Ensino Superior

1. Ensino Superior Cálculo 1 1- Funções e Limites Amintas Paiva Afonso

2. Números e Funções Reais Amintas Paiva Afonso

3. Números e funções reais • Conjunto dos Números Naturais (N) • N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} • Conjunto dos Números Inteiros (Z) • Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} • Positivos: Z+ = {0, 1, 2, 3, ...} • Negativos: Z- = {..., -3, -2, -1, 0} • Não nulos: Z* = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ...} • N  Z (N está contido em Z) • Conjunto dos Números Racionais (Q) • Q = {a/b | a,b  Z, b  0} • Z  Q (Z está contido em Q)

4. N  Z Q R Números e funções reais • Conjunto dos Números Irracionais () • É o conjunto formado por números cuja representação decimal é não exata e não periódica • Exemplo:  = 3,141592653589... • Conjunto dos Números Reais (R) • É o conjunto formado pela união dos conjuntos dos números racionais e irracionais

5. Números e funções reais • Operações com números racionais • Adição: • Subtração: • Multiplicação: • Divisão:

6. R -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 c a b Números e funções reais • Reta Real • Cada ponto de uma reta real representa um número real • Numa reta real os números estão ordenados de maneira crescente da esquerda para a direita. • Um número a é menor que qualquer número b colocado a sua direita e maior que qualquer número c a sua esquerda.

7. Números e funções reais • Conceito de função • Dados dois conjuntos A e B, uma função f de A em B é uma lei ou regra de correspondência que relaciona a cada elemento de de A um único elemento de B. • Notação: • f: A  B • y = f(x)

8. P(x1, y1) y1 y O x1 x Números e funções reais • Plano Cartesiano • O plano cartesiano é definido por dois eixos ortogonais • Eixo x é o eixo das abscissas • Eixo y é o eixo das ordenadas • A origem do sistema é o ponto O • As coordenadas do ponto P são os números reais x1 e y1 • Par ordenado (x1 , y1)

9. Números e funções reais • Domínio • É o conjunto de valores assumidos por x. • Imagem • É o valor assumido pela função ao se aplicar a regra de correspondência para os elementos do domínio. • Gráfico • É a representação geométrica dos pares x e y no plano cartesiano.

10. Y R X Retas • Coeficiente angular da reta R: • Obs.: • Retas horizontais: m = 0 • Retas verticais: Não têm m

11. Retas • Equação da Reta: Forma Ponto – Coeficiente angular • A equação abaixo é a equação na forma ponto – coeficiente angular que passa pelo ponto (x1, y1) e tem coeficiente angular m.

12. Retas • Exemplo 1 • Escreva uma equação para a reta que passa pelo ponto P(2, 3) com coeficiente angular -3/2. • x1 = 2 • y1 = 3 • m = -3/2

13. Retas • Exemplo 2 • Escreva uma equação para a reta que passa pelos pontos P1(-2, -1) e P2(3, 4). • x1 = -2 • y1 = -1 • x2 = 3 • y2 = 4 • m = ?

14. R Y b X Retas • Equação reduzida da reta: • m - coeficiente angular • b - coeficiente linear • Equação geral da reta: • A e B diferentes de zero.

15. b m Aplicações • Muitas variáveis importantes são relacionadas por equações lineares, como por exemplo, a relação entre as escalas de temperatura Fahrenheit e Celsius.

16. A B Funções e Gráficos • Os valores de uma variável freqüentemente dependem dos valores de outra variável • A temperatura de ebulição da água depende da altitude (o ponto de ebulição diminui quando a altitude aumenta) • O rendimento anual de suas economias depende da taxa de juros oferecida pelo banco • Uma regra que associa a cada elemento de um conjunto A um único elemento de outro conjunto B é chamada de função. OBS: A é o domínio B é a imagem (contra-domínio)

17. Variável independente (domínio) Variável dependente (contra-domínio ou imagem) Y (imagem) X (domínio) Funções e Gráficos • Nomenclatura (Leonhard Euler) • y é igual a f de x

18. Funções Definição:Sejam R o conjunto dos números reais e, A e B dois subconjuntos de R. Uma função f de A em B é uma lei que associa a cada elemento x de A, um único elemento y = f(x) do conjunto B. Neste caso, dizemos que y é uma função de x, ou seja, f é uma função real de uma variável real e denotamos por: • x é chamada de variável independente. • y é chamada de variável dependente. • A é chamado de domínio, denotado por A = 𝔻(f). • B é chamado de contra domínio , denotado por B = C𝔻(f).

19. f A = 𝔻(f) B = C𝔻(f) 𝕀m(f) x y=f(x) Seja f: A → B uma função. • Domínio da função f é o conjunto A definido por: A = 𝔻(f) = {x∊ℝ/ ∃ f(x)ℝ} • A Imagem da função f, denotada por 𝕀m(f), é um subconjunto do contra domínio B, ou seja, 𝕀m(f)⊂B, definido por: 𝕀m(f) = {yB/ ∃ x∊A, com y = f(x)}

20. Funções e Gráficos • Domínios e imagens • Quando definimos uma função y = f(x) com uma fórmula e o domínio não é citado explicitamente ou restrito pelo contexto, considera-se que o domínio seja o maior conjunto de valores de x para os quais a fórmula fornece valores reais de y – domínionatural. • Se queremos restringir o domínio de algum modo devemos dizê-lo. • Exemplo: O domínio de y = x2 é o conjunto dos números reais. Se queremos somente valores positivos de x devemos escrever y = x2, x > 0. • Os domínios e as imagens de muitas funções de uma variável real a valores reais são intervalos ou combinações de intervalos, que podem ser abertos, fechados ou semi-abertos e finitos ou infinitos.

21. A B A B A B A B x x x x Funções e Gráficos • As extremidades de um intervalo são chamadas pontos de fronteira e os pontos restantes são chamados pontos interiores. • Intervalos que contêm os pontos de fronteira são fechados e os que não contêm são abertos. • Aberto AB • A < x < B ou (A, B) • Fechado AB • A ≤ x ≤ B ou [A, B] • Fechado em A e aberto em B • A ≤ x < B ou [A, B) • Aberto em A e fechado em B • A < x ≤ B ou (A, B]

22. Funções e Gráficos • Exemplos de domínios e imagens • A função 1 fornece um valor real de y para qualquer número real de x, então o domínio é (-, ) • A função 2 fornece um valor real de y somente quando x é positivo ou zero, então o domínio é [0, )

23. Gráfico de uma função y=f(x) y2 (x,y) y 𝕀m(f)=[y1 , y2] y1 x1 x2 x 𝔻(f)={x∊ℝ/x1  x  x2}=[x1 , x2] Uma função pode ser representada por pares ordenados e seu gráfico é um subconjunto do ℝ2, isto é: Gr(f) = {(x,y)  ℝ2/x𝔻(f) e y = f(x)  𝕀m(f)} ou Gr(f) = {(x,f(x))  ℝ/ x  𝔻(f) }

24. Zeros e sinais de uma função y ]-∞,x1]  y<0 [x1,x2]  y>0 y=f(x) [x2,x3]  y<0 [x3,+∞[  y>0 + + x1 x2 x x3 ▁ ▁ Os sinais da função: Acima do eixo Ox ela é positiva e abaixo é negativa. Zeros ou raízes da função são os pontos de interseção do gráfico da função com o eixo Ox, ou seja, f(x)=0, ou ainda, onde y=0.

25. Números e funções reais • Tipos de funções • Função linear • Ex.: y = x + 1; • Função linear afim • Ex.: y = 2x; • Função quadrática • Ex.: y = x2 – 2x – 3; • Função exponencial • Ex.: y = 2x; • Função logarítmica • Ex.: y = log2x; • Funções trigonométricas • Ex.: y = senx

26. R Y b X Função do 1º Grau Uma função de 1º grau, ou RETA, é toda função real do tipo : Onde: • a=taxa de variação da função; • b= ponto onde a reta toca o Eixo Y;

27. Propriedades da Reta • É definida por um polinômio de 1o grau; • Possui uma única raiz real, isto é, ela cruza o Eixo X em apenas um ponto; • O sinal da taxa de variação a fornece a informação sobre o crescimento ou decrescimento da função: • a < 0 função decrescente; • a > 0  função crescente;

28. - - - Propriedades da Reta Se a < 0, a função decresce. Se a > 0, a função cresce. Só tocam o eixo X uma vez.

29. Raízes da Função de 1º Grau As funções de 1º Grau possuem apenas uma raiz, que é justamente onde a reta (que representa a função de 1º Grau) cruza o Eixo x. Isto é, onde a função tem valor zero.

30. Função Afim  Função do 1º grau y = ax + b a  coeficiente angular  a = tgθ ∀a≠0 e bℝ b  coeficiente linear a>0  reta crescente a<0  reta decrescente b θ θ b

31. Função Linear y = ax + b y = ax a>0  reta crescente a<0  reta decrescente θ θ

32. Exercícios Até 40h  3,00 por hora Acima de 40h  + 50% (4,50 por hora) Salário Bruto = (até 40h) + (acima de 40h) Sendo x o número total de horas, S(x) = 40.3 + (x – 40).4,5 S(x) = 120 + 4,5x – 180 = 4,5x - 60

33. Exercícios Fixa ...... 4,60 + 0,96 por quilômetro Para um valor de 19,00 F(x) = 4,60 + 0,96.x 19 = 4,6 + 0,96.x 14,4 = 0,96.x 15 = x

34. Exercícios X – preço de tabela À vista: (30% de desc) = 0,7.x Cartão de crédito: 1,1.x Logo 0,7.x = 7000 x = 10.000 E portanto, no cartão 1,1.10000 = 11000

35. Exercícios

36. Exercícios

37. Função de 2º Grau Uma função de 2º grau, também chamada de função QUADRÁTICA, representada por uma PARÁBOLA, é toda função real do tipo: Desde que a ≠0;

38. Propriedades da Parábola • É definida por um polinômio de 2o grau; • Pode possuir: • Duas raízes reais e distintas; • Duas raízes reais e iguais; • Nenhuma raiz real (não cruza o Eixo X). • O sinal de a fornece a informação sobre a concavidade da função: • a < 0 concavidade para baixo; • a > 0 concavidade para cima;

39. Propriedades da Parábola Se a < 0, a concavidade é para baixo. Se a > 0, a concavidade é para cima. Podem ter três tipos de raízes.

40. Raízes da Função de 2º Grau Para encontrar as raízes de funções de 2º Grau, resolvemos a equação: Cuja solução pode ser dada pela fórmula de Bhaskara:

41. Função Quadrática  Função do 2º grau a>0  concavidade para cima a<0  concavidade para baixo

42. Função Quadrática  > 0  = 0  <0 x1 x2 x1 = x2

43. Propriedades das Funções -4 -1 -2 -3

44. Propriedades das Funções 1 -1 f(x+a) com a>0 deslocamento para a esquerda f(x-a) com a>0 deslocamento para a direita

45. Propriedades das Funções

46. Propriedades das Funções 2 2 4 -4 f(x) e –f(x) são simétricas em relação ao eixo Ox f(x) e f(-x) são simétricas em relação ao eixo Oy -2

47. Função Polinomial 2 raízes reais iguais e 1 diferente 2 raízes complexas e 1 real 3 raízes reais diferentes

48. Função Potência

49. Função Potência

50. Função Potência