A0 ３班論理関数表現のモデルとシンボリックアルゴリズム

A0３班論理関数表現のモデルとシンボリックアルゴリズムA0３班論理関数表現のモデルとシンボリックアルゴリズム電気通信大学　　武永　康彦北海道大学　　　　湊　　真一

本研究の研究対象 論理関数のグラフ表現グラフアルゴリズム OBDD、二分木などシンボリックアルゴリズム OBDDなどで表現されたデータの操作に基づくアルゴリズム

研究内容 論理関数のグラフ表現の性質、複雑さグラフアルゴリズム OBDD等によるデータの表現法とアルゴリズム

１．論理関数のグラフ表現 ・Tree-Shellable論理関数の性質論理関数の二分木表現の性質を解明する信頼性計算、双対化などに有効（Ordered)Tree-Shellable論理関数: 論理関数の主項と(変数順序つき）同数の１パスを持つ二分木で表現できる正論理関数０１０１１１１１１１

Tree-Shellable論理関数 ・制限のついたDNFに対するtree-shellability DNF中の同一変数の出現回数、積項の長さを制限　　これらをパラメータとして考察　　・DNF中の変数の出現回数　　　　高々回に制限　→　項数　を超えると tree-shellableになり得ない　　　　定数回なら多項式時間で判定可能

Tree-Shellable論理関数 ・制限のついたDNFに対するTree-Shellability 　　・積項の長さ　　　　定数に制限した場合の判定複雑さ tree-shellable　　　　　　　・・・　多項式時間 ordered tree-shellable　・・・　NP完全　多項式時間でtree-shellabilityを判定可能な　　　　　　　　　　　　　　　　　実用的に有用なクラスの発見・正論理関数以外への拡張　　　パスと主項の対応が複雑

x1 ０１ x2 １０ x3 ０１ 0 1 2. データのシンボリック表現とアルゴリズム・種々のデータのOBDDなどによる表現法・シンボリック表現上の論理演算等の操作に基づく　アルゴリズム OBDD(二分決定グラフ）　論理関数のグラフ表現　　・変数順序を決めれば表現が一意　　・多くの実用的論理関数を小さく表現　　・論理演算等が高速に実行可能 OBDDに類した表現法も種々提案される

データのシンボリック表現とアルゴリズム シンボリックグラフアルゴリズム・区間グラフ処理のアルゴリズム・トポロジカルソートの列挙・BMDによる重みつきグラフの表現種々の計算モデルとOBDD表現・ZBDDによるベイジアンネットワークのコンパイル・量子論理回路のBDD表現　　　　　　　　　　　・OBDDによる画像表現とアルゴリズム　　　　　　　　　など

区間グラフのOBDD表現とシンボリックアルゴリズム区間グラフのOBDD表現とシンボリックアルゴリズム区間表現に基づくOBDD表現通常の表現（辺集合を関数で表現）に比べサイズ小区間グラフに対する基本的操作のアルゴリズム隣接頂点集合を求める、距離ｋ以内の頂点集合を求める、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　など

OBDDによるトポロジカルソートの列挙 特にデータ間の共通部分が多い場合、多数のデータを小さなサイズで保持できる条件を満たす解の探索が可能実験の結果、非常に多数の解をコンパクトに表現例：n×nグリッドグラフ

OBDDによるトポロジカルソートの列挙 問題点・・・単純な方法では計算途中のOBDDサイズが増大　　　　　　　→メモリ量、OBDD処理時間シンボリックグラフ処理を用いて解空間をあらかじめ縮小　各頂点への最大パス長、など　　　→計算途中の最大OBDDサイズが大幅減４×４、５×５グリッドグラフで８７～８８％減少種々の列挙アルゴリズムへの応用

Compilation of Bayesian Networks Using ZBDDs • 「Compilation of Bayesian Networks」: ベイジアンネットワークの確率計算式をBDDに変換し、高速に計算。[Minato et al. IJCAI-2007] • ゼロサプレス型BDD 指数関数的な長さの確率計算式がコンパクトに因数分解された表現。 • 一旦、ZBDDによる計算式表現を生成（＝コンパイル）できれば、ベイジアンネットが表す各事象の発生確率を高速に計算できる。 • 実験の結果、数千個の変数を含む大規模なベイジアンネットをコンパイル可能に 　論理関数処理技術の新しい展開（確率モデル計算の連携）

Compilation of Bayesian Networks Using ZBDDs ベイジアンネット線形確率計算式（指数サイズ）因数分解表現（ZBDD) 条件付確率テーブル

量子論理回路のBDD表現 • 量子論理回路のBDD表現（DDMF, QMDD)の表現能力の考察とCADへの応用（奈良先端・山下先生のA07班との連携） • 現実的な量子論理回路の設計検証技術を提供 • 超低消費電力回路や光論理回路設計への　　応用の可能性

OBDDによる画像表現とアルゴリズム データによっては小さなサイズで表現でき、圧縮したデータのまま、全ての画素に同時に同じ処理を実行可能・画像の表現法　　座標(x,y)の濃度が OBDD表現　 SBDD表現　　　　　整数値をもつデータの表現、処理手法閾値処理、平行移動、輪郭抽出、フィルタ処理など

３．グラフアルゴリズム パラメータ化グラフ上の基本的グラフ問題　　一般にはNP困難だが、特定のグラフクラスに　　対しては多項式時間で解ける問題が多い　　　　　　　　　　　　　　↓ あるクラスのグラフに「近い」グラフでは？　　「近さ」をパラメータとし、パラメータ付き計算量　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　の観点から評価

パラメータ化グラフ上のグラフアルゴリズム C＋ke(-ke)グラフ：Cグラフに辺(モジュレータ)をk本追加 (削除)して得られるグラフ・比較可能+keグラフ、比較可能-keグラフの　　頂点彩色問題など・ Chordal+k１e-k2eグラフの頂点彩色問題

a a b b c c d d e e 比較可能+keグラフ、-keグラフの頂点彩色問題比較可能グラフ　推移的な辺の方向付けが可能な無向グラフ　頂点彩色問題は多項式時間で解ける頂点彩色問題の計算量　・比較可能+keグラフ k=1 多項式時間 k=2 NP完全　・比較可能-keグラフ k=1 多項式時間

比較可能+keグラフ、-keグラフの頂点彩色問題 彩色数の増加しない例(ハッセ図）比較可能+1eグラフの彩色　　推移的なグラフを求める　　比較可能グラフでモジュレータの両端が必ず同色　　⇔彩色数1増比較可能+2eグラフ　　彩色数が１増えるか、　　２増えるか、ともにNP完全モジュレータ

Chordal+k1e-k2eグラフの頂点彩色問題 辺の追加と削除を同時に考えたグラフに対する　　　　　　　　　　　　　　　　　おそらく初めての結果 Fixed parameter tractableアルゴリズムを設計 Chordal+keグラフに対するアルゴリズム tree-decompositionを利用 →削除された辺に対する処理を可能に Fixed parameter tractable:問題のサイズn、パラメータkに対し、時間で解ける

まとめ ・論理関数のグラフ表現の性質の解明　　グラフ表現と主項など他の表現との関連・データのOBDDなどによる表現法とその応用　　シンボリックアルゴリズムの設計手法　　様々な分野への応用の可能性を探る・基本的グラフ問題のアルゴリズム　　パラメータ化計算量

A0 ３班 論理関数表現のモデルと シンボリックアルゴリズム