CHAPITRE 4 Nombres complexes
Le plan R2 et les nombres complexes • Le plan R2 • Le corps (C , + , x) • Module et argument • La fonction exponentielle complexe et les formules de Moivre et d’Euler • Résolution dans C de l’équation algébrique zn=A • Résolution dans C des équations du second degré
Le plan R2 : une structure d’espace vectoriel Addition (loi interne) (x1 , y1)+(x2 , y2):=(x1+x2 , y1+y2) (pour (x1 , y1), (x2, y2) dans R2) Action « externe » deRsur R2 a .(x, y)=(a x x , a x y) (pour a dans R , (x, y) dans R2)
Les règles régissant les deux opérations (interne et externe) • (R2,+)est un groupe abélien • a.(b . (x,y)) = (a x b). (x,y) • (a+b). (x,y) = a. (x,y) +b. (x,y) • a.((x1 ,y1) + (x2 ,y2)) = a. (x1 ,y1) +a. (x2 ,y2) • 1. (x,y) = (x,y) (R2 , + , . ) R-espace vectoriel
Applications linéaires du plan dans lui-même L (a. (x1 , y1) + b. (x2 ,y2))= a.L ((x1,y1)) + b.L((x2 ,y2))
Application linéaire tableau 2 x 2 Matrice de L L ((1,0))= (a , c) L ((0,1))= (b , d) ( ) a b c d L ((x,y)) = (a x + b y , c x + d y)
Composition des applications linéaireset « produit » de tableaux 2 x 2 a1 b1 c1 d1 L1 L2 a2 b2 c2 d2 a2a1 + b2c1a2b1+b2d1 c2a1+d2c1 c2b1+d2d1 L2 o L1
Les complexes ; pourquoi ?Des motivations issues de la physique(et quelques noms) • Hydrodynamique, Mécanique des fluides (A. Cauchy, G. Stokes, …) • Astronomie et Mécanique Céleste (P. S. Laplace,…) • Mécanique Ondulatoire, Thermodynamique, Optique, Electromagnétisme (J. B. J. Fourier, J. C. Maxwell, ..) Augustin Cauchy 1789-1857 Joseph Fourier 1768-1830 Pierre Simon Laplace 1749-1827 James C. Maxwell 1831-1879
Quelles sont les applications linéaires préservant les angles orientés des figures ?? Le principe de moindre action M r 0 0 r m’ r cos q -r sin q r sin q r cos q cos q -sin q sin q cos q o r q m ( ) a -b b a a = r cos (q) b = r sin (q)
L’ensemble des nombres complexes (l’ensemble C ) {(); a , b dans R } a -b b a ( ) ( ) a+ib a -b b a ) 1 0 0 1 ( 0 -1 1 0 1 i =a. +b.
L’addition sur C a1 -b1 b1 a1 a2 -b2 b2 a2 a1+a2 -(b1+b2) b1+b2 a1+a2 = + (a1 + i b1)+(a2 + i b2) := (a1+a2) + i (b1+b2)
(a1+i b1) x (a2 + i b2) = (a1a2-b1b2) + i (a1b2 + b1 a2) a2 -b2 b2 a2 La Multiplication Sur C a1 -b1 b1 a1 a1a2 – b1b2-(a1b2+b1a2) a1b2+b1a2 a1a2-b1b2
Inverse d’un élément non nul pour la multiplication a – ib a2 + b2 a – ib a2 + b2 (a+ib) x ?=?x (a+ib) =1
Commutativité z1+z2=z2+z1 Associativité z1+(z2+z3)= (z1+z2) +z3 Elément neutre 0 : z+0 = 0 + z = z Tout élément z admet un « opposé » -z z+ (-z) = (-z) + z = 0 Commutativité z1x z2=z2x z1 Associativité z1x (z2 x z3)= (z1x z2) x z3 Elément unité 1: z x 1 = 1 x z = z Tout élément non nul admet un inverse pour la multiplication : z z-1 = z-1 z = 1 Propriétés des opérations (C ,+) groupe abélien Addition + (C,+, x) corps commutatif Multiplication x Distributivité mult/addition z1x (z2+z3) = (z1x z2) + (z1x z3)
Module et argument (d’un nombre complexe non nul) M z= a+ib a = r cos (q) b = r sin (q) m’ r q m r = |z| = (a2+b2)1/2 : module (amplitude) de z q (modulo 2 p) = arg (z) : argument (phase) de z
Conjugaison complexe y z=a+ib x x’ _ z :=a - ib y’
Quelques formules utiles (sans ambiguïté) _ |z| = |z| |z1 z2 | = |z1|x|z2| _____ _ _ z1 + z2 = z1 + z2 ___ _ _ z1 z2 = z1 z2 _ |z|2 = z z _ 1/z = z /|z|2
D’autres formules (à manier avec précaution !) arg ( z1 z2) = arg (z1) + arg (z2) _ arg (z) = - arg (z) si z S 0 Attention !! Ce sont des égalités entre classes de nombres réels modulo 2p
La fonction exponentielle sur R : exp (x1 + x2) = exp (x1) exp (x2) sur C :exp (x+iy) := exp (x) x(cos (y)+i sin(y)) sur C :exp (z1 + z2) = exp (z1) exp (z2) En particulier : exp (z) = 1/(exp (-z)) S 0
i2 = -1 p= 3.1415926535897932385... e2 ip = 1 fonction exponentielle e=exp(1)= e1 =2.7182818284590452354...
Formes trigonométriques, forme cartésienne d’un nombre complexe • Forme trigonométrique : z = r cos q + i r sin q(avec r=|z| et q = arg (z) [modulo 2 p]) • Autre forme trigonométrique : z = r exp (i q) (avec r=|z| et q = arg (z) [modulo 2p]) • Forme cartésienne : z = a + i b (avec a = Re (z) [partie réelle] et b= Im (z) [partie imaginaire])
Les formules de MOIVRE (cos q + i sin q )n = (eiq)n = cos (nq) + i sin (nq)
Les formules d’Euler cos q = (eiq + e-iq)/2 sin q = (-i/2) (eiq – e-iq)
Résoudre zN=A A = R eiq z = R1/N e (iq/N + 2ipk/N) k=0,1,2,..., N-1(N solutions)
Résoudre a z2 + b z + c = 0 az2+b z+c = a (z2 + (b/a) z) + c = a ((z+ b/(2a))2 – (b2-4ac)/(4a2)) d= discriminant X2 =(b2-4ac)/(4a2) a (dans C) deux racines X=u et X=–u distinctes si b2-4ac est non nul
Conclusion : 2 cas à distinguer • Si b2 – 4 ac =0, il y a une seule solution donnée par z = -b/(2a) • Si b2 – 4 ac R 0, il y a deux solutions données par : z1 = -b/(2a) - u/(2a) z2 = -b/(2a) + u/(2a) u2 = b2 – 4 ac
d/(4a2) Construction z2 u/(2a) q/2 -b/(2a) q/2 - u/(2a) z1
Cas particulier : a,b,c réels et d <0 u/(2a) z2 -b/(2a) d/(4a2) - u/(2a) z1
Autres relations utiles pour le calcul de la racine carrée • Re( z2)= x2 -y2 • |z2| = x2+y2 • x2= [|z2| + Re(z2)] /2 • y2= [|z2| - Re (z2)] /2 • Im (z2)= 2 x y • signe(Im(z2))=signe (xy) Détermination des racines De z2 =A sans ambiguïté
Fin du chapitre 4
