D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 1

1. D. CiołekEKONOMETRIA – wykład 1 I Model ekonometryczny Model ekonometryczny - jest podstawowym narzędziem w ekonometrii, służącym do analizy zależności zachodzących między różnymi zjawiskami. Model - jest uproszczonym odwzorowaniem rzeczywistości, uproszczoną reprezentacją realnego obiektu, realnej sytuacji lub realnego procesu. - uwzględnia tylko istotne cechy, najważniejsze z punktu widzenia określonego celu. - nie jest dokładną reprezentacją rzeczywistości. (Pawłowski 1978): „Model ekonometryczny jest to konstrukcja formalna, która za pomocą jednego równania lub układu równań przedstawia zasadnicze powiązania występujące pomiędzy rozpatrywanymi zjawiskami ekonomicznymi.”

2. D. CiołekEKONOMETRIA – wykład 1 Ogólna postać modelu: y– zmienna objaśniana w modelu – endogeniczna, x– zmienne objaśniające, wyjaśniają kształtowanie się zmiennej endogenicznej, - składnik zakłócający, f( ) - oznacza postać analityczną funkcyjnej zależności miedzy zmienną endogeniczną i zmiennymi objaśniającymi. Zmienne objaśniające (w modelach jednorównaniowych): - zmienne egzogeniczne, - zmienne endogeniczne opóźnione w czasie.

3. D. CiołekEKONOMETRIA – wykład 1 Przykład 1: Analizujemy popyt na pomidory. a) Z teorii ekonomii wiemy, że istnieje ujemna zależność między wielkością popytu, a ceną danego dobra. Możemy zapisać: (Jest to model ekonomiczny model ekonomii matematycznej) gdzie: q - wielkość popytu na pomidory w kg, c - cena pomidorów w zł/kg. b) Wiemy jednak, że jest to tylko model, może on przyjmować różne postaci. Możemy zapisać np: Model ekonomiczny (model ekonomii matematycznej gdzie: q - wielkość popytu na pomidory w kg, c - cena pomidorów w zł/kg, itd…

4. D. CiołekEKONOMETRIA – wykład 1 Przykład 1 cd: c) Zgodnie z przedstawioną wcześniej definicją modelu ekonometrycznego np: Teoretyczna postać modelu ekonometrycznego, który zostanie oszacowany dla T obserwacji (t=1,2,…,T), aby zweryfikować założoną z góry (apriori) teorię ekonomiczną.

5. D. CiołekEKONOMETRIA – wykład 1 Przykłady modeli o konkretnej postaci analitycznej: Model liniowy – regresja prosta: Model liniowy – regresja wieloraka: - są to nieznane, stałe w czasie parametry strukturalne. - parametr strukturalny wyrazu wolnego, - parametry strukturalne przy zmiennych - odzwierciedlają siłę i kierunek wpływu zmiennej objaśniającej na zmienną endogeniczną, i=1,2,…,k. k – liczba zmiennych objaśniających w modelu.

6. D. CiołekEKONOMETRIA – wykład 1 Klasyfikacja zmiennych w modelu: Zmienne egzogeniczne 1) 2) Zmienne endogeniczne 1) 2)

7. D. CiołekEKONOMETRIA – wykład 1 Składnik zakłócający - losowy Przyczyny uwzględniania składnika losowego w modelu: - pominięcie niektórych czynników objaśniających (niektóre czynniki są nierozpoznane przez teorię, inne są niemierzalne), - wybór niewłaściwej postaci analitycznej funkcji; postać analityczna modelu zwykle nie jest dokładnie określona przez teorię ekonomii, - błędy w pomiarze zmiennych ekonomicznych, - losowy charakter zmiennych ekonomicznych. Składnik zakłócający jest zmienną losową i jak każda zmienna losowa charakteryzuje się pewnym rozkładem prawdopodobieństwa. Cechy rozkładu składnika zakłócającego są ważnym elementem modelu ekonometrycznego.

8. D. CiołekEKONOMETRIA – wykład 1 Zapis macierzowy modelu ekonometrycznego Dany jest liniowy model ekonometryczny: t =1, 2, …, T, Ogólnie postać macierzową tego modelu można zapisać jako: gdzie: y – wektor obserwacji na zmiennej endogenicznej, X – macierz obserwacji na zmiennych objaśniających, - wektor parametrów strukturalnych, - wektor składników losowych.

9. D. CiołekEKONOMETRIA – wykład 1 Zapis macierzowy modelu ekonometrycznego T – liczba obserwacji, k – liczba zmiennych objaśniających, k+1 – liczba parametrów strukturalnych.

10. D. CiołekEKONOMETRIA – wykład 1 Klasyfikacja modeli ekonometrycznych Przykład 2: gdzie: Li – nakład pracy w i-tym przedsiębiorstwie (w osobach); Ki – wartość brutto zakładu lub fabryki (mln $); Qi – wartość dodana brutto wypracowana w i-tym przedsiębiorstwie (mln $). Model: - opisowy, - statyczny, - stochastyczny, - mikroekonomiczny, - nieliniowy, - * - jednorównaniowy, - przyczynowo–skutkowy.

11. D. CiołekEKONOMETRIA – wykład 1 II Estymacja modelu - MNK Oszacować (estymować) model oznacza znaleźć oceny parametrów strukturalnych na podstawie konkretnej próby. Metody szacowania parametrów strukturalnych: • Metoda Momentów, • Metoda Najmniejszych Kwadratów, • Metoda Największej Wiarygodności, • i wiele innych… Twierdzenie Gaussa-Markowa: W klasycznym modelu regresji liniowej najlepszym nieobciążonym estymatorem linowym parametrów jest estymator uzyskany Metodą Najmniejszych Kwadratów (MNK).

12. D. CiołekEKONOMETRIA – wykład 1 Własności estymatorów Nieobciążoność – g jest nieobciążonym estymatorem , jeżeli E(g)= , co znaczy, gdy wartość oczekiwana w rozkładzie z próby g jest równa . Oznacza to, że gdybyśmy obliczali wartość g dla każdej z prób, którymi dysponujemy i powtarzali ten proces nieskończenie wiele razy, to średnia z uzyskanych ocen byłaby równa . Efektywność – estymator jest efektywny, jeżeli wartości g wyliczone dla różnych prób nie różnią się między sobą znacznie tzn. jeżeli wariancja estymatorów jest mała. Estymator z najmniejszą wariancją – najbardziej efektywny.

13. D. CiołekEKONOMETRIA – wykład 1 Własności estymatorów Zgodność – (własność dużych prób) zwiększanie liczebności próby umożliwia uzyskiwanie estymatora o wartości coraz bliższej szacowanego parametru, z prawdopodobieństwem bliskim jedności: Można wykazać, że: Metoda Najmniejszych Kwadratów jest estymatorem - nieobciążonym, - zgodnym, - najbardziej efektywnym w klasie estymatorów nieobciążonych. BLUE –Best Linear Unbiased Estimator

14. D. CiołekEKONOMETRIA – wykład 1 Założenia MNK Założenia numeryczne – warunki stosowalności: 1) T > (k+1), czyli liczba obserwacji musi być większa niż liczba szacowanych parametrów. 2) r(X)=(k+1), czyli rząd macierzy X musi być równy liczbie szacowanych parametrów. Drugi warunek oznacza brak współlinowości zmiennych objaśniających, tzn. że zmienne objaśniające są liniowo niezależne, *(czyli nie tworzą ze sobą takiej kombinacji liniowej, która w wyniku daje wektor zerowy).

15. D. CiołekEKONOMETRIA – wykład 1 Przykład współlinowości zmiennych: X1-liczba pracowników w przedsiębiorstwie, X2-liczba pracowników na stanowiskach kierowniczych, X3-liczba pracowników na stanowiskach niekierowniczych. X1=X2+X3, czyli X1-X2-X3=0 Rząd macierzy X=3 < k+1=4 Nie da się zastosować MNK!

16. D. CiołekEKONOMETRIA – wykład 1 Założenia MNK Założenia stochastyczne (dotyczą składnika losowego): 1) dla wszystkich t - wartość oczekiwana składnika losowego jest równa zero. 2) dla wszystkich t – wariancja jest jednakowa dla wszystkich obserwacji - homoscedastyczność. 3) i są niezależne dla - składniki losowe dla różnych obserwacji nie zależą od siebie, nie są skorelowane; brak autokorelacji składników losowych. 4) i są niezależne dla wszystkich t – zmienne objaśniające nie zależą od składnika losowego, tzn. zmienne objaśniające są nielosowe. 5) - składnik losowy dla każdej obserwacji ma rozkład normalny.

17. D. CiołekEKONOMETRIA – wykład 1 Założenia MNK Jeżeli nie są spełnione założenia numeryczne – nie jesteśmy w stanie zastosować matematycznych formuł na MNK. Jeżeli nie są spełnione stochastyczne założenia 1), 2), 3), 4) estymator MNK, przestaje być BLUE, daje obciążone oceny parametrów strukturalnych. Założenie 5) nie ma znaczenia dla własności MNK. Jego spełnienie jest konieczne, aby można było zastosować testy statystyczne pozwalające sprawdzić wszystkie powyższe założenia. Większość testów statystycznych bazuje na złożeniu, że analizowana zmienna losowa ma rozkład normalny.

18. D. CiołekEKONOMETRIA – wykład 1 Model z jedną zmienną objaśniającą: to równanie opisuje, zachowanie rzeczywistych wartości zmiennej endogenicznych. MNK to metoda, która do punktów dopasowuje taką prostą, która przechodzi najbliżej wszystkich punktów równocześnie. Równanie prostej: to równanie opisuje, teoretyczne wartości zmiennej endogenicznych, (wartości, które leżą na dopasowanej prostej).

19. D. CiołekEKONOMETRIA – wykład 1 y yt x

20. D. CiołekEKONOMETRIA – wykład 1 Odległość rzeczywistego punktu od prostej nazywana jest odchyleniem, albo resztą: Reszta nie jest składnikiem losowym, jest to oszacowany składnik losowy (błąd) w modelu. Na szeregu reszt sprawdzane będą założenia stochastyczne.

21. D. CiołekEKONOMETRIA – wykład 1 Idea MNK MNK dopasowuje prostą do punktów, w taki sposób, aby odległości od wszystkich punktów były jednocześnie jak najmniejsze. Każda odległość podnoszona jest do kwadratu, ponieważ mają różne znaki. MNK minimalizuje sumę kwadratów odchyleń (reszt):

22. D. CiołekEKONOMETRIA – wykład 1 Estymator MNK Macierzowa postać modelu: Oznacza to, że: Suma kwadratów odchyleń to: Po wymnożeniu otrzymujemy: Przyrównując pochodną po do zera otrzymujemy:

23. D. CiołekEKONOMETRIA – wykład 1 Estymator MNK Po dokonaniu minimalizacji sumy kwadratów reszt otrzymujemy następującą macierzową formułę pozwalającą wyznaczyć oceny parametrów strukturalnych modelu liniowego MNK: - wektor ocen parametrów strukturalnych y – wektor obserwacji na zmiennej endogenicznej, X – macierz obserwacji na zmiennych objaśniających.

24. D. CiołekEKONOMETRIA – wykład 2 III Weryfikacja modelu Weryfikacja ekonomiczna: • Sprawdzenie zgodności wyników oszacowania z teorią ekonomiczną. Weryfikacja ilościowa: • Sprawdzenie dobroci dopasowania modelu do danych rzeczywistych, • Sprawdzenie poprawności doboru postaci analitycznej modelu, • Sprawdzenie istotności zależności między zmienną endogeniczną a zmiennymi objaśniającymi. Weryfikacja stochastyczna: • Sprawdzenie prawdziwości założeń dotyczących składnika losowego – badanie własności estymatora MNK w tym modelu. • Sprawdzenie własności prognostycznych modelu.

25. D. CiołekEKONOMETRIA – wykład 2 Błędy szacunku parametrów strukturalnych Oszacowany model regresji wielorakiej można zapisać: Interpretacja: Szacując parametr mylimy się średnio in plus, in minus . lub uwzględniamy błąd szacunku w interpretacji parametru strukturalnego.

26. D. CiołekEKONOMETRIA – wykład 2 Syntetyczne miary dopasowania 1) Średni błąd resztowy (odchylenie standardowe reszt) określa o ile jednostek (in plus; in minus), przeciętnie rzecz biorąc, zaobserwowane wartości zmiennej endogenicznej odchylają się od wartości teoretycznych (wyznaczonych na podstawie oszacowanego modelu) tej zmiennej. 2) Współczynnik zmienności losowej Informuje o tym, jaki jest procentowy udział średniego błędu reszt w średniej wartości zmiennej endogenicznej.

27. D. CiołekEKONOMETRIA – wykład 2 Syntetyczne miary dopasowania 3) Współczynnik determinacji informuje jaka część całkowitej zmienności zmiennej endogenicznej została ,,wyjaśniona'' przez model empiryczny. 4) Współczynnik zbieżności (indeterminacji) Informuje, jaka część rzeczywistej zmienności zmiennej endogenicznej nie została ,,wyjaśniona'' przez model empiryczny, tj. kształtuje się pod wpływem czynników nieuwzględnionych w modelu empirycznym.

28. D. CiołekEKONOMETRIA – wykład 2 Syntetyczne miary dopasowania Jeżeli w modelu występuje wyraz wolny, to: oraz W każdym przypadku suma obu współczynników: Należy pamiętać, że: W przypadku szacowania modelu dla niestacjonarnych szeregów czasowych, wraz ze wzrostem liczebności próby, obie miary stają się obciążone i oceniają dopasowanie zbyt optymistyczne.

29. D. CiołekEKONOMETRIA – wykład 2 Efekt pozornego wyjaśniania Suma kwadratów reszt zależy od liczby zmiennych objaśniających w modelu – im większa liczba zmiennych tym mniejsza suma kwadratów reszt. W modelu z bardzo dużą ilością zmiennych objaśniających możemy uzyskać sumę kwadratów reszt = 0. Wartość współczynnik determinacji wzrasta wraz z dodawaniem nowych zmiennych objaśniających, niezależnie od tego czy nowe zmienne mają istotny wpływ na zmiany zmiennej endogenicznej. Oba współczynniki należy skorygować uwzględniając liczbę zmiennych objaśniających w modelu.

30. D. CiołekEKONOMETRIA – wykład 2 Syntetyczne miary dopasowania Korekta o liczbę stopni swobody: 5) Skorygowany współczynnik zbieżności (indeterminacji) 6) Skorygowany współczynnik determinacji Po uwzględnieniu liczby stopni swobody w modelu, informuje, jaka część całkowitej zmienności zmiennej endogenicznej została ,,wyjaśniona'' przez model empiryczny.

31. D. CiołekEKONOMETRIA – wykład 2 Syntetyczne miary dopasowania Wartość zwykłego współczynnika determinacji wzrasta wraz z dodawaniem do modelu nowej zmiennej objaśniającej. Wartość skorygowanego współczynnika wzrasta tylko wówczas, gdy dołączane zmienne mają istotny wpływ na zmienność zmiennej endogenicznej. Miary skorygowane: wykorzystuje się do porównywania różnych modeli, z różną liczbą zmiennych objaśniających. Niewielka różnica miedzy i świadczy o braku efektu ,,pozornego wyjaśnienia’’.

32. D. CiołekEKONOMETRIA – wykład 2 Model regresji bez wyrazu wolnego Regresja przez początek układu współrzędnych: - gdy wymaga tego teoria ekonomiczna, - gdy wyraz wolny znika w wyniku przekształceń zmiennych. Konsekwencje: • Współczynnik determinacji może przyjmować wartości mniejsze niż 0 i wartości większe niż 100%. • Uzyskujemy niedoszacowane błędy szacunku parametrów strukturalnych. • Nie możemy korzystać z niektórych testów statystycznych. Współczynnik determinacji powinno się liczyć jako kwadrat współczynnika korelacji miedzy wartościami rzeczywistymi i teoretycznymi zmiennej endogenicznej.

33. D. CiołekEKONOMETRIA – wykład 2 Istotność parametrów strukturalnych 1) Test t-Studenta indywidualnej istotności parametru strukturalnego Hipotezy: Statystyka z próby: Iloraz ten na rozkład:

34. D. CiołekEKONOMETRIA – wykład 2 Istotność parametrów strukturalnych W hipotezie zerowej mamy równość stąd: obszar krytyczny jest obszarem dwustronnym Pole obszaru krytycznego w każdym teście jest równe poziomowi istotności (stąd konieczność podzielenia na 2). W teście t-Studenta H0 odrzucamy gdy: Mówimy wówczas, że: Parametr statystycznie różni się od zera, jest statystycznie istotny. Zmienna objaśniająca stojąca przy tym parametrze ma statystycznie istotny wpływ na zmienną endogeniczną.

35. D. CiołekEKONOMETRIA – wykład 2 Istotność parametrów strukturalnych 2) Test F łącznej istotności parametru strukturalnego Hipotezy: Statystyka z próby: Statystyka na rozkład:

36. D. CiołekEKONOMETRIA – wykład 2 Estymacja przedziałowa Otrzymujemy: Jest to przedział ufności dla parametru strukturalnego. Z prawdopodobieństwem równym współczynnikowi ufności, powyższy przedział zawiera nieznany parametr strukturalny

37. D. CiołekEKONOMETRIA – wykład 2 Weryfikacja stochastyczna: • Weryfikacja hipotezy o braku autokorelacji składników losowych. • Weryfikacja hipotezy o stałości wariancji składników losowych. • Weryfikacja hipotezy o normalności rozkładu składnika losowego. Jeżeli powyższe hipotezy są prawdziwe wówczas: estymator MNK parametrów strukturalnych liniowego modelu ekonometrycznego jest estymatorem nieobciążonym, zgodnym i najbardziej efektywnym w klasie estymatorów nieobciążonych – BLUE.

38. D. CiołekEKONOMETRIA – wykład 2 A) Autokorelacja składników losowych Autokorelacja w modelu może być autokorelacją dodatnią: Wtedy, gdy obok siebie występować będą seriami składniki losowe takich samych znaków

39. D. CiołekEKONOMETRIA – wykład 2 A) Autokorelacja składników losowych Autokorelacja w modelu może być autokorelacją ujemną: Wtedy, gdy obok siebie występują składniki losowe o różnych znakach.

40. D. CiołekEKONOMETRIA – wykład 2 A) Autokorelacja składników losowych W praktyce jednak badanie autokorelacji składników losowych nie jest takie proste.

41. D. CiołekEKONOMETRIA – wykład 2 A) Autokorelacja składników losowych W modelach dla danych przekrojowych występowanie autokorelacji należy rozważać w inny sposób. • Jeżeli kolejność ustawienia badanych jednostek jest dowolna wówczas nie można ustalić wiarygodnej wartości współczynnika autokorelacji. • Jeżeli kolejność ustawienia jednostek jest określona: sąsiednie regiony lub państwa, sąsiadki na osiedlu, itp. wówczas występowanie autokorelacji składników losowych możemy interpretować jako efekt naśladowanictwa. W modelach przekrojowych mamy do czynienia z autokorelacją przestrzenną.

42. D. CiołekEKONOMETRIA – wykład 2 Przyczyny autokorelacja składników losowych • Pominięcie w modelu ważnej zmiennej egzogenicznej. • Niewłaściwy dobór opóźnień zmiennych objaśniających. • Efekt „wygasającego echa” – czynnik przypadkowy, który w pewnym momencie zadziałał ze znaczną siłą i jego działanie ma swoje skutki w następnych okresach – autokorelacja dodatnia. • Wybór niewłaściwej postaci analitycznej modelu. • Uwzględnienie w modelu zbyt dużej liczby zmiennych objaśniających przypadkowo dobranych. • Pominięcie efektu sezonowości analizowanej zmiennej endogenicznej.

43. D. CiołekEKONOMETRIA – wykład 2 Skutki autokorelacja składników losowych • MNK przestaje być BLUE – nadal jest estymatorem nieobciążonym, ale przestaje być najefektywniejszy. • Wariancja resztowa staje się obciążonym estymatorem wariancji składników losowych. • Obciążone i nieefektywne stają się estymatory błędów szacunku parametrów strukturalnych. • Błędne są wyniki testów istotności. • Niewiarygodne syntetyczne miary dopasowania.

44. D. CiołekEKONOMETRIA – wykład 2 Testowanie występowania autokorelacji Testowanie zachowania składników losowych przeprowadzamy na szeregu reszt uzyskanych z modelu oszacowanego MNK. 1) Test Durbina-Watsona - Służy do badania autokorelacji rzędu pierwszego Statystyka z próby: Jeżeli w modelu podejrzewamy występowanie autokorelacji dodatniej, wówczas hipotezy testu:

45. D. CiołekEKONOMETRIA – wykład 2 Testowanie występowania autokorelacji Jeżeli w modelu podejrzewamy występowanie autokorelacji ujemnej, wówczas hipotezy testu: W takim przypadku wyliczamy nową wartość statystyki: W obu przypadkach z tablic testu Durbina-Watsona odczytujemy dwie wartości krytyczne (dla liczby obserwacji T i liczby zmiennych objaśniających k):

46. D. CiołekEKONOMETRIA – wykład 2 Testowanie występowania autokorelacji Reguła decyzyjna: • Jeżeli , to odrzucamy hipotezę zerową. • Jeżeli , brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. • Jeżeli , to wartość statystyki znajduje się w tzw. obszarze niekonkluzywności testu, test DW nie daje odpowiedzi, czy w modelu występuje autokorelacja składników losowych. Relacja między statystyką DW a współczynnikiem autokorelacji:

47. D. CiołekEKONOMETRIA – wykład 2 Testowanie występowania autokorelacji Warunki stosowania testu Durbina-Watsona: • W modelu musi występować wyraz wolny. • Zmienne objaśniające muszą być nielosowe. • Wśród zmiennych objaśniających nie może znajdować się zmienna endogeniczna opóźniona w czasie. • Liczba obserwacji powinna być wystarczająco duża: im mniejsza liczba obserwacji tym szerszy przedział niekonkluzywności testu. Należy pamiętać, że test DW bada tylko autokorelację rzędu pierwszego (pomiędzy sąsiednimi obserwacjami).

48. D. CiołekEKONOMETRIA – wykład 2 Testowanie występowania autokorelacji Dla modeli, w których zmiennymi objaśniającymi są zmienne endogeniczne opóźnione w czasie: 3) Test h Durbina Hipotezy testu: Statystyka z próby: gdzie jest empiryczną wariancją błędu estymacji parametru , T oznacza liczebność próby, zaś oznacza współczynnik autokorelacji reszt MNK.

49. D. CiołekEKONOMETRIA – wykład 2 Testowanie występowania autokorelacji Statystyka h ma asymptotycznie rozkład normalny standaryzowany: Wartości krytyczne dla testu h: Hipoteza zerowa jest odrzucana wówczas, gdy: Testu nie można zastosować, gdy:

50. D. CiołekEKONOMETRIA – wykład 2 Testowanie występowania autokorelacji 4) Test Godfreya Służy do testowania autokorelacji dowolnego rzędu w modelach statycznych i dynamicznych. Gdzie jest składnikiem czysto losowym. Model ten jest szacowany MNK i reszty z pierwszego oszacowania wykorzystywane są jako zmienne objaśniające: