LE CONICHE

1. LE CONICHE

2. Le coniche come intersezione fra un piano ed un cono matematico CIRCONFERENZA ELLISSE PARABOLA IPERBOLE

3. RICHIAMI SULLA RETTA Equazione generale della retta ax + by + c = 0 In forma esplicita y = mx+q dove m è il coefficiente angolare asse x y = 0 asse y x = 0 retta parallela all’asse x y = k retta parallela all’asse y x = k retta passante per l’origine ax + by = 0

4. La Circonferenza r La circonferenza è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso chiamato CENTRO. C La sua equazione è

5. Le coordinate del centro e la lunghezza del raggio sono date da: C( α, β) dove α = -a/2 e β= -b/2 le coordinate del centro sono sempre calcolabili, il valore invece del raggio dipende dal fatto che il radicando sia positivo. Nel caso in cui sia nullo, si ha una circonferenza ridotta ad un punto e raggio zero. Se il radicando è negativo, si tratta teoricamente di una circonferenza non reale

6. Circonferenza e retta Retta secante Retta tangente Retta esterna

7. Circonferenza e retta Per trovare, nel piano cartesiano, le coordinate degli eventuali punti di intersezione di una circonferenza con una retta, si risolve un sistema di secondo grado con le equazioni assegnate

8. retta secante se >0 retta tangente se =0 retta esterna se <0

9. L’Ellisse Si chiama ellisse il luogo dei punti del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti  fissi  F1 e F2 (detti fuochi). P F2 F1

10. Se F1 e F2 sono i fuochi dell’ellisse per ogni punto P dell’ellisse si ha che: P PF1 + PF2 = costante F1 F2

11. Consideriamo un’ellisse con centro nell’origine e fuochi sull’asse delle ascisse. A1(-a,0) A2(a,0) B1(0,-b) B2(0,b) I punti A1, A2, B1, B2 sono detti “vertici” dell’ellisse. B2 A1 A2 F1 F2 A1A2 è l’ “asse maggiore” B1 F1(-c,0) F2(c,0) B1B2 è l’ “asse minore” dove: F1F2 è l’ “asse focale”

12. b a L’equazione di un’ellisse con il centro nell’origine e i fuochi sull’asse delle ascisse è: con a > b misure dei semiassi y x

13. B2 Se i fuochi sono sull’asse delle ordinate si avrà un’ellisse simile a quella in figura. F2 A1 A2 F1 Evidentemente, l’asse maggiore è il segmento B1B2 B1

14. L’equazione di un’ellisse con il centro nell’origine e i fuochi sull’asse delle ordinate è: con b > a misure dei semiassi

15. Viene chiamata eccentricità “e” di un’ellisse il rapporto tra la semidistanza focale “c” e la lunghezza del semiasse maggiore: 0 ≤ e ≤ 1

16. LA PARABOLA La parabola è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti fa un punto fisso detto FUOCO e da una retta fissa detta DIRETTRICE Se a >0 la parabola volge la concavità verso l’alto Se a < 0 la parabola volge la concavità verso il basso

17. V è IL VERTICE DELLA PARABOLA Nb.in alternativa per ricavare la y del vertice basta sostituire la x nella equazione della parabola

18. Per tracciare con sufficiente precisione il grafico di una parabola è necessario determinarne: • Concavità • Vertice • Intersezioni con gli assi cartesiani

19. IPERBOLE Si chiama iperbole il luogo dei punti del piano per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti  fissiF1 eF2 detti fuochi.

20. Equazione: • Lunghezze degli assi: 2a asse trasverso 2b asse non trasverso • Coordinate dei vertici: ( -a, 0 ) , ( a, 0 ) • Coordinate dei fuochi: ( -c, 0 ) , ( c, 0 )

21. FINE PRESENTAZIONE G. Barbaro