1 / 31

BAB VII RUANG VEKTOR UMUM (lanjutan)

BAB VII RUANG VEKTOR UMUM (lanjutan). 7.5 Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null Definisi Untuk suatu matriks m x n. vektor-vektor r 1 = [a 11 a 12 … a 1n ] r 2 = [a 21 a 22 … a 2n ] ⋮ r m = [a m1 a m2 … a mn ]

ember
Télécharger la présentation

BAB VII RUANG VEKTOR UMUM (lanjutan)

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. BAB VII RUANG VEKTOR UMUM (lanjutan)

  2. 7.5 Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null Definisi Untuk suatu matriks mxn vektor-vektor r1 = [a11 a12 … a1n] r2 = [a21 a22 … a2n] ⋮ rm = [am1 am2 … amn] pada Rn yang dibentuk dari baris-baris A disebut sebagai vektor baris (row vector) dari A, dan vektor-vektor

  3. pada Rm yang dibentuk dari kolom-kolom A disebut sebagai vektor kolom (column vector) dari A. Contoh 7.7 Vektor-vektor baris dari A adalah Vektor-vektor kolom dari A adalah

  4. Definisi Jika A adalah suatu matriks m x n, maka subruang dari Rn yang direntang oleh vektor-vektor baris dari A disebut ruang baris (row space) dari A, dan subruang dari Rm yang direntang oleh vektor-vektor kolom disebut ruang kolom (column space) dari A. Ruang solusi dari sistem persamaan yang homogen Ax = 0 yang merupakan subruang dari Rn disebut ruang null (null space) dari A. Teorema 7.5.1 Suatu sistem persamaan linier Ax = b adalah konsisten jika dan hanya jika b berada pada ruang kolom dari A.

  5. Contoh 7.8 Misal Ax = b adalah sistem linier Tunjukkan bahwa b berada pada ruang kolom dari A dan nyatakan b sebagai suatu kombinasi linier dari vektor-vektor kolom dari A. Penyelesaian Dengan menyelesaikan sistem persamaan linier didapat x1 = 2, x2 = –1, x3 = 3. Karena sistem ini konsisten, maka b berada pada ruang kolom dari A.

  6. Matriks sistem persamaan linier dapat ditulis menjadi

  7. Teorema 7.5.2 Jika x0 menotasikan solusi tunggal sembarang dari suatu sistem linier konsisten Ax = b, dan jika v1, v2, …, vk membentuk suatu basis untuk ruang null dari A , yaitu ruang solusi dari sistem homogen Ax = 0 , maka setiap solusi dari Ax = b dapat dinyatakan dalam bentuk: x = x0 + c1v1 + c2v2 + … + ckvk Vektor x0 disebut solusi khusus dari Ax = b Vektor-vektor x0 + c1v1 + c2v2 + … + ckvk disebut solusi umum dari Ax = b Vektor-vektor c1v1 + c2v2 + … + ckvk disebut solusi umum dari Ax = 0

  8. Contoh 7.9 Tentukan solusi umum dan khusus dari sistem persamaan linier nonhomogen Ax = b berikut. x1 + 3x2 – 2x3 + 2x5 = 0 2x1 + 6x2 – 5x3 – 2x4 + 4x5 – 3x6 = –1 5x3 – 10x4 – 15x6 = 5 2x1 + 6x2 + 8x4 + 4x5 + 18x6 = –1 Penyelesaian R2 – 2R1 R4 – 2R1

  9. –R2 R3 – 5R2 R4 – 4R2 R3 R4 R4 R3

  10. 1/6R3 R2 – 3R3 R1 + 2R3

  11. Sistem persamaan yang bersesuaian dengan matriks diatas adalah: x6 = 1/3 x3 + 2x4 = 0 x3 = –2x4 x1 + 3x2 + 4x4 +2x5 = 0  x1 = –3x2 –4x4 –2x5 Tetapkan nilai-nilai x2,x4 dan x5, yaitu: x2 = r,x4 = s, x5 = t, didapat: x1 = –3r – 4s –2t x3 = –2s

  12. atau: x1 = 0 –3r – 4s –2t x2 = 0 + r + 0s+ 0t x3 = 0 + 0r – 2s + 0t x4 = 0 + 0r + s + 0t x5 = 0 + 0r + 0s + t x6 =1/3 + 0r + 0s + 0t Hasil ini dapat ditulis dalam bentuk vektor, yaitu:

  13. Solusi umum:

  14. Basis Untuk Ruang Null Ruang null adalah ruang solusi dari sistem persamaan linier homogen Ax = 0 yang merupakan subruang dari Rn. Contoh 7.10 Tentukan basis untuk ruang null dari Penyelesaian

  15. R1 +R2 R2 +R1 1/3R2

  16. R3 – R1 –1/3R3 R3 – R2

  17. R3 – R2 1/3R4 R4 – R3

  18. x4 = 0 x3 – 2x4 + x5 = 0  x3 + x5 = 0  x3 = –x5 x1 + x2 + x3 – 3x4 + 2x5 = 0  x1 + x2 + x3 + 2x5 = 0  x1 + x2 – x5 + 2x5 = 0  x1 + x2 + x5 = 0  x1 + x2 = – x5 Jika ditentukan nilai x5 = t, maka x3 = –t Jika ditentukan nilai x2 = s, maka x1 = –s –t Basis : (–1, 1, 0, 0, 0), (–1, 0, –1, 0, 1)

  19. Basis Untuk Ruang Baris dan Ruang Kolom Jika suatu matriks R berada dalam bentuk eselon baris, maka vektor-vektor baris dgn 1 utama (yaitu vektor-vektor baris tak-nol) membentuk suatu basis untuk ruang baris dari R, dan vektor-vektor kolom dengan 1 utama dari vektor-vektor baris membentuk suatu baris untu ruang kolom dari R. Contoh 7.11 Tentukan basis-basis untuk ruang baris dan ruang kolom dari,

  20. Penyelesaian Basis untuk ruang baris dari R adalah vektor-vektor r1 = [1, –2, 5, 0, 3] r2 = [0, 1, 3, 0, 0] r3 = [0, 0, 0, 1, 0] Basis untuk ruang kolom dari R adalah vektor-vektor

  21. Contoh 7.12 Tentukan basis-basis untuk ruang baris dan ruang kolom dari, Penyelesaian Reduksi A menjadi bentuk eselon baris,

  22. Basis untuk ruang baris dari R adalah vektor-vektor r1 = [1, –3, 4, –2, 5, 4] r2 = [0, 0, 1, 3, – 2, –6] r3 = [0, 0, 0, 0, 1, 5] Basis untuk ruang kolom dari R adalah vektor-vektor Basis untuk ruang kolom dari A adalah vektor-vektor

  23. Latihan Nyatakan hasil kali Ax sebagai suatu kombinasi linier dari vektor-vektor kolom dari A. Tentukan, apakah b berada pada ruang kolom dari A. Jika ya, nyatakan b sebagai suatu kombinasi linier dari vektor-vektor kolom dari A. a. b.

  24. 3. Tentukan basis untuk ruang null dari A. 4. Tentukan basis untuk ruang baris dan ruang kolom dari A pada soal 3.

  25. 7.6 Rank dan Nulitas Ruang Matriks Dasar Pada matriks A dan AT terdapat 6 ruang vektor utama, yaitu: Ruang baris A Ruang baris AT Ruang kolom A Ruang kolom AT Ruang nul A Ruang nul AT Jika kita amati matriks A dan AT : Ruang baris pada matriks A = ruang kolom matriks AT Ruang kolom pada matriks A = ruang baris matriks AT Sehingga bisa disimpulkan bahwa dari sembarang matriks A dan transposenya, terdapat 4 ruang matriks dasar.

  26. Teorema 7.6.1 Jika A adalah suatu matriks sembarang, maka ruang baris dan ruang kolom dari A memiliki dimensi yang sama. Definisi Dimensi umum dari ruang baris dan ruang kolom dari suatu matirks A dinyatakan sebai rank(A); dimensi untuk ruang nul dari A disebut sebagai nulitas(A) . Contoh 7.13 Tentukan rank dan nulitas dari, Penyelesaian

  27. Operasi baris terhadap matriks A didapat matriks dalam bentuk eselon baris berikut. Karena terdapat 2 baris dan 2 kolom yang mengandung 1 utama (leading 1), maka rank(A) = 2 Untuk menentukan nulitas (A), kita harus menentukan ruang solusi dari Ax = 0. Dari matriks eselon baris didapat, x1 – 4x3 – 28x4 – 37x5 + 13x6 = 0 x2 – 2x3 – 12x4 – 16x5 + 5x6 = 0

  28. Sehingga, x1 = 4x3 + 28x4 + 37x5 – 13x6 x2 = 2x3 + 12x4 + 16x5 – 5x6 x1 dan x2 adalah variabel utama x3 , x4, x5, x6 adalah variabel bebas Solusi umum dari sistem persamaan linier adalah, x6 = r x5 = s x4 = t x3 = u x2 = 2u + 12t + 16s – 5r x1 = 4u + 28t + 37s – 13r r, s, t, dan u adalah parameter

  29. Solusi umum dari sistem persamaan linier dapat ditulis dalam bentuk vektor seperti berikut ini. Jumlah vektor yang membentuk ruang solusi adalah 4 buah vektor, sehingga nulitas(A) = 4

  30. Teorema 7.6.2 Jika A adalah suatu matriks sembarang, maka rank (A) = rank (AT) Teorema 7.6.3 Teorema Dimensi untuk Matriks Jika A adalah suatu matriks dengan n kolom, maka rank (A) + nulitas (A) = n Jumlah Variabel utama Jumlah Variabel bebas n = +

  31. Latihan Tentukan rank dan nulitas dari matriks berikut. a. b.

More Related