Пифагоровы тройки

1. Пифагоровы тройки Работу выполнили ученики 8 «А» класса Петросян Арнольд, Романец Антон NEXT→

2. Немного из истории О жизни Пифагора известно немного. Он родился в 580 г. до н.э. в Древней Греции на острове Самос, который находится в Эгейском море у берегов Малой Азии, поэтому его называют Пифагором Самосским. Родился Пифагор в семье резчика по камню, который сыскал скорее славу, чем богатство. Ещё в детстве он проявлял незаурядные способности, и когда подрос, неугомонному воображению юноши стало тесно на маленьком острове. NEXT→

3. Пифагоровы тройки По открытой еще древними математиками истине, данные числа удовлетворяют диофантову уравнению. x2 + y2 = z2 Таковы, например: x = 3 , y = 4 , z = 5 или x = 5, y = 12 , z = 13 . Все тройки взаимно простых Пифагоровых чисел можно получить изаналитических формул: x = u2 – v2 , y = 2uv , z = u2 + v2 , где u и v принадлежат натуральному ряду, u > v > 0 Если u и v взаимно простые, то сумма их квадратов образует особую группу целых положительных чисел z . Например, 22 + 12 = 5 , 32 + 12 = 10 , 32 + 22 = 13 и так далее. Предположительная особенность такова. Если n = 1, 2, 3, …, NEXT→

4. Пифагоровы тройки Однозначно существует только при упомянутых выше значениях z . Если это действительно так, то Пифагоровы тройки являются частными решениями соотношения (3). Из сказанного следует, что скорее всего нет ни одного целочисленного тождества для x2 + y2 = 6n , но зато существует хотя бы один набор x , y , n при котором реализуется уравнение x2 + y2 = 5n Например: 72 + 242 = 54 ; 26422 + 64692=511. Подчеркнутый вариант – это первая Пифагорова тройка. Наверное, достаточно лишь понять законы изменения последовательностей чисел x и y , чтобы найти общий метод поиска остальных троек чисел. Приведем еще несколько результатов: 12+ 32 = 101 ; 62+ 82 = 102 ; 182 + 262 = 103; 282 + 962 = 104 ; 122 + 3162 = 105 ; 3522 + 9362 = 106. Выражение (3) перепишем в виде:x2 + y2 = (u2 + v2)n , ( 4 ) где значения u и v - такие же, как и в (2). NEXT→

5. Таблица Паскаля Сначала построим своеобразную Таблицу Паскаля, позволяющую не только получать биноминальные коэффициенты, но и определять знаки перед ними: NEXT→

6. Таблица Паскаля 1. Если показатель степени n - число нечетное, то достаточно получить выражение только для x , а уж y формируется путем формальной замены u на v и v на u .Итак, пусть n = 7. Находим по таблице нужную строку. Биноминальные коэффициенты: 1 , - 7 , - 21 , 35 , 35 , - 21 , - 7 , 1 . Знаки перед числами зависят от цвета поля, где они находятся. Если цвет малиновый, то ставится плюс, если же голубой, то минус. Для формирования x и y потребуется лишь половина этих цифр: x = | u7 – 7 v6 u – 21 u5 v2 + 35 v4 u3 | Если отказаться от модуля, то может получиться отрицательное значение x , что тоже, однако, является решением. Здесь многочлен всегда начинается с un . Затем во втором слагаемом появляется vn-1 , в третьем un-2 и так далее. Начиная со второго члена приписывается сомножитель-дополнение. Сумма их показателей степени всегда равна n . ( например, 6 + 1 = 7, 5 + 2 = 7 и так далее). Параметр y по структуре такой же, как (5) : y = | v7 – 7 u6 v – 21 v5 u2 + 35 u4 v3 | NEXT→

7. Свойство • Поскольку уравнение x2 + y2 = z2 однородно, при домножении x, y и z на одно и то же x, y, z число получится другая пифагорова тройка. Пифагорова тройка называется примитивной, если она не может быть получена таким способом, то есть — взаимно простые числа. • Треугольник, стороны которого равны пифагоровым числам, является прямоугольным. Кроме того, любой такой треугольник является героновым, то есть таким, у которого все стороны и площадь являются целочисленными. Простейший из них — египетский треугольник со сторонами 3, 4 и 5 (32 + 42 = 52). NEXT→

8. Примеры Некоторые пифагоровы тройки (отсортированы по возрастанию максимального числа, выделены примитивные): (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9,40,41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)… NEXT→

9. Конец