ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

1. ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 • ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ • (ΑΛΓΕΒΡΑ, ΣΕΛ. 174-196) • Ορισμοί • Αλγεβρικό Συμπλήρωμα • Τιμή ορίζουσας • Βασικές ιδιότητες οριζουσών • Συστήματα εξισώσεων

3. ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ • Ορίζουσα λέγεται μια διάταξη αριθμών σε γραμμές και στήλες με τη μορφή ενός τετραγωνικού πίνακα. • Η ορίζουσα τοποθετείται μεταξύ δύο κατακόρυφων γραμμών όπως αυτές που χρησιμοποιούμε για τις απόλυτες τιμές. • Τα περιεχόμενα μιας ορίζουσας λέγονται στοιχεία της ορίζουσας. • Τάξη ορίζουσας λέγεται ο αριθμός των στοιχείων μιας γραμμής. Για παράδειγμα η ορίζουσα a,που βλέπετε πιο πάνω, είναι τάξης 4. • Κάθε ορίζουσα έχει μια και μόνο τιμή. Ο υπολογισμός της τιμής ορίζουσας, θα αναλυθεί αργότερα . Πριν όμως προχωρήσουμε, θα δώσουμε μερικούς ορισμούς.

5. ΑΛΓΕΒΡΙΚΟ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ • Αλγεβρικό συμπλήρωμαD(aij)του στοιχείου aij, που βρίσκεται στη γραμμή i και στήλη j λέγεται η ορίζουσα που προκύπτει αν διαγράψουμε ολόκληρη τη γραμμή και τη στήλη του στοιχείου αυτού. • Πρόσημο του αλγεβρικού συμπληρώματος είναι το (–1)i+j Παράδειγμα: Το στοιχείο a22 της ορίζουσας a βρίσκεται στη 2η γραμμή και 2η στήλη, τις οποίες διαγράφουμε. Ισχύει i=j=2. Συνεπώς το πρόσημο είναι (-1)2+2=+1 Άρα το στοιχείο a22έχει το αλγεβρικό συμπλήρωμα D(a22): ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Παρατηρούμε ότι το αλγεβρικό συμπλήρωμα κάθε στοιχείου είναι ορίζουσα τάξης μικρότερης κατά 1 της τάξης της αρχικής ορίζουσας.

6. ΑΛΓΕΒΡΙΚΟ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ ΑΣΚΗΣΗ: Να υπολογισθεί το αλγεβρικό συμπλήρωμα του στοιχείου a34. ΛΥΣΗ: i=3, j=4, i+j=7 (-1)i+j=(-1)7=-1 (Πρόσημο ελάσσονος ορίζουσας το -) Η ορίζουσα θα προκύψει μετά τη διαγραφή της γραμμής 3 και της στήλης 4

8. ΤΙΜΗ ΟΡΙΖΟΥΣΑΣ • Η τιμή μιας ορίζουσας είναι ίση με το άθροισμα των γινομένων όλων των στοιχείων μιας γραμμής (ή μιας στήλης) επί τα αλγεβρικά τους συμπληρώματα. Η διαδικασία για τον υπολογισμό της τιμής μιας ορίζουσας ν τάξης είναι: Γράφουμε την ορίζουσα σε μορφή αθροίσματος γινομένων των στοιχείων μιας γραμμής της επί τα αλγεβρικά τους συμπληρώματα, που όλα θα είναι τάξης ν-1. Έτσι θα έχουμε πλέον ν ορίζουσες τάξης ν-1. Κάθε μία ορίζουσα τάξης ν-1 τη γράφουμε σε μορφή αθροίσματος γινομένων των στοιχείων μιας γραμμής της επί τα αλγεβρικά τους συμπληρώματα, που όλα θα είναι τάξης ν-2. Έτσι θα έχουμε πλέον ν•(ν-1) ορίζουσες τάξης ν-2. Επαναλαμβάνουμε τον υποβιβασμό της τάξης των οριζουσών, μέχρι να καταλήξουμε σε ν! ορίζουσες τάξης 1.

9. ΤΙΜΗ ΟΡΙΖΟΥΣΑΣ • Η τιμή μιας ορίζουσας τάξης 1 (περιλαμβάνει ένα μόνο στοιχείο) είναι ίση με την τιμή του μοναδικού της στοιχείου.

10. ΤΙΜΗ ΟΡΙΖΟΥΣΑΣ • Η τιμή μιας ορίζουσας τάξης 1 (περιλαμβάνει ένα μόνο στοιχείο) είναι ίση με την τιμή του μοναδικού της στοιχείου. Η τιμή μιας ορίζουσας τάξης 2 (2 γραμμές και 2 στήλες) υπολογίζεται σύμφωνα με τον κανόνα που είδαμε νωρίτερα ως εξής:

11. ΤΙΜΗ ΟΡΙΖΟΥΣΑΣ • Η τιμή μιας ορίζουσας τάξης 1 (περιλαμβάνει ένα μόνο στοιχείο) είναι ίση με την τιμή του μοναδικού της στοιχείου. • Η τιμή μιας ορίζουσας τάξης 2 (2 γραμμές και 2 στήλες) υπολογίζεται σύμφωνα με τον κανόνα που είδαμε νωρίτερα ως εξής: • Για κάθε στοιχείο της 1ης γραμμής υπολογίζουμε τα αλγεβρικά συμπληρώματα

12. ΤΙΜΗ ΟΡΙΖΟΥΣΑΣ • Η τιμή μιας ορίζουσας τάξης 1 (περιλαμβάνει ένα μόνο στοιχείο) είναι ίση με την τιμή του μοναδικού της στοιχείου. • Η τιμή μιας ορίζουσας τάξης 2 (2 γραμμές και 2 στήλες) υπολογίζεται σύμφωνα με τον κανόνα που είδαμε νωρίτερα ως εξής: • Για κάθε στοιχείο της 1ης γραμμής υπολογίζουμε τα αλγεβρικά συμπληρώματα

13. ΤΙΜΗ ΟΡΙΖΟΥΣΑΣ • Η τιμή μιας ορίζουσας τάξης 1 (περιλαμβάνει ένα μόνο στοιχείο) είναι ίση με την τιμή του μοναδικού της στοιχείου. • Η τιμή μιας ορίζουσας τάξης 2 (2 γραμμές και 2 στήλες) υπολογίζεται σύμφωνα με τον κανόνα που είδαμε νωρίτερα ως εξής: • Για κάθε στοιχείο της 1ης γραμμής υπολογίζουμε τα αλγεβρικά συμπληρώματα

14. ΤΙΜΗ ΟΡΙΖΟΥΣΑΣ • Η τιμή μιας ορίζουσας τάξης 1 (περιλαμβάνει ένα μόνο στοιχείο) είναι ίση με την τιμή του μοναδικού της στοιχείου. • Η τιμή μιας ορίζουσας τάξης 2 (2 γραμμές και 2 στήλες) υπολογίζεται σύμφωνα με τον κανόνα που είδαμε νωρίτερα ως εξής: • Για κάθε στοιχείο της 1ης γραμμής υπολογίζουμε τα αλγεβρικά συμπληρώματα • Εκφράζουμε την ορίζουσα σαν άθροισμα γινομένων των στοιχείων της 1ης γραμμής επί τα αλγεβρικά τους συμπληρώματα.

15. ΤΙΜΗ ΟΡΙΖΟΥΣΑΣ • Η τιμή μιας ορίζουσας τάξης 1 (περιλαμβάνει ένα μόνο στοιχείο) είναι ίση με την τιμή του μοναδικού της στοιχείου. • Η τιμή μιας ορίζουσας τάξης 2 (2 γραμμές και 2 στήλες) υπολογίζεται σύμφωνα με τον κανόνα που είδαμε νωρίτερα ως εξής: • Για κάθε στοιχείο της 1ης γραμμής υπολογίζουμε τα αλγεβρικά συμπληρώματα • Εκφράζουμε την ορίζουσα σαν άθροισμα γινομένων των στοιχείων της 1ης γραμμής επί τα αλγεβρικά τους συμπληρώματα.

16. ΤΙΜΗ ΟΡΙΖΟΥΣΑΣ • Η τιμή μιας ορίζουσας τάξης 1 (περιλαμβάνει ένα μόνο στοιχείο) είναι ίση με την τιμή του μοναδικού της στοιχείου. • Η τιμή μιας ορίζουσας τάξης 2 (2 γραμμές και 2 στήλες) υπολογίζεται σύμφωνα με τον κανόνα που είδαμε νωρίτερα ως εξής: • Για κάθε στοιχείο της 1ης γραμμής υπολογίζουμε τα αλγεβρικά συμπληρώματα • Εκφράζουμε την ορίζουσα σαν άθροισμα γινομένων των στοιχείων της 1ης γραμμής επί τα αλγεβρικά τους συμπληρώματα. Παρατηρούμε ότι τελικά η τιμή ορίζουσας 2ης τάξης ισούται με τη διαφορά των γινομένων των στοιχείων των διαγωνίων της. ΣΗΜ. Χρησιμοποιώ κόκκινη διαγράμμιση για το θετικό γινόμενο και πράσινη για το αρνητικό.

17. ΤΙΜΗ ΟΡΙΖΟΥΣΑΣ ΑΣΚΗΣΗ: Να.υπολογισθεί η τιμή της ορίζουσας: ΛΥΣΗ:

18. ΤΙΜΗ ΟΡΙΖΟΥΣΑΣ • Η τιμή μιας ορίζουσας τάξης 3 υπολογίζεται με την ίδια διαδικασία, εκφράζοντάς τη σαν άθροισμα γινομένων των στοιχείων της 1ης γραμμής επί τα αλγεβρικά συμπληρώματα.

19. ΤΙΜΗ ΟΡΙΖΟΥΣΑΣ • Η τιμή μιας ορίζουσας τάξης 3 υπολογίζεται με την ίδια διαδικασία, εκφράζοντάς τη σαν άθροισμα γινομένων των στοιχείων της 1ης γραμμής επί τα αλγεβρικά συμπληρώματα. • Υπάρχει όμως ένας πιο απλός τρόπος, ο κανόνας Sarrus: • Γράφουμε την ορίζουσα

20. ΤΙΜΗ ΟΡΙΖΟΥΣΑΣ • Η τιμή μιας ορίζουσας τάξης 3 υπολογίζεται με την ίδια διαδικασία, εκφράζοντάς τη σαν άθροισμα γινομένων των στοιχείων της 1ης γραμμής επί τα αλγεβρικά συμπληρώματα. • Υπάρχει όμως ένας πιο απλός τρόπος, ο κανόνας Sarrus: • Γράφουμε την ορίζουσα • Προσθέτουμε προς τα δεξιά τις 2 πρώτες στήλες

21. ΤΙΜΗ ΟΡΙΖΟΥΣΑΣ • Η τιμή μιας ορίζουσας τάξης 3 υπολογίζεται με την ίδια διαδικασία, εκφράζοντάς τη σαν άθροισμα γινομένων των στοιχείων της 1ης γραμμής επί τα αλγεβρικά συμπληρώματα. • Υπάρχει όμως ένας πιο απλός τρόπος, ο κανόνας Sarrus: • Γράφουμε την ορίζουσα • Προσθέτουμε προς τα δεξιά τις 2 πρώτες στήλες • Υπολογίζουμε τα γινόμενα των διαγωνίων που φαίνονται με κόκκινη διαγράμμιση και τα προσθέτουμε.

22. ΤΙΜΗ ΟΡΙΖΟΥΣΑΣ • Η τιμή μιας ορίζουσας τάξης 3 υπολογίζεται με την ίδια διαδικασία, εκφράζοντάς τη σαν άθροισμα γινομένων των στοιχείων της 1ης γραμμής επί τα αλγεβρικά συμπληρώματα. • Υπάρχει όμως ένας πιο απλός τρόπος, ο κανόνας Sarrus: • Γράφουμε την ορίζουσα • Προσθέτουμε προς τα δεξιά τις 2 πρώτες στήλες • Υπολογίζουμε τα γινόμενα των διαγωνίων που φαίνονται με κόκκινη διαγράμμιση και τα προσθέτουμε. • Υπολογίζουμε τα γινόμενα των διαγωνίων που φαίνονται με πράσινη διαγράμμιση και τα αφαιρούμε.

23. ΤΙΜΗ ΟΡΙΖΟΥΣΑΣ • Η τιμή μιας ορίζουσας τάξης 3 υπολογίζεται με την ίδια διαδικασία, εκφράζοντάς τη σαν άθροισμα γινομένων των στοιχείων της 1ης γραμμής επί τα αλγεβρικά συμπληρώματα. • Υπάρχει όμως ένας πιο απλός τρόπος, ο κανόνας Sarrus: • Γράφουμε την ορίζουσα • Προσθέτουμε προς τα δεξιά τις 2 πρώτες στήλες • Υπολογίζουμε τα γινόμενα των διαγωνίων που φαίνονται με κόκκινη διαγράμμιση και τα προσθέτουμε. • Υπολογίζουμε τα γινόμενα των διαγωνίων που φαίνονται με πράσινη διαγράμμιση και τα αφαιρούμε. Το άθροισμα γινομένων που προκύπτει είναι η τιμή της ορίζουσας 3ης τάξης

24. ΤΙΜΗ ΟΡΙΖΟΥΣΑΣ ΑΣΚΗΣΗ: Να υπολογίσετε την τιμή της ορίζουσας 3ης τάξης με τον κανόνα Sarrus: ΛΥΣΗ:

25. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΙΜΗΣ ΟΡΙΖΟΥΣΑΣ 5ης ΤΑΞΗΣ

26. Θέμα: Να υπολογισθεί η τιμή της ακόλουθης ορίζουσας 5ης τάξης:

27. Θέμα: Να υπολογισθεί η τιμή της ακόλουθης ορίζουσας 5ης τάξης: Επιλέγω την 1η γραμμή για να αναπτύξω την ορίζουσα σε άθροισμα 5 οριζουσών 4ης τάξης.

28. Θέμα: Να υπολογισθεί η τιμή της ακόλουθης ορίζουσας 5ης τάξης: Επιλέγω την 1η γραμμή για να αναπτύξω την ορίζουσα σε άθροισμα 5 οριζουσών 4ης τάξης. ΣΚΕΠΤΙΚΟ: Ο αριθμός γραμμής παραμένει σταθερός i =1. Ο αριθμός στήλης αυξάνει κατά 1, αρχίζοντας από j=1. Επομένωςτο άθροισμα (i+j) αρχίζει από 2 και αυξάνει συνέχεια κατά 1. Συνεπώς οι δυνάμεις του (-1) είναι άρτιες και περιττές και εναλλάσσονται διαρκώς. Οι άρτιες δυνάμεις του (-1) μου δίνουν 1 και οι περιττές –1. Τα πρόσημα επομένως εναλλάσσονται αρχίζοντας από το + για το 1ο στοιχείο της 1ης γραμμής.

29. Θέμα: Να υπολογισθεί η τιμή της ακόλουθης ορίζουσας 5ης τάξης: Επιλέγω την 1η γραμμή για να αναπτύξω την ορίζουσα σε άθροισμα 5 οριζουσών 4ης τάξης. ΣΚΕΠΤΙΚΟ: Ο αριθμός γραμμής παραμένει σταθερός i =1. Ο αριθμός στήλης αυξάνει κατά 1, αρχίζοντας από j=1. Επομένωςτο άθροισμα (i+j) αρχίζει από 2 και αυξάνει συνέχεια κατά 1. Συνεπώς οι δυνάμεις του (-1) είναι άρτιες και περιττές και εναλλάσσονται συνέχεια Οι άρτιες δυνάμεις του (-1) μου δίνουν 1 και οι περιττές –1. Τα πρόσημα επομένως εναλλάσσονται αρχίζοντας από το + για το 1ο στοιχείο της 1ης γραμμής. Για κάθε στοιχείο της γραμμής, λοιπόν, σημειώνω το πρόσημο που θα έχει στο τελικό άθροισμα.

30. Γράφω την ορίζουσα 5 φορές και κάθε φορά διαγράφω τη γραμμή και τη στήλη του στοιχείου ως προς το οποίο θα αναπτύξω. Επίσης γράφω πάνω από κάθε στοιχείο το πρόσημο που θα έχει στην τελική άθροιση.

31. Γράφω την ορίζουσα 5 φορές και κάθε φορά διαγράφω τη γραμμή και τη στήλη του στοιχείου ως προς το οποίο θα αναπτύξω. Επίσης γράφω πάνω από κάθε στοιχείο το πρόσημο που θα έχει στην τελική άθροιση.

32. Γράφω την ορίζουσα 5 φορές και κάθε φορά διαγράφω τη γραμμή και τη στήλη του στοιχείου ως προς το οποίο θα αναπτύξω. Επίσης γράφω πάνω από κάθε στοιχείο το πρόσημο που θα έχει στην τελική άθροιση.

33. Γράφω την ορίζουσα 5 φορές και κάθε φορά διαγράφω τη γραμμή και τη στήλη του στοιχείου ως προς το οποίο θα αναπτύξω. Επίσης γράφω πάνω από κάθε στοιχείο το πρόσημο που θα έχει στην τελική άθροιση.

34. Γράφω την ορίζουσα 5 φορές και κάθε φορά διαγράφω τη γραμμή και τη στήλη του στοιχείου ως προς το οποίο θα αναπτύξω. Επίσης γράφω πάνω από κάθε στοιχείο το πρόσημο που θα έχει στην τελική άθροιση.

35. Γράφω την ορίζουσα 5 φορές και κάθε φορά διαγράφω τη γραμμή και τη στήλη του στοιχείου ως προς το οποίο θα αναπτύξω. Επίσης γράφω πάνω από κάθε στοιχείο το πρόσημο που θα έχει στην τελική άθροιση.

36. Γράφω την ορίζουσα 5 φορές και κάθε φορά διαγράφω τη γραμμή και τη στήλη του στοιχείου ως προς το οποίο θα αναπτύξω. Επίσης γράφω πάνω από κάθε στοιχείο το πρόσημο που θα έχει στην τελική άθροιση. Αναπτύσσω την ορίζουσα σε άθροισμα 5 οριζουσών 4ης τάξης.

37. Γράφω την ορίζουσα 5 φορές και κάθε φορά διαγράφω τη γραμμή και τη στήλη του στοιχείου ως προς το οποίο θα αναπτύξω. Επίσης γράφω πάνω από κάθε στοιχείο το πρόσημο που θα έχει στην τελική άθροιση. Αναπτύσσω την ορίζουσα σε άθροισμα 5 οριζουσών 4ης τάξης.

38. Γράφω την ορίζουσα 5 φορές και κάθε φορά διαγράφω τη γραμμή και τη στήλη του στοιχείου ως προς το οποίο θα αναπτύξω. Επίσης γράφω πάνω από κάθε στοιχείο το πρόσημο που θα έχει στην τελική άθροιση. Αναπτύσσω την ορίζουσα σε άθροισμα 5 οριζουσών 4ης τάξης.

39. Γράφω την ορίζουσα 5 φορές και κάθε φορά διαγράφω τη γραμμή και τη στήλη του στοιχείου ως προς το οποίο θα αναπτύξω. Επίσης γράφω πάνω από κάθε στοιχείο το πρόσημο που θα έχει στην τελική άθροιση. Αναπτύσσω την ορίζουσα σε άθροισμα 5 οριζουσών 4ης τάξης.

40. Γράφω την ορίζουσα 5 φορές και κάθε φορά διαγράφω τη γραμμή και τη στήλη του στοιχείου ως προς το οποίο θα αναπτύξω. Επίσης γράφω πάνω από κάθε στοιχείο το πρόσημο που θα έχει στην τελική άθροιση. Αναπτύσσω την ορίζουσα σε άθροισμα 5 οριζουσών 4ης τάξης.

41. Γράφω την ορίζουσα 5 φορές και κάθε φορά διαγράφω τη γραμμή και τη στήλη του στοιχείου ως προς το οποίο θα αναπτύξω. Επίσης γράφω πάνω από κάθε στοιχείο το πρόσημο που θα έχει στην τελική άθροιση. Αναπτύσσω την ορίζουσα σε άθροισμα 5 οριζουσών 4ης τάξης.

42. Γράφω την ορίζουσα 5 φορές και κάθε φορά διαγράφω τη γραμμή και τη στήλη του στοιχείου ως προς το οποίο θα αναπτύξω. Επίσης γράφω πάνω από κάθε στοιχείο το πρόσημο που θα έχει στην τελική άθροιση. Αναπτύσσω την ορίζουσα σε άθροισμα 5 οριζουσών 4ης τάξης. Συνεχίζω αναπτύσσοντας κάθε ορίζουσα σε άθροισμα 4 οριζουσών 3ης τάξης. κ.ο.κ.

43. Ο κλασσικός τρόπος υπολογισμού της τιμής μιας ορίζουσας ν βαθμού μας οδηγεί σε ν! πολλαπλασιασμούς, πράγμα πολύ χρονοβόρο.

44. Ο κλασσικός τρόπος υπολογισμού της τιμής μιας ορίζουσας ν βαθμού μας οδηγεί σε ν! πολλαπλασιασμούς, πράγμα πολύ χρονοβόρο. Τώρα θα εξετάσουμε μερικές ιδιότητες των οριζουσών που θα μας φανούν χρήσιμες και θα μειώσουν το χρόνο υπολογισμού της τιμής μιας ορίζουσας.

46. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ • Η τιμή μιας ορίζουσας δεν μεταβάλλεται αν αντικαταστήσω τα στοιχεία μιας γραμμής (ή στήλης) με το άθροισμα (ή τη διαφορά) των στοιχείων αυτών και των αντίστοιχων στοιχείων (ή και πολλαπλάσιων) μιας άλλης γραμμής (ή στήλης) :

47. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ • Η τιμή μιας ορίζουσας δεν μεταβάλλεται αν αντικαταστήσω τα στοιχεία μιας γραμμής (ή στήλης) με το άθροισμα (ή τη διαφορά) των στοιχείων αυτών και των αντίστοιχων στοιχείων (ή και πολλαπλάσιων) μιας άλλης γραμμής (ή στήλης) :

48. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ • Η τιμή μιας ορίζουσας δεν μεταβάλλεται αν κατατάξω όλα τα στοιχεία των γραμμών σε στήλες και αντίστροφα.

49. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ • Η τιμή μιας ορίζουσας δεν μεταβάλλεται αν κατατάξω όλα τα στοιχεία των γραμμών σε στήλες και αντίστροφα.

50. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ • Η ορίζουσα αλλάξει πρόσημο αν αλλάξω δύο γραμμές (ή στήλες) μεταξύ τους.