第九节各种积分间的关系

第九节各种积分间的关系 一格林（Green)公式及其应用二高斯(Gauss)公式

格林（Green.George）简介 磨坊工数学家格林（1793—1841）十八世纪英国数学家 8岁上学，9岁辍学。凭着对数学的爱好和惊人的毅力，在父亲的磨坊一边做工，一边自学。他35岁时发表了他的第一篇也是最重要的论文“论数学分析在电磁理论中的应用”，随后又完成了三篇论文。40岁终于进入了剑桥大学，四年后获得学士学位。格林短促的一生共发表了十篇论文，数量不多，却包含了影响19世纪数学物理发展的宝贵思想。

D D 一格林公式及其应用 1.区域连通性的分类设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D, 则称D为单连通区域, 否则称为复连通区域. 单连通区域复连通区域 3

2.格林公式 二重积分与其区域边界上的曲线积分之间的联系定理1 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成, 格林公式 4

规定边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边. 5

注： 1.格林公式是牛顿—莱布尼兹公式的推广。 2.边界是反方向，则 3.区域是复连通区域时，格林公式也成立，边界必须是区域的整个边界。

y E d D B A c C x a o b 证明：(1)特殊情形 7

y E d D B A c C x o 同理可证 8

D 两式相加得证明(2) 9

格林公式的实质: 揭示了平面闭区域上二重积分与区域边界上的曲线积分之间的联系. 11

3. 简单应用 (1) 简化曲线积分的计算 12

证:令 则利用格林公式 , 得 13

(2) 简化二重积分的计算 14

y x o 15

解 17

y L x o y x o 18

y x o (注意格林公式的条件) 19

(3) 计算平面区域面积 20

解由求面积的公式： 22

它与L所围 解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段区域为D ,则原式 24

注求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算, 若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;

若区域如图为复连通域，试描述格林公式中曲线积分中L的方向.若区域如图为复连通域，试描述格林公式中曲线积分中L的方向. 思考题 26

思考题解答 L由两部分组成外边界：内边界： 27

y G B A x o 4.平面上曲线积分与路径无关的等价条件如果在区域G内有 28

说明:积分与路径无关时, 曲线积分可记为 29

函数定理2.设D 是单连通域, 在D 内具有一阶连续偏导数, 则以下四个条件等价: (1) 沿D 中任意光滑闭曲线L , 有 (2) 对D 中任一分段光滑曲线L, 曲线积分与路径无关, 只与起止点有关. (3) 的全微分, 在 D 内是某一函数即 (4) 在 D 内每一点都有 30

由定理2知： 积分与路径无关，可以取路径为平行于坐标轴的折线，即 31

解 33

解 35

由定理2知： 由于积分与路径无关，可以取路径为平行于坐标轴的折线，这样就可求出u（x，y）。 37

则取定点及动点或称全微分方程 38

是某个 例8 验证函数的全微分, 并求出这个函数. 39

。。证:设由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使 40

内容小结 1. 格林公式 2. 等价条件设 P, Q在 D内具有一阶连续偏导数, 则有在D内与路径无关. 对 D内任意闭曲线 L 有在 D内有在D内有 41

根据定理2 , 若在某区域内 则 1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径; 2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算, 若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线; 3) 可用积分法求在域 D 内的原函数:

思考题 设 43

提示: 44

第九节 各种积分间的关系