Studia niestacjonarne 2009/10 r.

1. Planowanie eksperymentu Studia niestacjonarne 2009/10 r.

2. Cele eksperymentu • potwierdzenie lub sfalsyfikowanie określonej teorii (hipotezy); • znalezienie związku między bodźcem (przyczyną X) i zachowaniem obiektu (skutkiem Y): Y = f(X) lub • optymalizacja obiektu badań.

3. Co to jest eksperyment? • Zabieg badawczy, polegający na celowym wywoływaniu zjawiska (lub jego zmiany) w warunkach kontrolowanych oraz zbadaniu jego przebiegu, cech lub zależności. (Enc. PWN 1995) • Pytanie, jakie teoria zadaje Naturze. (I. Kant);

4. Najprostszy eksperyment • Wartość teoretyczna pewnej wielkości fizycznej wynosi XT = 21,00 • Zaplanować eksperyment weryfikujący tę wartość • Hipoteza zerowa: Ho:XT –Xe= 0, tj. XT =Xe • Hipoteza alternatywna: H1:XT ≠Xe • Ale Xe jest zmienną losową,(wynik pomiaru) stąd konieczny jest test statystyczny

5. Wyniki eksperymentu Średnia Xe= 20,37 Odchylenie std. poj. pomiaru σ = 0,46

6. Test t-Studenta • Statystyka t = (XT –Xe )/ σXe= (XT –Xe )√N/ σ • t = (21,00 – 20,37)√4/0,46 = 2,74 • Dla poziomu istotności testu α = 0,05 tcr (α/2 = 0,025, ν = 4-1=3) = 3,19 t < tcr dlatego nie ma podstaw do odrzucenia H0

7. Błędy w testowaniu hipotez

8. Wyniki eksperymentu poszerzonego Średnia Xe= 20,47 Odchylenie std. poj. pomiaru σ = 0,37

9. Test t-Studenta • Statystyka t = (XT –Xe )/ σXe= (XT –Xe )√N/ σ • t = (21,00 – 20,47)√10/0,37 = 4,53 • Dla poziomu istotności testu α = 0,05 tcr (α/2 = 0,025, ν = 10-1 = 9) = 2,25 t > tcr dlatego H0należy odrzucić

10. Niezbędna liczba pomiarów N Poziom ufności np. 68% _ p(X) Δ Δ _ X = X (tolerancja) Δ = (odchylenie std. średniej) σx/N0,5=> N = (σx /Δ)2

11. Niezbędna liczba pomiarów N Poziom ufności tu: 95% _ p(X) Δ Δ = X (tolerancja) Δ = (2 odchylenia std. średniej) 2σx/N0,5=> N = ( 2 σx /Δ)2

12. Niezbędna liczba pomiarów N Poziom ufności γ% _ p(X) Δ Δ = X (tolerancja) Δ= (t odchyleń std. średniej) =t · σx/N0,5=> N = ( t · σx /Δ)2 gdzie: t(γ, N) - promień przedziału ufności

13. Wpływ liczebności prób Nna rozkład średniej _ p(X) 5 5 _ X = X1 = X2 σx = 20N = 16σx /N0,5= 20/4 = 5

14. Wpływ liczebności prób Nna rozkład średniej _ p(X) 5 5 2 2 _ X = X1 = X2 σx = 20N = 16σx /N0,5= 20/4 = 5 σx = 20N = 100σx /N0,5= 20/10 = 2

15. Wpływ liczebności prób Nna rozkład średniej _ p(X) 5 5 1 1 _ X = X1 = X2 σx = 20N = 16σx /N0,5= 20/4 = 5 σx = 20N = 400σx /N0,5= 20/20 = 1

16. Wpływ liczebności próby na odchylenie std. średniej

17. Niezbędna liczba pomiarów N dla wykazania różnicy średnichΔ t2σx2 t1σx1 _ p(X) Δ β α _ X = X1 = X2 = = N = [(t1+t2)σx/(X2-X1)]2

18. x1 x2 . y . . xn Model„czarnej skrzynki” Obiekt badań f

19. Y = f (X1, X2) Dwie wielkości wejściowe 10 X 2 9 8 7 y max 5 6 25 10 15 20 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X 1

20. Plan kompletny dla dwóch zmiennych wejściowych

21. Plany badań Plan kompletny 10 X2 9 8 7 y max 6 5 4 3 2 1 0 X1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

22. y=f (x ); x =x =const 10 2 2 1 1opt x 2 Planowanie badań i analiza wynikówPlan badań 9 krok 2 8 7 6 Wyznaczone maksimum(?) 5 Plan tradycyjny 4 ? 3 2 1 0 0 10 20 30 y 20 krok 1 y=f (x ) ; x =const 1 1 2 y 15 10 5 0 x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1opt x 1

23. Plan badań optymalizacyjnych Plan dwupoziomowy 10 X2 9 8 7 y max 6 5 4 3 2 1 0 X1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

24. Plany czynnikowe kompletne dwupoziomowe 2p Często wystarczy przyjąć, że każda ze zmiennych wejściowych występuje tylko na dwóch poziomach. Plany takie pozwalają jednoznacznie wyznaczyć jedynie funkcje regresji o postaci: gdzie - współczynniki regresji dla zmiennych standaryzowanych.

25. Normowanie wielkości wejściowej xk α – ramię gwiezdne, np. α = 1

26. Plan dwupoziomowya) całkowity (32 = 8) b) połówkowy

27. Plan całkowity 32 = 8 i połówkowy

28. Punkty centralne planu • Jeżeli podejrzewamy, że badana zależność ma charakter nieliniowy, należy do eksperymentu dołączyć jeden lub kilka punktów środkowych, w których kodowane zmienne wejściowe przyjmują wartość równą 0. Są to tzw. punkty centralne planu (central points). • W dalszej analizie porównuje się wyniki pomiarów w punktach centralnych ze średnią wartością uzyskaną z punktów planu -1 oraz +1. Pozwala to sprawdzić stopień krzywizny badanej funkcji (check for curvature). Jeżeli średnia z wartości zmiennej zależnej w punktach centralnych istotnie różni się od średniej wartości ze wszystkich pozostałych punktów planu, to badany związek jest nieliniowy.

29. Planowanie badań i analiza wynikówKlasyfikacja planów badań

30. Popularne programy CADEx /DoE

31. Statistica

32. Błędy w planowaniu eksperymentu • Rachunek błędu (niepewności) – oddzielne zagadnienie; • Brak randomizacji; • Zbyt mała (znacznie rzadziej: zbyt duża) liczba doświadczeń; • Zbyt szybki demontaż stanowiska badawczego (przed obróbką wyników).

33. Bibliografia • http://www.eti.pg.gda.pl/katedry/kose/dydaktyka/Metrologia/planowanie_eksperymentu.pdf • http://imisp.mech.pw.edu.pl/imisp_site/docs/51.doc • ParkH.M.Hypothesis testing and statistical power of a test. www.indiana.edu/~statmath/ stat/all/ power/power.pdf 15. 05. 2008

34. Planowanie eksperymentuLiteratura pomocnicza • Mańczak K. „Technika planowania eksperymentu” WNT, W. 1976 • Brandt S. „Analiza danych”PWN, W. 1998 • Eadie W.T. i in. „Metody statystyczne w fizyce doświadczalnej” PWN, W.1989 • PolańskiZ. „Planowanie doświadczeń w technice” PWN, Warszawa1984