מתמטיקה ב' לכלכלנים

1. מתמטיקה ב' לכלכלנים שיעור 6 – אינטגרלים, שטחים ושימושיהם. תיאוריה

2. בעיה מעשית תאוצתה של מכונית היא a מטרים לשניה כלומר: לאיזה מרחק תגיע המכונית כעבור דקה? (כלומר - ) נפתור באמצעות הערכות מלמעלה ומלמטה. נתחיל בהערכה נאיבית. נזכור כי במהירות קבועה - מהירות הערכה מלמטה הערכה מלמעלה 0 a3600 זמן המהירות תמיד חיובית המהירות קטנה מ-60a

3. בעיה מעשית תאוצתה של מכונית היא x מטרים לשניה. לאיזה מרחק תגיע המכונית כעבור דקה? רעיון חדש: נחלק את הדקה ל30 שניות ראשונות ו30 שניות אחרונות. נחשב הערכה חדשה מלמטה: בשלושים השניות השניות התקדמנו לפחות בקצב a30. מהירות הערכה מלמטה הערכה מלמעלה זמן 0 900a a3600

4. בעיה מעשית תאוצתה של מכונית היא x מטרים לשניה. לאיזה מרחק תגיע המכונית כעבור דקה? רעיון חדש: נחלק את הדקה ל30 שניות ראשונות ו30 שניות אחרונות. הערכה חדשה מלמעלה: התקדמנו בחצי הדקה הראשונה בקצב לא גבוה מ-a30. מהירות הערכה מלמטה הערכה מלמעלה זמן 900a a3600 a2700

5. בעיה מעשית תאוצתה של מכונית היא x מטרים לשניה. לאיזה מרחק תגיע המכונית כעבור דקה? רעיון חדש: נחלק את הדקה ל20 שניות ראשונות, 20 שניות שניות ו20 שניות אחרונות. נחשב הערכה חדשה מלמטה: בעשרים השניות השניות התקדמנו לפחות בקצב a20. בעשרים האחרונות לפחות a40. מהירות הערכה מלמטה הערכה מלמעלה זמן 1200a 900a a2700

6. בעיה מעשית תאוצתה של מכונית היא x מטרים לשניה. לאיזה מרחק תגיע המכונית כעבור דקה? רעיון חדש: נחלק את הדקה ל20 שניות ראשונות, 20 שניות שניות ו20 שניות אחרונות. הערכה חדשה מלמעלה: בעשרים שניות ראשונות התקדמנו לכל היותר בקצב a20 ובשניות 40a. מהירות הערכה מלמטה הערכה מלמעלה זמן 1200a a2700 a2400

7. בעיה מעשית תאוצתה של מכונית היא x מטרים לשניה. לאיזה מרחק תגיע המכונית כעבור דקה? ננסה כעת להכליל את השיטה. חסם מהירות גודל הקטע (קבוע) נחלק את הזמן לn חלקים שווים. נעריך את המהירות בכל קטע על ידי המהירות בתחילת הקטע: מהירות הערכה מלמטה הערכה מלמעלה זמן 1200a a2400 סדרה חשבונית:

8. בעיה מעשית תאוצתה של מכונית היא x מטרים לשניה. לאיזה מרחק תגיע המכונית כעבור דקה? נחזור על התהליך עבור חסם עליון. שוב נחלק את הזמן. נעריך את המהירות בכל קטע על ידי המהירות בסוף הקטע: מהירות הערכה מלמטה הערכה מלמעלה זמן a2400

9. בעיה מעשית תאוצתה של מכונית היא x מטרים לשניה כלומר: לאיזה מרחק תגיע המכונית כעבור דקה? (כלומר - ) קיבלנו שתי סדרות הערכות שהאיבר היחיד שנמצא בין שתיהן הוא: מהירות הערכה מלמטה הערכה מלמעלה זמן

10. פתרון אחר לבעיה שראינו תאוצתה של מכונית היא aמטרים לשניה לאיזה מרחק תגיע המכונית כעבור דקה? ננסה לנסח את הבעיה שנתקלנו בה במונחים של חשבון דיפרנציאלי, כלומר: מצא את s(t). אנחנו מכירים את כל הפונקציות האלו. (הוכחנו ששתי פונקציותשוות-נגזרת נבדלות בקבוע) נציב ונקבל: חשוד מאוד! מה הקשר בין חישובי החסמים והשטחים לנגזרות?

11. מה הקשר בין חישובי שטחים לנגזרות נביט בגרף של פונקציה מסויימת: נסמן ב- את השטח בין הפונקציה לציר הx בקטע (x,0). ננסה להבין מה הקשר בין לבין . f(x) x

12. מה הקשר בין חישובי שטחים לנגזרות נסתכל על שינוי ברוחב של F(x) ליד x מסוים. נביט מקרוב יותר. קיבלנו הערכה לשינוי של F. f(x) x

13. מה הקשר בין חישובי שטחים לנגזרות נחלק את המשוואה בדלתא. וכעת נשאיף ל0.

14. מה הקשר בין חישובי שטחים לנגזרות אך אם f(x) רציפה – מתקיים ולכן כלומר השטח הוא פונקציה גזירה ונגזרתהf(x). f(x) x

15. ועכשיו פורמלי– אינטרגל הגדרה: תהי f(x) פונקציה רציפה. אם F’(x)=f(x) אז נכנה את Fקדומה של f, ונסמן: משפט: כל הקדומות של פונקציה f נבדלות בקבוע. מכונה לעיתים אינטגרל לא מסוים. הוכחה:(ברמת תרגיל תיאורטי לבחינה) נביט בשתי קדומות שונות: סימון שיזכיר לנו איזה משתנה צריך לגזור. דוגמא:

16. ועכשיו פורמלי– אינטרגל הגדרה: תהי f(x) פונקציה אי שלילית. נסמן את השטח שמתחת לגרף הפונקציה בין a לb ב- ונכנהו האינטגרל של f(x) בקטע a,b משפט (ניוטון-לייבניץ): אם f(x) רציפה בקטע וקדומתהF(x). גבולות האינטגרל

17. נוסחת ניוטון-לייבניץ נחזור לפונקציה שלנו: וקדומתה ראינו בתחילת הפרק מדוע חישובהשטח שמתחת לפונקציה קשור לקדומה,אולם כיצד בחרו ניוטון ולייבניץאת הקבוע של הקדומה עבור האינטגרל? אנו רוצים כי בa יהי ערך האינטגרל שלנו 0. לכן נרצה: כלומר: f(x) x

18. תכונות האינטרגל נפנה לחקור את תכונות האינטגרל הלא מסויים כהכנה לשימוש בו להבנת האינטגרל המסוים. כאשר נשווה אינטגרלים תהה תמיד ההשוואה עד כדי קבוע. טענה הוכחה

19. תכונות האינטרגל התכונות האלו מעודדות אותנו להרחיב את הגדרת האינטגרל המסוים עבור שטחים חדשים כדי שתכונות האינטגרל המסוים תתאמנה לאלו של הבלתי-מסויים: נגדיר אינטגרל של פונקציה שלילית לפי בתור: וכך נוכל לחשב אינטגרל מסוים גם לפונקציות לא חיוביות. לפי נוסחאת ניוטון לייבניץ נגדיר:

20. משמעות בגיאומטריה ובתחומים אחרים. מה המשמעות הגיאומטרית של אינטגרל של פונקציה כאשר אינה בהכרח חיובית? את השטח שמתחת ל0 ניקח בסימןשלילי. אך אל לנו לשכוח שאינטגרלים אינםמשמשים רק לחישוב שטחים. אלאגם פשוט להיפוך נגזרת. למשל כאשר מחשבים ריבית בבנקהריבית היא השינוי בכסף שברשותנו נראה דוגמא כזו בהמשך. f(x) a b x

21. דוגמאות אינטגרלים לא מסוימים מפורסמים:

22. משפט הערך הממוצע האינטגרלי תכונה שלמדנו בקורס הקודם ונהיית ברורה יותר בהסתכלות על אינטגרלים היא הערך הממוצע האינטגרלי. משפט: אם וf(x) רציפה, אזי קיים c בין a לb כך ש: f(x) x

23. תרגיל לדוגמא: חשב את השטח הכלוא מתחת לפונקציהומעל ציר הx. עלינו לחשב את:

24. וכעת – פרקטיקה. תרופות קיצוניות מתאימות מאוד למחלות קיצוניות. -- היפוקרטס