微积分习题课

1. 微积分习题课 第二章 导数与微分

2. 为曲线 在点 的切线斜率。 3.在 处可导的充分必要条件： 在 处可导 与 都存在， 且 。 一、导数与微分的基本概念 1．导数定义: 2．导数的几何意义:

3. 4. 在 处的可微定义： 二、极限、连续、可导与可微的关系

4. （1） （2） （3） 设 在 区间内单调、可导且 ，则其反 函数 在对应的 内也可导，且 或 。 三、求导法则 1．四则运算求导法则 2．反函数求导法则

5. 设 及 都是可导函数，则复合函数 也是可导函数且 。 由方程 确定了 ，方程两端对 求导，在 求导过程中牢记 是 的函数 ，方程中含有 的 项应用复合函数求导法求导。然后由求导后的方程解出 。 参数方程 确定可导函数 ，则 3．复合函数求导法则 4．隐函数求导法则 5．参数方程求导

6. 若函数 的导函数 仍然是可导函数，则将 的 导函数叫做函数 的二阶导数。记作 依此类推，函数 的导函数叫做 的 阶导数。 记 。 四、高阶导数定义及求导

7. 【例1】设 ，问 是否存在？ 解： 五、典型例题 分析 计算分段函数分界点处的导数，要根据定义看是否有 左导数和右导数，并且还要看左右导数是否相等。

8. 【例2】设 ，求 及 。 分析 当 时， 是可导函数，且 可利用求导公式 及求导法则求出，故求 应选用“先求 ，后求 和 处函数值”的方法。而 是分段函数的分段点， 解： 当 时， 当 时， 因而应用导数定义求。

9. 【例3】设 ，已知 在 处可导， 试确定 的值。 分析 此题要求两个待定常数。通常需要寻找两个只以 为未知量的方程。由已知条件 在分段点 处可导， 得一个方程 ；又由函数在一点可导必要条件: 在 处连续，得第二个方程 。 解此联立方程组，可求出 。

10. 解：因为 在 处可导，所以 在 处连续； 即

11. 【例 4】已知 ，求 。 解： 当 时， ； 当 时， ； 当 时， 所以 综上，

12. 【例6】设 ，求 。 解： 【例5】设 ，求 。 解：

13. 【例7】求星形线 在 处的导数 。 解： 故

14. 【例8】设 是由方程 所确定， 求 。 解：方程两边对 求导得 将 代入上方程，得 （1） 将 代入原方程， 得 （2） 将（2）代入（1）中得 。

15. 【例9】求函数 的微分。 解： 所以

16. 【例10】设，求 。 方程两边对 求导得 分析 因为含有乘积与幂指函数，故应用对数求导法。 解：应用对数求导法。函数两边取对数得 所以

17. 【例11】设 ，求 。 分析 是由三个或三个以上的有限个函数的乘、除、开方、 乘方形成的，应用对数求导法。 方程两边对 求导得 所以 解：函数两边取对数得方程

18. 【例12】设曲线方程 , 求此曲线上纵坐标 处的切线方程. 解：先求切点坐标. 将 代入曲线方程得 所以切点坐标为 再求曲线在切点处的切线斜率.方程两端对 求导，得 将 代入上式, 得 则所求切线方程为

19. 【例13】 已知 , 设 存在且不为零, 求 【14】 求 的 阶导数. 解： … 解： 因为 所以