 22 232 n Puntos de equilibrio 1 2 4 8 2 n Caos r * τ

18. N t En el modelo logístico con tiempo de retraso • El aumento de r • Causa un cambio en la dinámica • Aumenta el número de puntos de equilibrio N > r N < r t N t Sin retraso Con retraso t t

19. N N K K K t t El modelo logístico discreto tiene incorporado el Tiempo Generacional como tiempo de retardo Modelo logístico discreto Modelo logístico continuo τ = Tiempo generacional