方程式の求根

方程式の求根 • ｆ（ｘ）＝0　の解 Ax2+Bx+C=0 解の公式が使える Ax5+Bx4+Cx3+Dx2+Ex+F=0 解の公式は存在しない！ exp(x)-2x=0 直接的な解法はない！ sin(x)-cos(x)-x=0 方程式の数値解（限りなく真の解にちかい近似解）を求める

方程式の解の求め方（１） • ｙ＝ｆ（ｘ）　のグラフと x軸との交点が方程式の解 f(x) ｙ f(x)＝0 ｘ

方程式の解の求め方（２） • ｙ＝ｆ（ｘ）　のグラフと x軸との交点が方程式の解 f(x) ｙ f(x0) f(x)＝0 ｘ x0 適当な初期値「x0」を定める

方程式の解の求め方（３） • ｙ＝ｆ（ｘ）　のグラフと x軸との交点が方程式の解 f(x) ｙ f(x0) f(x)＝0 f(x1) ｘ x0 x1 適当な初期値「x0」に対する方程式の値「f(x0)」がゼロに近づくようにx の値を変更していく

Newton法（１） • ｆ（ｘ0）における接線と x軸との交点を次の「x」の値とする傾き：f’(x0) f(x) ｙ f(x0) f(x)＝0 ｘ x0

Newton法（２） • ｆ（ｘ0）における接線と x軸との交点を次の「x」の値とする傾き：f’(x0) f(x) ｙ x1＝x0ーf(x0)/f’(x0) f(x0) f(x)＝0 f(x1) ｘ x0 x1

Newton法（３） • ｆ（ｘ0）における接線と x軸との交点を次の「x」の値とする傾き：f’(x0) f(x) ｙ x1＝x0ーf(x0)/f’(x0) f(x0) x2＝ x1ーf(x1)/f’(x1) 傾き：f’(x1) f(x)＝0 f(x1) ｘ x2 x0 x1

Newton法（４） • ｆ（ｘ0）における接線と x軸との交点を次の「x」の値とする傾き：f’(x0) f(x) ｙ x1＝x0ーf(x0)/f’(x0) f(x0) x2＝ x1ーf(x1)/f’(x1) 傾き：f’(x1) f(x)＝0 f(x1) ｘ x2 x0 x1 f(x)が十分ゼロに近づくまで左式の手続きを繰り返す xn+1＝xnーf(xn)/f’(xn) 注） f(x)は完全にゼロには一致しない

Newton法（５） • 注意点 • 解が存在しない場合（すべての範囲でf(x)≠0）には計算を途中で打ち切る必要あり • 解が二つ以上存在する場合は、初期条件の与え方によって答えは異なる

二分法（１） • 区間[a,b]でｙ＝ｆ（ｘ）が連続かつ根が一つ存在 →　f(a)とf(b)は必ず異符号となる f(x) ｙ f(b)>0 f(x)＝0 x=a x=b ｘ根は必ず[a,b]間に存在 f(a)<0

二分法（２） • 区間[a,b]の中点c(＝(a+b)/2)で f(c) を求める →　根は [a,c] あるいは [c,b] のどちらかの間に存在 f(x) ｙ f(b)>0 f(x)＝0 x=a x=b ｘ x=c = (a+b)/2 f(a)<0

二分法（３） • f(a)とf(c)が同符号→　根は [c,b] 間に存在 • f(a)とf(c)が異符号→　根は [a,c] 間に存在 f(x) ｙ f(b)>0 f(x)＝0 f(c)>0 x=a x=b ｘ x=c = (a+b)/2 f(a)<0

二分法（４） • f(a)とf(c)が異符号→　c を b に置き換えて同じ手順を繰り返す f(x) ｙ f(x)＝0 f(b)>0 x=a x=b ｘ x=c = (a+b)/2 f(c)が十分ゼロに近づくまで同様の手続きを繰り返す f(a)<0 注） f(x)は完全にゼロには一致しない

二分法（５） • 注意点 • 解が二つ以上存在する場合は、区間[a,b]の与え方によって答えは異なる • 区間[a,b]に解が偶数個存在するときは解を求めることはできない

方程式の求根

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