第五章矩阵与行列式

第五章矩阵与行列式 §5.6用MATLAB计算矩阵与行列式

用MATLAB计算矩阵与行列式 • 行列式的求值在MATLAB中我们只需借助函数det就可以求出行列式的值，其格式为 det (A) 其中A为n阶方阵．

练习5.14求矩阵 的行列式的值．程序设计： >> clear >> A=[1 0 2 1;-1 2 2 3; 2 3 3 1;0 1 2 1]; >> det (A) 运行结果： ans= 14 程序说明： 1．Clear的作用是清除内存中的变量． 2．矩阵的输入可以有两种格式，除程序中的输入方式外，还可以如下输入： A=[1,0,2,1;-1,2,2,3;2,3,3,1;0,1,2,1]

练习5.15计算行列式 程序设计： >> clear >> syms a b c d >> A=[a 1 0 0;-1 b 1 0;0 –1 c 1;0 0 –1 d]; >> DA=det (A) 声明变量生成符号矩阵运行结果： DA= 程序说明：函数det也可以用于计算含有变量的行列式．

矩阵的基本运算 • 矩阵的加、减 (1) 维数相同，即行数和列数都分别相等． (2) 矩阵相应位置的元素相加、减． • 练习5.14求矩阵与矩阵的和与差．解程序设计： >> clear >> A=[1 2 3;2 1 2;3 3 1]; >> B=[3 2 4;2 5 3;2 3 1]; >> C=A+B; >> D=A-B; >> C,D

运行结果： C= 4 4 7 4 6 5 5 6 2 D= -2 0 -1 0 -4 -1 1 0 0 例题分析： 1．进行加、减运算的矩阵必须是同型的． 2．在进行矩阵相加的运算时，A+B和B+A的值相同，满足加法交换律．

数与矩阵相乘，是数与矩阵中的每个元素相乘．数与矩阵相乘，是数与矩阵中的每个元素相乘． • 数与矩阵相乘练习5.17求矩阵与5的乘积程序设计： >> clear >> A=[1 0 1;2 1 1;1 2 1]; >> B=5*A >> C=A*5

运行结果： B= 5 0 5 10 5 5 5 10 5 C= 5 0 5 10 5 5 5 10 5 程序说明：5*A与A*5的值相同．

两矩阵相乘时，第一个矩阵（左矩阵）的列数必须等于第二个矩阵（右矩阵）的行数．两矩阵相乘时，第一个矩阵（左矩阵）的列数必须等于第二个矩阵（右矩阵）的行数． • 矩阵与矩阵相乘练习5.18 求与的乘积．程序设计： >> clear >> A=[1 2 3;2 1 2;3 3 1]; >> B=[3 2 4;2 5 3;2 3 1]; >> C=A*B , D=B*A

运行结果： C= 13 21 13 12 15 13 17 24 22 D= 19 20 17 21 18 19 11 10 13 例题分析：比较C和D，可以看出A*B和B*A的结果完全不同．

如果矩阵A是方阵且是非奇异的（可逆），可以用函数inv (A)求得A的逆矩阵． • 求矩阵的逆练习5.19求矩阵的逆矩阵．程序设计： >> clear >> A=[1 –1 2;0 1 –1;2 1 0]; >> C= inv (A)

运行结果： C= -1 -2 1 2 4 -1 2 3 -1 程序说明：如果矩阵不可逆，则运行结果会给出警告信息．

练习5.20利用矩阵的初等行变换求上例矩阵的逆．练习5.20利用矩阵的初等行变换求上例矩阵的逆．程序设计： >> clear >> B=[1 –1 2 1 0 0;0 1 –1 0 1 0;2 1 0 0 0 1]; >> format rat >> C=rref (B) 矩阵A的增广矩阵以有理格式输出给出矩阵B的行最简形 C= 1 0 0 -1 -2 1 0 1 0 2 4 -1 0 0 1 2 3 -1

>> D=C(:,4:6) D= -1 -2 1 2 4 -1 2 3 -1 取矩阵C的4到6列， D即为矩阵A的逆矩阵例题说明：由线性代数的知识可知，矩阵A和其同型的单位矩阵E组成增广矩阵B，对B进行初等行变换，当矩阵A变为单位阵时，单位矩阵E变为矩阵A的逆．

在MATLAB中，矩阵相除可以利用运算符“\”（左除）和“/”（右除），而在线性代数中并没有定义矩阵的除法.在MATLAB中，矩阵相除可以利用运算符“\”（左除）和“/”（右除），而在线性代数中并没有定义矩阵的除法. • 矩阵相除练习5.19 求矩阵和相除．程序设计： >> clear >> A=[1 2 3;4 2 1;2 1 3]; >> B=[2 1 2;1 2 1;3 2 1]; >> C=A\B 矩阵左除，相当于inv(A)*B，inv(A)为矩阵A的逆

C= 0.3333 0.6000 -0.2000 -0.6667 -0.4000 0.8000 1.0000 0.40000 0.2000 >> D=A/B D= 1.3333 1.3333 -1.0000 0 -0.5000 1.5000 1.6667 0.1667 -0.50000 矩阵右除，相当于A*inv (B) 说明： 1．矩阵的左除和右除概念完全不同，要注意区分． 2．可以利用矩阵的左除求解线性方程组AX=b，其中 X=A\b． 3．可以利用矩阵的右除求解线性方程组XA=b，其中 X=b/A．

矩阵的秩 练习5.19求矩阵的秩．解：>>clear; >>A=[2 1 1 2;1 2 2 1;1 2 1 2;2 2 1 1]; >>rank(A) ans= 4 矩阵A的行向量或列向量线性无关． rank(A)=4

求解线性方程组 • 齐次线性方程组通过求系数矩阵的秩来判断解的情况： (1) 如果系数矩阵的秩为n（方程组中未知数的个数)，则方程组只有零解． (2) 如果系数矩阵的秩小于n，则方程组有无穷多解．

2.非齐次线性方程组AX=b 根据系数矩阵A的秩和增广矩阵B=[A b]的秩和未知数个数n的关系，判断方程组AX=b的解的情况： (1) 如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩等于n，则方程组有唯一解． (2) 如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩小于n，则方程组有无穷多解． (3) 如果系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，则方程组无解．

练习5.20求解方程组 解： >>clear >>A=[-1 –2 4;2 1 1;1 1 –1]; >>rank(A) ans= 2 >>rref(A) ans = 1 0 2 0 1 –3 0 0 0 说明方程有无穷多解，并且解为

练习5.21求解方程组 , 解 >> clear >> A=[2 1 2；2 1 4；3 2 1]； >> b=[3 1 7]’； >> X=A\b X= 2 1 -1

练习5.22求解方程组 >>clear >>A=[1 –1 1 –1;-1 1 1 –1;2 –2 –1 1]; >>b=[1 1 –1]’; >>C=[rank(A) rank([A b])] 解 C= 2 2 表示秩(a)=2,秩([a b])=2 小于未知数的个数4

再输入 >> rref([A b]) ans= 由表示行最简形矩阵，得通解 ( 为自由未知数)

习题 • 习题1已知求： (1) 的秩 (2) (3) (4)

习题2求解方程组 解： Matlab编程： >>A=[-1 1 -6;2 -1 2;1 3 -2]; >> b=[3 7 5]'; >> C=rank(A) >> rref([A b]) >> X=A\b

运行结果： C = 3 ans = 1.0000 0 0 4.5000 0 1.0000 0 -0.7500 0 0 1.0000 -1.3750 X = 4.5000 -0.7500 -1.3750

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