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第 3 章

第 3 章. 数据表示、数据运算算法 和逻辑电路实现. 教师：吴莉 电话： 13807056518. 本章主要内容. 信息编码、码制转换与检错纠错码 数据表示 —— 常用的信息编码 二进制数值数据的编码与运算算法. 数字化编码二要素. 数值 文字 符号 语音 图形 图像 等统称数据， 在计算机内部，都必须用 数字化编码 的形式 被 存储 加工 和 传送 数字化编码 二要素 : 少量简单的基本符号 一定的组合规则 用以表示 大量复杂多样 的信息. 基二码（二进制码）. 只使用 两个 基本点符号： １ ０ 符号个数 最少 ，物理上容易实现

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第 3 章

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  1. 第3章 数据表示、数据运算算法和逻辑电路实现 教师：吴莉 电话：13807056518

  2. 本章主要内容 • 信息编码、码制转换与检错纠错码 • 数据表示——常用的信息编码 • 二进制数值数据的编码与运算算法

  3. 数字化编码二要素 数值 文字 符号 语音 图形 图像 等统称数据， 在计算机内部，都必须用数字化编码的形式 被 存储加工和传送 数字化编码二要素: • 少量简单的基本符号 • 一定的组合规则 用以表示大量复杂多样的信息

  4. 基二码（二进制码） 只使用两个基本点符号：１０ 符号个数最少，物理上容易实现 与二值逻辑的 真假两个值对应简单 用二进制码表示数值数据运算规则简单

  5. 进位记数法与进制转换 进位记数法 -k N D = r i * i i=m-1 N 代表一个数值 r 是这个数制的基(Radix) i表示这些符号排列的位号 D 是位号为i的位上的一个符号 i i r 是位号为i的位上的一个 1 代表的值 D r i 是第i位的所代表的实际值 * i 表示m+k位的值求累加和

  6. 十进制转二进制 整数部分除2取余 小数部分乘2取整 1 1 0.625 * 2 2 1 低 0.25 * 2 5 高 1 2 1 0 0 0.5 * 2 2 2 1 1 1 2 高 0.0 低 0 除尽为止求得位数满足要求为止 从二进制数求其十进制的值，逐位码权累加求和

  7. 二到八或十六进制转换 二到八 从小数点向左右三位一分组 （10 011 100 . 01)2 = ( 234 . 2 )8 010 二到十六 从小数点向左右四位一分组 （1001 1100 . 01)2 = ( 9C . 4 )16 0100 说明：整数部分不足位数对转换无影响， 小数部分不足位数要补零凑足,否则出错。

  8. 二进制数据算术运算规则 (1) 加法运算规则 0+0=0 例如： 0101 0+1=1 +) 0001 1+0=1 0110 1+1=0 并产生进位 (2) 减法运算规则 0-0=0 例如： 1011 0-1=1 并产生借位-) 0101 1-0=1 0110 1-1=0

  9. 二进制数据算术运算规则 • 乘法运算规则例如： 1101 0X0=0 X) 0101 0X1=0 1101 1X0=0 1101 1X1=1 1000001 • 除法运算规则 1101 例如： 1110101/1001 1001 1110101 1001 1011 1001 01001 1001 0 0000

  10. 检错纠错码 为了提高计算机的可靠性，除了采取选用更高可靠性的器件，更好的生产工艺等措施之外，还可以从数据编码上想一些办法，即采用一点冗余的线路，在原有数据位之外再增加一到几位校验位，使新得到的码字带上某种特性，之后则通过检查该码字是否仍保持有这一特性，来发现是否出现了错误，甚至于定位错误后，自动改正这一错误，这就是我们这里说的检错纠错编码技术。

  11. 纠错码分类 纠错码 校验位与信息位 的形成关系 线性码 非线性码 分组码 信息位与校验位 的约束条件 卷积码 码字本身的 结构特点 非循环码 循环码 信息位与校验位排列位置关系 随机 错误 突发 错误 非系统码 系统码

  12. 几种常用的检错纠错码 我们只介绍三种常用的检错纠错码： 奇偶检错码， 用于并行数据传送中 海明检错与纠错码，用于并行数据传送中 循环冗余码， 用于串行数据传送中 原始数据 码 字 结果数据 传送 编码过程 译码过程 形成校验位的值，加进特征 检查接送的码字，发现 / 改正错误

  13. 奇偶校验码 用于并行码检错 原理：在 k 位数据码之外增加 1 位校验位， 使 K+1 位码字中取值为 1 的位数总保持 为 偶数（偶校验）或 奇数（奇校验）。 例如： 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 原有数字位 两个新的码字 偶校验 奇校验 校验位

  14. 奇偶校验码的实现电路 奇较验 偶校验 出错指示 p 编码电路 译码电路 + + 同左侧电路 八位数据位 + + + + + + D7 D6 D5 D4 D3 D2 D1 D0 P (校验位)

  15. 海明校验码 用于多位并行数据检错纠错处理 实现：为k个数据位设立r个校验位， 使k+r位的码字同时具有这样两个特性： • 能发现并改正 k+r位中任何一位出错， • 能 发 现 k+r位中任何二位同时出错，但已无法改正。

  16. 海明码的编码方法 合理地用 k 位数据位形成 r 个校验位的值，即保证用 k 个数据位中不同的数据位组合来形成每个校验位的值，使任何一个数据位出错时，将影响 r 个校验位中不同的校验位组合起变化。换言之，通过检查是哪种校验位组合起了变化，就能确定是哪个数据位错，对该位求反则实现纠错。 有时两位错与某种情况的一位错对校验位组合的影响相同，必须加以区分与解决。

  17. 海明码的实现方案 例如： k =3, r =4 D3 D2 D1 P4 P3 P2P1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 + ：异或 P1 = D2 + D1 P2 =D3 + D1 P3 =D3 + D2 P4 =P3+P2+P1+ D3 + D2 + D1 编码方案 S1 = P1 +D2 + D1 S2 = P2+D3 + D1 S3 = P3+D3 + D2 S4 = P4+P3+P2+P1+ D3 + D2 + D1 译码方案

  18. 海明码的实现原理 例如： k =3, r =4 D3 D2 D1 P4 P3P2P1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 P1 = D2 + D1 P2 = D3 + D1 P3 = D3 + D2 6 5 3 0 4 2 1 P4 = P3 + P2 + P1 + D3 + D2 + D1 S1 = P1 + D2 + D1 S2 = P2 + D3 + D1 S3 = P3 + D3 + D2 S4 = P4 + P3 + P2 + P1 + D3 + D2 + D1

  19. 检错纠错码小结 (1) K位码有2K个编码状态，全用于表示合法码，则任何一位出错, 均会变成另一个合法码，不具有检错能力。 (2) 从一个合法码变成另一个合法码，只少要改变几位码的值，称为最小码距(码距)。 (3) K+1 位码，只用其 2K个状态，可使码距 为 2 , 如果一个合法码中的一位错了，就成为非法码，通过检查码字的合法性，就得到检错能力，这就是奇偶校验码。

  20. 检错纠错能力 (4) 对k位数据位，当给出r 位校验位时， 要发现并改正一位错， 须满足如下关系： 2r> =k + r +1； 要发现并改正一位错，也能发现两位错,则应： 2r-1 >= k + r, 此时码距为 4。 (5) 若最小码距为 d (d>=2), 能发现 d-1 位错，或改正 (d-2)/2 (取整) 位错, 要发现l 位错,并改正t 位错，应满足如下条件: d >=l + t + 1 ( l >= t )

  21. 本章主要内容 • 信息编码、码制转换与检错纠错码 • 数据表示——常用的信息编码 • 二进制数值数据的编码与运算算法

  22. 基二码应用实例：数据表示 逻辑型数据 字符型数据 ASCII 码 EBCDIC 码 字符串 汉字 检错纠错码 奇偶校验 海明校验 循环冗余校验 数值型数据 定点小数 整数 浮点数 二—十进制数（BCD码）

  23. 逻辑型数据 逻辑型数据只有两个值：真 和 假， 正好可以用二进制码的两个符号分别表示， 例如 1表示 真 则 0表示 假 不必使用另外的编码规则。 对逻辑型数据可以执行逻辑的 与 或非等基本逻辑运算。其规则如下：

  24. 逻辑型数据基本运算规则 XY X与Y X或Y X的非 00 0 0 1 01 0 1 1 1 0 0 1 0 11 1 1 0

  25. 字符型数据的表示 字符作为人—机联系的媒介，是最重要的数据类型之一，当前的西文字符集由 128个符号组成，通常用 8 位二进制编码,即用一个字节来表示每一个符号，当前通用的两个标准字符集是： ASCII 码： 即 American Standard Code for Information Interchange EBCDIC码：即 Extended Binary Coded Decimal Interchage Code ASCII码字符集具体编码如下表所示：

  26. ASCII字符编码集 b6 b5 b4 000 001 010 011 100 101 110 111 b3 b2 b1 b0 0000 NUL DLE SP 0 @ P , p 0001 SOH DC1 ! 1 A Q a q 0010 STX DC2 “ 2 B R b r 0011 ETX DC3 # 3 C S c s 0100 EOT DC4 $ 4 D T d t 0101 ENQ NAK % 5 E U e u 0110 ACK SYN & 6 F V f v 0111 BEL ETB ‘ 7 G W g w 1000 BS CAN ( 8 H X h x 1001 HT EM ) 9 I Y i y 1010 LF SUB * : J Z j z 1011 VT ESC + ; K [ k { 1100 FF FS , < L \ l | 1101 CR GS - = M ] m } 1110 SO RS . > N ^ n ~ 1111 SI US / ? O _ o

  27. 字符串的表示与存储 • 字符串是指连续的一串字符，它们占据主存中连续的多个字节，每个字节存放一个字符，对一个主存字的多个字节，有按从低位到高位字节次序存放的，也有按从高位到低位字节次序存放的。表示字符串数据要给出串存放的主存起始地址和串的长度。例如：IF A>B THEN READ(C)就可以有如下不同的存放方式： • I F A A F I • > B T T B > 假定每个字 • H E N N E H 由 4 个字节 • R E A D D A E R 组成 • ( C ) ) C (

  28. 汉字的表示 通常用两个字节表示一个汉字 为了与西文字符编码相区别（西文的ASCII码的最高一位编码值为0），表示一个汉字时，把两个字节的最高一位的编码值设定为 1，则该编码集的最多编码数量为 128 X 128。 这种编码方案与西文传送中的把ASCII码的最高一位用作奇偶校验位有矛盾。

  29. 数值数据在计算机内的格式 定点小数: N = N N N ……...N s -1 -2 -n 整 数 : N = N N N ... N N s n n-1 1 0 浮点数: N = ME E ...E EM M ...M -n s s m-1 1 0 -1 -2 基为 2 IEEE 标准： 阶码用移码，尾数用原码 符号位阶码位尾数数码位总位数 短浮点数: 1 8 23 32 长浮点数: 1 11 52 64 临时浮点数: 1 15 64 80

  30. 二 十进制编码（BCD编码） 用四位二进制表示一位十进制， 16个编码状态选用其中的10个编码 有多种方案，例如： 8421码，余 3 码，循环码 又可区分为： 有权码：每位上的 1 代表确定的值 无权码：无法确定每位上的 1代表的值

  31. 有权码 无权码 余3码 8421 循环码 84-2-1 0 0000 0011 0000 0000 1 0001 0100 0001 0111 2 0010 0101 0011 0110 3 0011 0110 0010 0101 4 0100 0111 0110 0100 5 0101 1000 1110 1011 6 0110 1001 1010 1010 7 0111 1010 1000 1001 8 1000 1011 1100 1000 9 1001 1100 0100 1111

  32. 如何判定码权 • 0 0000 • 1 0111 4 +（-2）+（-1） • 2 0110 4 +（-2） 验证每个码的值 • 3 0101 4 +（-1） • 4 0100 4 从一编码求码权 • 5 1011 8 +（-2）+（-1） • 6 1010 -2 结论 • 7 1001 -1 证明此编码系统为有权码 • 8 1000 8 • 9 1111 8 + 4 +（-2）+（-1）

  33. 如何判定码权 • 0 0011 2+1 = 0 验证各码的值 • 1 0100 1 从一编码求码权 • 2 0101 1 • 3 0110 2 • 4 0111 • 5 1000 • 6 1001 结论 • 7 1010 证明此编码系统为无权码 • 8 1011 • 9 1100

  34. 本章主要内容 • 信息编码、码制转换与检错纠错码 • 数据表示——常用的信息编码 • 二进制数值数据的编码与运算算法

  35. 定点小数表示: Ns N1 N2 … Nn （纯小数）原码，反码，补码的定义 [ X ] = [ X ] = [ X ] = X 0 < X < 1 -1 < X < 0 1 - X 原 X 0 < X < 1 -n -n (2 - 2 )+ X -1 < X < 0 Mod ( 2 - 2 ) 反 X 0 < X < 1 Mod 2 2 + X -1 < X < 0 补

  36. 定点小数表示: Ns N1 N2 … Nn X 0 < X < 1 原 码 定义： [ X ]原= 实例： X1 = 0.10110 -0.10110 0.0000 [ X ] 原= 010110 110110 00000 10000 结论：原码为符号位加数的绝对值，0正 1负 原码零有两个编码，+0 和 -0编码不同 原码难以用于加减运算，但乘除方便 1 - X -1 < X < 0

  37. 定点小数表示: Ns N1 N2 … Nn X 0 < X < 1 反 码 定义：[ X ]反= 实例： X1 = 0.10110 -0.10110 0.0000 [ X ]反= 010110 101001 00000 11111 结论：反码负数为符号位跟每位的反, 0 正 1 负 反码零有二个编码，分+0 和 -0 反码难以用于加减运算，有循环进位问题 (2-2-n) + X -1 < X < 0 MOD (2-2-n)

  38. 定点小数表示: Ns N1 N2 … Nn X 0 < X < 1 模 2 补码 定义： [ X ]补= 实例： X1 = 0.10110 -0.10110 0.0000 [ X ]补= 010110 101010 00000 结论：补码最高一位是符号位，0 正 1 负 补码表示为：2*符号位 + 数的真值 补码零只有一个编码，故能表示 -1 补码能很好地用于加减（乘除）运算 2 + X -1 < X < 0 MOD 2

  39. 整数的编码表示 整数的 原码反码补码 表示 与小数的三种表示基本相同， 差别仅表现在小数点的位置， 可以认为整数的小数点在最低数值位的右侧 因此整数的模与整数位数有关， 讲课中不大用整数讲 原 反 补码定义 例如：整数六位编码： X = +01110 [X]原= 0 01110 [X]补= 0 01110 X = - 01110 [X]原= 1 01110 [X]补= 1 10010

  40. 原 反 补码表示小结 正数的 原码、反码、补码表示均相同， 符号位为 0，数值位同数的真值。 零的原码和反码均有 2个编码，补码只 1个码 负数的 原码，反码，补码表示均不同， 符号位为 1，数值位：原码为数的绝对值 反码为每一位均取反码 补码为反码再在最低位+1 由[X]补求[-X]补：每一位取反后,再在最低位+1 n 由 [X]补 求 X 的真值：X= -1 + Xi * 2-i i=1

  41. 数据的算术运算 补码 加 减 法 运算 原码一位乘法运算 原码一位除法运算 补码一位乘法运算 补码一位乘法运算 原码二位乘法运算 补码二位乘法运算 其它快速乘除法运算方法简介

  42. 补码加减法的实现 [X + Y] = [X] + [Y] [X-Y] = [X] + [-Y] [-Y] = 对 [Y] 逐位取反,再在最低位加 1 溢出判断： 正 + 正 得负 或 负 + 负 得正 数字位有向符号位的进位，但符号位不产生 向更高位的进位 双符号位的值为 01或 10 补 补 补 补 补 补 补 补

  43. 实现补码加减运算的逻辑电路 Fs OVR Z C F 1 Fs F ALU Ｆ　　　Ｘ Ｆ　　　Ｙ Ｘ　　　Ｆ 加 F X F /Y F Y 选通门 二选通门 Y X X X+Y X X-Y 0 1 0 1 源 寄存器 目的 寄存器 累加器 Ｆ　　　Ｘ Ｆ　　／Ｙ Ｆ　　　１ Ｘ　　　Ｆ 选通门 减 X F

  44. 补码加减法运算实例 X=0.1011 y= -0.0101 模4 补码 [X] = 00 1011, [Y] = 11 1011 [-Y] = 00 0101 00 1011 00 1011 +11 1011 + 00 0101 100 0110 01 0000 X+Y X-Y (溢出) 补 补 补

  45. 补码表示中的符号位扩展 由 [X]补 求 [X / 2]补 的方法 原符号位不变， 且符号位与数值位均右移一位，例如， [X]补 =10010 则 [X/2]补 =110010 不同位数的整数补码相加减时， 位数少的补码数的符号位向左扩展， 一直扩展到与另一数的符号位对齐。 0101010111000011 0101010111000011 + 1111111110011100 + 0000000000011100 0101010101011111 0101010111011111

  46. 原码一位乘运算 [X*Y]原=( XＳ+ YＳ) ( X * Y ) 例如： X = 0.1101 Y = - 0.1011 0. 1 1 0 1 00 0 0 0 0 1 0 1 1 * 0. 1 0 1 1 00 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 00 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 00 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 1 1 1 1 + 1 1 0 1 X 和Y 符号异或为负 0 . 1 0 0 0 1 1 1 1 最终乘积原码表示为： 1 1 0 0 0 1 1 1 1 手工运算过程 计算机内运算的实现方法 部分积 乘数

  47. 原码一位乘运算 例如： X = 0.1101 Y = - 0.1011 0. 1 1 0 1 问题： * 0. 1 0 1 1 1. 加法器只有两个数据输入端 1 1 0 1 2. 加法器与乘运算数据位数相同 1 1 0 1 解决方案： 0 0 0 0 每次求出部分积，而不是一次总累加 + 1 1 0 1 变每次左移被乘数为右移部分积 0 . 1 0 0 0 1 1 1 1 　 判乘数每一位的值用固定的一位线路 手工运算过程

  48. F 加 法 器 加运算 被 乘 数 部 分 积 乘 数 移位线路 每位1套 最低位 实现原码一位乘法的逻辑线路图 移位电路 第 i 位 第 i +1位 第 i 位 第 i -1位 F/2→X F→X F*2→X

  49. F 加 法 器 加运算 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 被 乘 数 部 分 积 1 1 1 1 1 1 1 1 乘 数 1 1 0 1 移位线路 每位1套 最低位 原码一位乘法 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 低位积 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1

  50. 原码一位乘运算 例如： X = 0.1101 Y = - 0.1011 0. 1 1 0 1 ００ ００００累加器初值取零值 * 0. 1 0 1 1 + ００　１１０１ 1 1 0 1００　１１０１　初值０加被乘数 1 1 0 1 ００　０１１０１ 　部分积右移 0 0 0 0 　　 　　 将移出的一位保存起来 + 1 1 0 1 求第一次部分积 0 . 1 0 0 0 1 1 1 1 手工运算过程

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