POLIEDROS Professor: Ruy Ângelo

1. POLIEDROSProfessor: Ruy Ângelo • DOIS DESSES POLÍGONOS NÃO ESTÃO NUM MESMO PLANO; • CADA LADO DE UM POLÍGONO É COMUM A DOIS E SOMENTE DOIS POLÍGONOS • Polígono: Figura fechada simples formada por segmentos de retas SÓLIDO LIMITADO POR POLÍGONOS PLANOS, DE MODO QUE:

2. POLIEDROS REGULARES

3. PLANIFICAÇÃO

4. RELAÇÃO DE EULER Uma igualdade descoberta por Euler em 1751 relaciona os números V de vértices, F de faces e A de arestas: V - A + F = 2. Na tabela que se segue pode verificar-se diretamente a validade desta fórmula de Euler no caso dos cinco poliedros regulares, dos prismas e das pirâmides; a fórmula é verdadeira para outros poliedros , mas não para todos.

6. Exemplo Um poliedro convexo possui seis faces quadrangulares e duas hexagonais. Calcular o número de vértices desse poliedro Vamos inicialmente determinar o número de arestas: Resposta: 18 arestas Aplicando a relação de Euler: V – A + F = 2 Resposta Final: 12 vértices.

7. O estudo dos poliedros é dividido em Prismas e Pirâmides. Vamos inicialmente trabalhar com os prismas. PRISMAS

8. Prisma de base hexagonal

9. Os prismas são formados por dois planos paralelos, em um dos planos há um polígono e todas as retas com extremidades nesse polígono tem a outra extremidades no outro plano, Veja a figura abaixo: Podemos dizer então que um prisma possui duas bases em planos diferentes.

10. Toda figura geométrica possui elementos específicos, Veja a figura abaixo, onde estão representados todos os elementos de um prisma. Os polígonos ABCDEF e A’B’C’D’E’F’ são as bases desse prisma. ►Os pontos A,B,C,D,E,F,A’,B’,C’,D’,E’,F’ são os vértices do prisma. ►Os segmentos de reta:                              são as arestas laterais do prisma (arestas que formam as faces laterais). ►As bases também possuem arestas os segmentos de reta que formam essas arestas são:►Uma reta perpendicular as duas bases é a altura do prisma. Os polígonos formados pelos pontos são as faces laterais do polígono.

11. Prisma regular: é um prisma reto cuja base é um polígono regular.

12. Áreas das figuras planas. Situação problema: Um fabricante de embalagens de papelão quer construir uma caixa em forma de prisma hexagonal regular. Sabendo que a altura da caixa é de 20 cm e que o lado do polígono da base mede 16 cm, calcule a área de papelão necessária para se construir essa embalagem. Admita que se utilize 25% a mais de material do que o estritamente calculado, devido às sobras de papelão e para que seja possível fazer colagens necessárias à confecção da caixa.

13. Áreas e superfícies de prismas.

14. Perímetrodefigurasplanas • Área do retângulo • Área do quadrado • Área do paralelogramo • Área do losango • Área do triângulo • Área do trapézio • Área do hexágono • Área do círculo

15. Área do retângulo d b a

16. 1)Calcule a área de uma superfície retangular sabendo que a base é o dobro da medida da altura e a diagonal mede 5 metros.

17. Área do quadrado d a

18. 2)Um hexaedro regular tem a diagonal medindo 6cm. Calcule a área total desse prisma.

19. 3)Um terreno tem a forma da figura abaixo e suas medidas estão representadas na figura abaixo. Calcule a área desse terreno. 16cm 20cm 135°

20. h b a a a D d a a • Área do paralelogramo • Área do losango

21. Determine o volume do prisma oblíquo cuja base é um paralelogramo com dois ângulos de 120°. 10cm 60° 6cm 5cm

22. h a c a h b • Área do Triângulo Equilátero. • Área do triângulo

23. Calcule a área de um triângulo cujas medidas dos lados são 10cm, 12cm e 8cm.

24. L L L L L L • Área do trapézio b m h B • Área do hexágono regular

25. POLÍGONO REGULAR DE “n” LADOS L L L L L a L L L

26. Exemplo Qual a área de um icoságono cujo apótema mede 12 cm . (Use:tg 9°= 0,16)

27. Área do círculo • Perímetro • Diâmetro r r r r r • Área do setor circular

28. R r • Área da coroa circular

29. Cálculo de áreas especiais Contar o número de quadrados inteiros no interior da figura; 43 Contar o número de quadrados inteiros que cobrem toda a figura. 80 Soma todos e divide por dois

30. Calcule a área da figura abaixo.

31. Atividade 1)Uma barra de chocolate tem o formato da figura abaixo. Calcule o volume de chocolate contido nessa barra. 4 4 4 12

33. Um poliedro é formado por 8 triângulos e 6 octógonos. Quantos vértices esse poliedro possui, sabendo que ele obedece a relação de Euler? Mostre fazendo os cálculos. (Veja a sua planificação)

34. PLANIFICAÇÃO DA PIRÂMIDE PIRÂMIDE

35. 1) Uma barraca piramidal é sustentada por seis hastes metálicas cujas extremidades são o vértice da pirâmide e os seis vértices da base. A base é um polígono cujos lados têm todos o mesmo comprimento, que é de 3 m. Se a altura da barraca é de 3 m, qual é o volume de ar nessa barraca?

36. 2) Uma peça de vidro tem o formato e as medidas da figura. Supondo-a maciça, qual o volume de vidro usado para fazer essa peça?

37. 3)Uma pedra preciosa tem a forma da figura abaixo. Sabendo que a pedra tem 6 mm em todas as arestas, calcule o volume da pedra.

38. PLANIFICAÇÃO DO TRONCO DA PIRÂMIDE TRONCO DE PIRÂMIDE

39. CILINDRO Área lateral é a área de um retângulo .

40. 1)Um aquário cilíndrico, com 30cm de altura e área da base igual a 1200cm2, está com água até a metade de sua capacidade. Colocando-se pedras dentro desse aquário, de modo que fiquem totalmente submersas, o nível da água sobe para 16,5cm. Então, calcule o volume das pedras.   

41. 2) Um sólido é totalmente mergulhado em um cilindro contendo água, causando a elevação do nível da água em 1,5 cm. Se o raio da base do cilindro mede 5 cm, qual o volume do sólido?

42. CONE RETO CONE OBLÍQUO VOLUME V • G=geratriz O V’ CONE EQUILÁTERO. G=2R Pelo Teorema de Pitágoras calcule h em função de R. G=geratriz

44. Elementos do Cone: Base - S Raio - r Vértice - V Geratriz - g Eixo - OV Altura - h Seção transversal - S' Seção reta - S'' Seção meridiana - AVB

45. Exemplo 1 A geratriz de um cone equilátero mede cm. Calcule a área da secção meridiana do cone, em cm².

46. 2)Bárbara colocou uma casquinha de sorvete dentro de uma lata cilíndrica, conforme a figura, de mesma base, mesmo raio R e mesma altura h da casquinha. Em seguida preencheu a região toda acima da casquinha com sorvete. Mostre com cálculos onde cabe mais sorvete. Se dentro da casquinha ou na forma inventada por ela?

47. TRONCO DE CONE

48. (1 UFRN)

49. Definição de uma esfera Uma esfera é definida como um sólido de centro O e raio R cujos conjunto de pontos do espaço estão a uma distância do centro igual ou menor que R. ÁreaA área de uma esfera pode ser obtida a partir da expressão: A = 4 π . R2 • VolumeO volume da esfera é dado pela expressão: • V =  4  .  π. R3        3

50. Questão 1 Considere o planeta terra como uma esfera de raio R=6400Km. Sabendo que aproximadamente 70% de sua superfície é coberta por água e desprezando o relevo da superfície terrestre, determine a área ocupada pelas terras não submersas em nosso planeta. Considere Л=3.