Análisis Matemático III

1. Análisis Matemático III Primera parte Funciones Segunda parte Integrales Tercera parte Ecuaciones diferenciales Cuarta parte Método para resolver una ecuación diferencial

2. Parte I Funciones

3. Funciones Definición La función denota una regla que asigna a cada elemento de x del conjunto A, exactamente un elemento, denotados por f(x) del conjunto B. fFunción A y BConjuntos x f(x) A B a f(a)

4. Funciones • Considerando que los conjuntos A y B son conjuntos de números reales: • Dominio es el conjunto A de la función, denotado por D(f). • Rango es el conjunto de todos los valores posiblesf(x) conforme varía en todo el dominio A. • El número f(x) es el valor de f en x.

5. Funciones y y=f(x) Rango x Dominio

6. Funciones Ejemplo Encuentre el dominio y rango de cada función: f(x)=2x-1 g(x)=x2

7. Funciones Solución La ecuación de la gráfica es y=2x-1, la cual es la ecuación de una recta con pendiente y ordenada en el origen de -1. La expresión esta definida por todos los números reales, de manera que D(f)=R y su rango es también R(f)=R. 1 -1 1/2 1 -1

8. Funciones Solución La ecuación de la gráfica g(x)=x2, la cual representa una parábola. La función g esta definida para cualquier número real, así D(g)=R y su rango es positivo. 4 3 2 1 2 -2 -1 1

9. I.1 Exponencial y Logarítmica Funciones Potencia Funciones donde la base es una variable y la potencia es una constante, tiene la siguiente forma: Ejemplos:

10. I.1 Exponencial y Logarítmica Función Exponencial Función donde la base es una constante y la potencia es una variable, es la función exponencial de base a, tiene la siguiente forma: Ejemplos:

11. I.1 Exponencial y Logarítmica Propiedades de la Función Exponencial Siendo: 4. 5. 6.

12. I.1 Exponencial y Logarítmica En cálculo se decide trabajar como base el número irracional e que tiene un valor aproximado de 2.718281828. Definición La función exponencial para cualquier x єR se define como: Cuenta con las mismas propiedades que cualquier función exponencial de base a.

13. I.1 Exponencial y Logarítmica Gráfica de la Función Exponencial “base e” 4 3 2 1 0.5 1 1.5 -1.5 -1 -0.5

14. I.1 Exponencial y Logarítmica Función Logarítmica Para a>0 y a1 y x>0 denotamos la función logaritmo de base a por logax, y se define como: Si x>0 entonces logax es el exponente al que debe elevarse la base a para dar x.

15. I.1 Exponencial y Logarítmica Las funciones exponenciales y logarítmicas son funciones inversas una de otra, como se puede ver en los siguientes ejemplos:

16. I.1 Exponencial y Logarítmica Propiedades de la Función Logarítmica Siendo: a, b  1 y x, y >0se tienen las siguientes características: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

17. I.1 Exponencial y Logarítmica Logaritmo Natural Es la función para un x>0 se define como la función logaritmo cuya base es el número e y se denota por: Esta función goza de las mismas características que la función logarítmica de base a, dados x, y > 0.

18. I.1 Exponencial y Logarítmica Función de Logaritmo Natural 1 0.5 1.5 2 -1 -2 -3 -4

19. I.1 Exponencial y Logarítmica • Propiedades como Funciones Inversas • Si a > 0 y a  1 se tiene: • Si a = e se tiene:

20. I.1 Exponencial y Logarítmica Ejemplo: Desarrolla las siguientes expresiones:

21. I.1 Exponencial y Logarítmica Solución: 1. Aplicando la propiedad 4 de logaritmos:

22. I.1 Exponencial y Logarítmica Solución: 2. Aplicando la propiedad 5 de logaritmo natural:

23. I.1 Exponencial y Logarítmica Solución: 3. Aplicando la propiedad 3 y 4 de logaritmos:

24. I.1 Exponencial y Logarítmica Solución: 4. Aplicando la propiedad 3, 4 y 5 de logaritmo natural:

25. I.1 Exponencial y Logarítmica Ejercicios de Tarea: 1. Desarrolla la siguiente expresión: 2. Despejar x de las siguientes expresión: a)b) c)

26. I.2 Diferenciación de la Función Exponencial Funciones de Base Arbitraria Para a>0 y a1 y u=u(x) una función diferencial en x donde xєR entonces la derivada de ax es: y para la derivada de au es:

27. I.2 Diferenciación de la Función Exponencial • Ejemplo: • 1. Derivar las siguientes funciones: • y=2x (b) y=2senx • Solución: • (a) (b)

28. I.2 Diferenciación de la Función Exponencial Funciones de Base e Para a>0 y a1 y u=u(x) una función diferencial en x donde xєR entonces la derivada de ex es: y para la derivada de eu es:

29. I.2 Diferenciación de la Función Exponencial Ejercicios para Realizar en Clase: 1.Calcular las derivadas de las siguientes expresiones: a) y=e3x+1 b) y=(ex+1)2 c) y=e3x d) y=etan3x

30. I.2 Diferenciación de la Función Exponencial Ejercicios de Tarea: 1.Calcular las derivadas de las siguientes expresiones: a) y=a5x-1 b) y=x2ex c) y=e5x

31. I.3 Diferenciación de la Función Logarítmica Derivación con Base e Si a>0, a1 y u=u(x), es una función diferenciable de x, donde x>0, entonces la derivada de lnx es: y la derivada de lnu es:

32. I.3 Diferenciación de la Función Logarítmica • Ejemplo: • Derivar las siguientes funciones: • (a) (b) • Solución: • (a) (b)

33. I.3 Diferenciación de la Función Logarítmica Ejercicios para Resolver en Clase: 1.Derivar las siguientes funciones: a) b) c)

34. I.3 Diferenciación de la Función Logarítmica Ejercicios de Tarea: 1.Derivar las siguientes funciones: a) b)

35. I.3.1 Diferenciación Logarítmica El cálculo de derivadas de funciones complicadas que comprenden productos, cocientes o potencias se puede simplificar tomando logaritmos. Método de la Derivación Logarítmica: 1. Tome logaritmos naturales en ambos miembros de una ecuación y=f(x) y aplique la propiedad de los logaritmos para simplificar. 2. Derive con respecto a x. 3. Resuelva la ecuación resultante para y’.

36. I.3.1 Diferenciación Logarítmica Ejemplo: 1. Derivar las siguiente ecuación: Solución:

37. I.3.1 Diferenciación Logarítmica Ejercicios para Resolver en Clases: 1. Aplique la derivación logarítmica para hallar la derivada de las siguientes funciones: a)b)

38. I.3.1 Diferenciación Logarítmica Ejercicios de Tarea: 1. Aplique la derivación logarítmica para hallar la derivada de las siguientes funciones: a)b)

39. Capítulo II Integrales

40. ii.1 Integral Indefinida Definición Una función F se dice que es una primitiva o antiderivada de fen un intervalo I si F’(x)=f(x) para todo x є I. Ejemplo Se necesita encontrar una función F que su derivada sea f(x)=4x3, por los conocimientos en diferenciación se diría que: Por lo tanto F es una primitiva de f.

41. ii.1 Integral Indefinida Familia de Primitivas: Si F es una primitiva de f en un intervalo I, entonces G es una primitiva de f en I si y solo si G es de la forma: Ejemplo Sabemos que la función F(x)=x4 es una primitiva de f(x)=4x3así que las siguientes funciones: G1(x)=x4+5G2(x)=x4-123 también son primitivas de f(x). Es la familia de primitivas de f(x)

42. ii.1 Integral Indefinida Para denotar la primitiva de una función f se usa la notación: Definición El proceso de calcular las primitivas de una función f se denomina integración, así que tenemos: lo que significa que:

43. ii.1 Integral Indefinida Partes de la Integración: Variable de Integración Símbolo de la Integración Constante de Integración Integrando

44. ii.1 Integral Indefinida Reglas de la Integración: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

45. ii.1 Integral Indefinida Reglas de la Integración: 9. 10. 11. 12. 13. 14.

46. ii.1 Integral Indefinida Ejemplo: Encuentre las siguientes integrales indefinidas: 1. 2. 3. 4. 5.

47. ii.1 Integral Indefinida Solución: 1. 2. 3.

48. ii.1 Integral Indefinida Solución: 4. 5.

49. ii.1 Integral Indefinida Ejercicios para resolver en Clase: Encuentre las siguientes integrales indefinidas: 1. 2. 3.

50. ii.1 Integral Indefinida Ejercicios de Tarea: Encuentre las siguientes integrales indefinidas: 1. 2. 3.