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Bi-CR 法の積型解法への 準最小残差アプローチの適用

Bi-CR 法の積型解法への 準最小残差アプローチの適用. 南　さつき、曽我部知広、杉原正 顯 、張紹良 東京大学大学院工学系研究科物理工学専攻　. 発表の流れ. 1. 研究の背景 　　大規模線型方程式の数値解法（ Krylov 部分空間法） 2. 積型解法への準最小残差アプローチの適用 　　・ Bi-CG 法系統への適用： TFQMR 法、 QMRCGSTAB 法 　　・ Bi-CR 法系統への適用：各解法 3. 数値実験 4. まとめと今後の課題. 積型解法. 積型解法. 連立一次方程式の数値解法. Krylov 部分空間法. Bi-CG 法.

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Bi-CR 法の積型解法への 準最小残差アプローチの適用

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  1. Bi-CR法の積型解法への準最小残差アプローチの適用Bi-CR法の積型解法への準最小残差アプローチの適用 南　さつき、曽我部知広、杉原正顯、張紹良 東京大学大学院工学系研究科物理工学専攻　

  2. 発表の流れ 1. 研究の背景 　　大規模線型方程式の数値解法（Krylov部分空間法） 2. 積型解法への準最小残差アプローチの適用 　　・ Bi-CG法系統への適用：TFQMR法、QMRCGSTAB法 　　・Bi-CR法系統への適用：各解法 3. 数値実験 4. まとめと今後の課題

  3. 積型解法 積型解法 連立一次方程式の数値解法 Krylov部分空間法 Bi-CG法 CG法 積型解法 Bi-CR法 CR法 積型解法 MINRES法 GMRES法

  4. 基底アルゴリズム （ランチョス原理、アーノルディ原理･･･） 残差条件 （Ritz-Galerkin条件、残差最小条件･･･） Krylov部分空間法 Krylov部分空間： １．基底　　　　　　　　　　　　　を生成 ２．近似解を構成

  5. 新たな解法 研究概要 残差条件 PGアプローチ ＋ 各積型解法の条件 QMRアプローチ ＋ QMRアプローチ 基底 CGS法 Bi-CGSTAB法 GPBi-CG法 TFQMR法 QMRCGSTAB法 双ランチョス原理 × 積型部分 CRS法 Bi-CRSTAB法 GPBi-CR法 A-双直交原理 × 積型部分

  6. Bi-CR部分：残差多項式 • 積型部分：加速多項式 Bi-CR法の積型解法 定義：

  7. Bi-CR部分： A –双直交原理 ：A-双直交原理の中で計算される (n+1)×nの三重対角行列 • 積型部分：積型原理 ：積型部分により計算される (n+1)×nの三重対角行列 Bi-CR法の積型解法 基底アルゴリズム 定義：

  8. Bi-CR部分：Petrov-Galerkinアプローチ • 積型部分：各解法の条件 Bi-CR法の積型解法 残差条件 定義：

  9. Bi-CR法の 積型解法の 基底 アルゴリズム QMR アプローチ Bi-CR法の積型解法へのQMRアプローチの適用 基底アルゴリズム 残差条件 Bi-CR部分 Bi-CR部分 A-双直交 原理 Petrov-Galerkin アプローチ 新しい解法 Bi-CR法の 積型解法 積型部分 積型部分 各積型解法 の条件 積型原理

  10. A-双直交原理 積型原理 基底アルゴリズム： ：対角要素　　　、下対角要素に　　　　を持つ(m+1)×m下三重対角行列 Bi-CR法の積型解法へのQMRアプローチの適用 基底アルゴリズムの式

  11. 近似解 残差 擬似残差 Bi-CR法の積型解法へのQMRアプローチの適用 QMRアプローチ 基底アルゴリズム： 残差条件：準最小残差アプローチ

  12. Bi-CR法の積型解法へのQMRアプローチの適用 各解法の定義 パラメータ　　　　　の選び方によって各解法が導かれる の選び方 TFCRQMR法 QMRCRSTAB法 QMRGPBi-CR法

  13. （Second QMR and update iterate) （First QMR and update iterate) QMRアプローチ Bi-CR法の積型解法

  14. (Second QMR and update iterate) 各解法の分類 (First QMR and update iterate)

  15. 各解法の分類 の計算 TFCRQMR法 QMRCRSTAB法 QMRGPBi-CR法

  16. 実験環境

  17. 実験結果 –Matrix Market

  18. Matrix Market SHERMAN5：油層シミュレーション

  19. Matrix Market SHERMAN5：油層シミュレーション

  20. まとめ • QMRアプローチをBi-CR法の積型解法に適用する一般的な方法を示した • 数値実験よりTFCRQMR法は　 ・ 他の３解法に比べて高い精度 ・ CRS法よりも滑らかな収束性 ・ CRS法と比べてより正確に真の相対残差の 　振る舞いを反映 を示した

  21. 今後の課題 • QMRCRSTAB法・QMRGPBi-CR法に 　ついても数値実験を行い、性能評価

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