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第 27 课　直线与圆 ﹑ 圆与圆的位置关系

第 27 课　直线与圆 ﹑ 圆与圆的位置关系. 基础知识 自主学习. 要点梳理. 1 ．直线和圆的位置关系： (1) 设 r 是⊙ O 的半径， d 是圆心 O 到直线 l 的距离. 垂直于. (2) 切线的性质： ①切线的性质定理：圆的切线 经过切点的半径． ②推论 1 ：经过切点且垂直于切线的直线必经过 ． ③推论 2 ：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． (3) 切线的判定定理：经过半径的外端并且 这条半径的直线是圆的切线．

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第 27 课　直线与圆 ﹑ 圆与圆的位置关系

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  1. 第27课　直线与圆﹑圆与圆的位置关系

  2. 基础知识 自主学习 要点梳理 1．直线和圆的位置关系： (1)设r是⊙O的半径，d是圆心O到直线l的距离.

  3. 垂直于 • (2)切线的性质： • ①切线的性质定理：圆的切线经过切点的半径． • ②推论1：经过切点且垂直于切线的直线必经过． • ③推论2：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． • (3)切线的判定定理：经过半径的外端并且这条半径的直线是圆的切线． • (4)三角形的内切圆：和三角形三边都的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是，内切圆的圆心叫做三角形的，内切圆的半径是内心到三边的距离． 圆心 垂直于 相切 三角形三条角平分线的交点 内心

  4. 2．圆与圆的位置关系： 设两个圆的半径为R和r(R＞r)，圆心距为d.

  5. [难点正本　疑点清源] • 1．与圆的位置关系 • 理解点与圆、直线与圆、圆与圆的三种位置关系，培养用类比方法 • 获取知识，用运动观点分析问题的能力． • 直线与圆：两个交点⇔直线与圆相交；一个交点⇔直线与圆相切； • 没有交点⇔直线与圆相离． • 圆与圆：两个交点⇔圆与圆相交；一个交点⇔圆与圆相切(外切或 • 内切)；没有交点⇔圆与圆相离(外离或内含)． • 2．分类思想在与圆相关问题中的应用 • 在一些没有给定图形的几何题中，由于点、线、面等几何图形位置 • 的不确定性，直接影响了问题的结果，这时就需要分类讨论．常见的分 • 类有：根据点的位置在圆内或圆外；两条平行弦在圆心的同侧或异侧； • 弦所对的圆周角的顶点在优弧上或在劣弧上；相切两圆是内切或外切； • 内切两圆“包含”或“被包含”；相交两圆的圆心在公共弦的同侧或异侧， • 等等．

  6. 基础自测 • 1．(2010·青岛)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝4 cm，以点C为圆心，以2 cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是() • A．相离 B．相切 • C．相交 D．相切或相交 • 答案　B

  7. 答案　C

  8. 3．(2011·杭州)在平面直角坐标系xOy中，以点(－3,4)为圆心，4为半径的圆()3．(2011·杭州)在平面直角坐标系xOy中，以点(－3,4)为圆心，4为半径的圆() • A．与 x 轴相交，与 y 轴相切 • B．与 x 轴相离，与 y 轴相交 • C．与 x 轴相切，与 y 轴相交 • D．与 x 轴相切，与 y 轴相离 • 答案　C • 解析　如图，点(－3,4)到x轴的距离dx＝4＝r，所以圆与 • x 轴相切；点(－3,4)到 y 轴的距离 dy＝3<r，所以圆与 y • 轴相交．

  9. 答案　C

  10. 5．(2011·济宁)已知⊙O1与⊙O2相切，⊙O1的半径为3 cm，⊙O2的半径为2 cm，则O1O2的长是() • A．1 cm B．5 cm • C．1 cm或5 cm D．0.5 cm或2.5 cm • 答案　C • 解析　当⊙O1与⊙O2内切时，d＝3－2＝1 cm；当⊙O1与⊙O2外切时，d＝3＋2＝5 cm.综上，d＝1 cm或5 cm.

  11. 题型分类 深度剖析 题型一　判断直线与圆、圆与圆的位置关系

  12. (2)(2011·枣庄)如图，小圆的圆心在原点，半径为3，大圆的圆心坐标为( a, 0 )，半径为5. 如果两圆内含，那么 a 的取值范围是________． • 答案　－2＜a＜2 • 解析　当大圆与小圆内含时，0<d<5－3，即0<d<2. • 又∵d＝|a|，∴0<|a|<2，∴－2<a<2.

  13. 探究提高　根据圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系作判断，d>r⇔直线与圆相离；d＝r⇔直线与圆相切；d<r⇔直线与圆相交．探究提高　根据圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系作判断，d>r⇔直线与圆相离；d＝r⇔直线与圆相切；d<r⇔直线与圆相交．

  14. 知能迁移1(1)如图，已知在△OAB中，OA＝OB＝13，AB＝24，⊙O的半径长为r＝5.判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由．知能迁移1(1)如图，已知在△OAB中，OA＝OB＝13，AB＝24，⊙O的半径长为r＝5.判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由．

  15. (2)(2011·襄阳)在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，若⊙A、⊙B的半径分别为1 cm、4 cm，则⊙A、⊙B的位置关系是() • A．外切 B．内切 • C．相交 D．外离 • 答案　A • 解析　在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°， • ∴AB＝5.由1＋4＝5，得⊙A、⊙B外切．

  16. (3)(2011·大理)如图，已知⊙B与△ABD的边AD相切于点C，AC＝4，⊙B的半径为3，当⊙A与⊙B相切时，⊙A的半径是()(3)(2011·大理)如图，已知⊙B与△ABD的边AD相切于点C，AC＝4，⊙B的半径为3，当⊙A与⊙B相切时，⊙A的半径是() • A．2 B．7 • C．2或5 D．2或8 • 答案　D • 解析　连接BC，则有BC⊥AD，在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，则AB＝5.当⊙A与⊙B外切时，⊙A的半径为5－3＝2；当⊙A与⊙B内切时，⊙A的半径为5＋3＝8.

  17. 题型二　圆的切线性质 • 【例 2】　如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，求证：AC平分∠DAB. • 解　证明：连接OC. • ∵CD切⊙O于C， • ∴OC⊥CD. • ∵AD⊥CD， • ∴AD∥OC， • ∴∠DAC＝∠OCA. • ∵OA＝OC， • ∴∠OCA＝∠OAC. • ∴∠OAC＝∠DAC， • 即AC平分∠DAB.

  18. 探究提高　遇到切点，通常作的辅助线是连接圆心和切点，这样运用切线的性质，构造出直角三角形，再进一步解答．记住：由切线联想到直角，从而充实题中的已知条件．探究提高　遇到切点，通常作的辅助线是连接圆心和切点，这样运用切线的性质，构造出直角三角形，再进一步解答．记住：由切线联想到直角，从而充实题中的已知条件．

  19. 题型三　根据切线判定，证明直线与圆相切 • 【例 3】(2010·舟山) 如图所示，AB是⊙O直径，OD⊥弦BC于点F，且交⊙O于点E，且∠AEC＝∠ODB. • (1)判断直线BD和⊙O的位置关系，并给出证明； • (2)当AB＝10，BC＝8时，求△DFB的面积．

  20. 解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！ • 解：(1)直线BD和⊙O相切．[1分] • 证明：∵∠AEC＝∠ODB，∠AEC＝∠ABC， • ∴∠ABC＝∠ODB. • ∵OD⊥BC， • ∴∠DBC＋∠ODB＝90°， • ∴∠DBC＋∠ABC＝90°.即∠DBO＝90°. • ∴直线BD和⊙O相切．[5分]

  21. 探究提高　当已知条件中给出直线与圆有公共点时，只要证明圆心与公共点的连线垂直于这条直线，就可以判定直线与圆相切，连接圆心和公共点是常作的辅助线．探究提高　当已知条件中给出直线与圆有公共点时，只要证明圆心与公共点的连线垂直于这条直线，就可以判定直线与圆相切，连接圆心和公共点是常作的辅助线．

  22. 题型四　与圆的切线相关的综合题 • 【例 4】(2011·珠海)已知：如图， • 锐角△ABC内接于⊙O，∠ABC • ＝45°；点D是上一点，过点D • 的切线DE交AC的延长线于点E， • 且DE∥BC.连接AD、BD、BE， • AD的垂线AF与DC的延长线交于 • 点F. • (1)求证：△ABD∽△ADE; • (2)记△DAF、△BAE的面积分别为S△DAF、S△BAE，求证：S△DAF＞S△BAE.

  23. 探究提高　综合利用圆的切线的性质与判定，是解探究提高　综合利用圆的切线的性质与判定，是解 答综合题的关键．

  24. 知能迁移4(2011·陕西)如图，在△ABC中，∠B＝60°，⊙O是△ABC外接圆，过点A作⊙O的切线，交CO的延长线于P点，CP交⊙O于D.知能迁移4(2011·陕西)如图，在△ABC中，∠B＝60°，⊙O是△ABC外接圆，过点A作⊙O的切线，交CO的延长线于P点，CP交⊙O于D. • (1)求证：AP＝AC； • (2)若AC＝3，求PC的长．

  25. 答题规范 11．忽视弦和圆心之间的位置关系造成漏解 • 考题再现 • 1．在直径等于10 cm的⊙O中，有两条平行弦AB和CD分别等于6 cm和8 cm，求梯形ABCD的面积． • 2．已知相交两圆的半径分别为5 cm和4 cm，公共弦长为6 cm，求这两圆的圆心距．

  26. 老师忠告　 • 1．在有关圆的问题中，若忽视弦和圆心的位置关系，将会导致漏解．画两条平行弦，同学们往往习惯将圆心画在平行弦之间，而忽略了平行弦在圆心同一旁的情况；画两圆相交的图形时，同学们往往习惯把公共弦画在两圆圆心之间，忽略了公共弦可能在两圆圆心同旁的情况． • 2．解答几何题目时，若条件没加以设定，应该将各种情况都考虑进去，这也是发散思维的一个很重要的标志．

  27. 思想方法 感悟提高 • 方法与技巧 • 1. 圆的切线有三种判定方法：①和圆只有一个公共点 • 的直线是圆的切线；②到圆心的距离等于半径的直线是圆的 • 切线；③过半径外端且和这条半径垂直的直线是圆的切线． • 注意：只有知道直线和圆有公共点时，才能用切线的判 • 定方法③. • 2. 遇到切点时，常作过切点的半径构造直角，相切两 • 圆经常连结连心线经过切点，相交两圆连结连心线和公共弦 • 构造直角．

  28. 失误与防范 • 1．以下容易混淆的概念问题： • (1)直线和圆有一个公共点，则直线与圆相切． • 分析：直线和圆有一个公共点，不排除还有另一个公共 • 点．正确说法：直线和圆有且只有一个公共点，则直线与圆 • 相切． • (2)圆的切线垂直于圆的半径． • 分析：圆的半径有无数条，切线垂直于哪条半径呢？正 • 确说法：圆的切线垂直于过切点的半径．

  29. 完成考点跟踪训练27

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