Yhdenmuotoisuus ja mittakaava

1. Yhdenmuotoisuus ja mittakaava A´ Luonnossa P´ Harryn aarre kartta A 30,5 cm V´ P 15 cm V L´ L 22,5 cm Mittakaava 1: 1000 Kartta pyrkii olemaan yhdemuotoinen kuva luonnosta tietyssä mittakaavassa k. pituus kartalla 1 L V k (mittakaava) Kuvasta saamme pituus luonnossa 1000 L´V´ eli L´V´ = 1000 LV = 1000 * 22,5 cm = 22500 cm = 225 m Yleisiä mittakaavoja on: Kuviot ovat yhdenmuotoisia keskenään jos kaikkien vastinjanojen suhde on sama luku. Lukua sanomme (yhdenmuotoisuus) mittakaavaksi - kartoissa 1:20000 ja 1:100000 -rakennuspiirustuksissa 1:100 ja 1:50 jne. Monikulmioilla tulee sivujen suhde olla = mittakaava ja vastinkulmat yhtä suuria keskenään

2. Ympyrät ovat kaikki keskenään yhdenmuotoisia Samoin yhtä suurta keskuskulmaa vastaavat ympyrän sektorit ja vastaavat segmentit Lieriöt ovat yhdenmuotoisia jos korkeuksien suhde = pohjaympyröiden säteiden suhde, ympyräpohjaiset suorat kartiot samoin Kolmiot ovat yhdenmuotoisia mittakaavassa k = 0,125. a) Mikä on suuremman kolmion korkeus kun pienemmän korkeus on 4. 4 = 0,125 h = 4/ 0,125 = 32. h b) Laske pienemmän kolmion kanta kun suuremman kanta on 40. a a = 40 * 0,125 = 5. = 0,125 40 Kolmion sivuja lyhennetään 10 %. Kuinka monta % kolmion ala pienenee? uusi vanha k = 0,9 Yleisesti yhdenmuotoisilla kuvioilla pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö kanta a 0,9a korkeus h 0,9h 2 ala 0,5 ah 0,5*0,9a*0,9h = 0,9 * 0,5ah

3. Yhdenmuotoisten kappaleiden tilavuuksien suhde Jos esimerkiksi kuution sivuja venytetään k-kertaisiksi on kuutioiden sivusärmien yhdenmuotoisuus mittakaava k. Venytetyn kuution 2 2 2 a a) Sivutahkon ala A´ = ka* ka = k k a a = k = k A A eli entinen pinta-ala tulee kertoa mittakaavan neliöllä! A ka 3 3 a 3 = k V b) Ja sen tilavuus V´ = ka*ka*ka = k a eli alkuperäisen kuution tilavuus tulee kertoa mittakaavan kuutiolla! Kun yhdenmuotoisten kappaleiden vastinjanojen suhde on k (mittakaava) , niin vastinpinta-alojen suhde on mittakaavan neliö tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio