第二章 一维随机变量及其分布

1. 第二章 一维随机变量及其分布 • 2.1 随机变量及其分布函数 • 2.2 离散型随机变量 • 2.3 连续型随机变量 • 2.4 随机变量的函数的分布

2. 2. 离散型随机变量：离散型随机变量的分布律及其性质，利 3. 连续型随机变量：连续型随机变量的定义，概率密度函数 4. 常见的离散型和连续型分布：0-1分布，二项分布，泊松 用分布律计算随机事件的概率，分布律与分布函数的关系； 分布，均匀分布，指数分布，正态分布； 及性质，利用概率密度函数计算随机事件的概率，概率密 度函数与分布函数的关系； 第二章 一维随机变量及其分布 【内容提要】 1. 两个重要概念：随机变量、随机变量的分布函数； 5. 随机变量的函数的分布。

3. 2. 掌握离散型随机变量的分布律及其性质，熟练利用分布律 3. 理解连续型随机变量的定义，掌握概率密度函数的性质， 熟练利用概率密度函数计算随机事件的概率，熟练掌握概率 计算随机事件的概率，熟练掌握分布律与分布函数的关系， 密度函数与分布函数的关系，熟练掌握均匀分布，指数分布， 熟记0-1分布，二项分布，泊松分布的分布律； 正态分布及有关计算； 【基本要求】 1. 理解随机变量及其分布函数的概念，熟悉分布函数的性质； 4. 会求简单的随机变量的函数的概率分布。

4. 2．离散型随机变量的分布律及其性质，几种常见的离散型随2．离散型随机变量的分布律及其性质，几种常见的离散型随 3．连续型随机变量的概率密度函数及其性质，几种常见的连 4．分布律或概率密度函数与分布函数的关系，利用概率分布 机变量的分布； 求随机事件发生的概率。 续型随机变量的分布； 【重点难点】 重点： 1．随机变量和分布函数的定义；

5. 2．如何确定随机变量，如何用随机变量表示随机事件从而求其2．如何确定随机变量，如何用随机变量表示随机事件从而求其 概率； 难点： 1．某些离散型随机变量的分布律； 3．某些与积分有关的计算； 4．分布函数法求连续型随机变量的函数的概率密度.

6. 本章引进随机变量的概念，使得任何的随机事件都可用变量本章引进随机变量的概念，使得任何的随机事件都可用变量 来表示，引进分布函数的概念使得随机事件的概率都可用函数的 形式表达。本章主要介绍一维离散型随机变量和一维连续型随机 分布。重点是常见的几种分布及如何利用这些类型来求随机事件 的概率。 2.1 随机变量及其分布函数 2.1.1 随机变量（Random Variable） 随机试验的结果可能是数量，但也不一定。例如： 1)记录候车室中旅客的人数（结果为数量）； 2)从一批产品中任取一件，观察是否为次品（结果为非数量）。

7. 假设例子2）中产品的次品率为 ，那么 ， (1)函数的取值由试验的结果决定（定义在样本空间上）； 为了能够用数学的方法去讨论，我们将试验的每一种可能 .（比如对于上面的例子2）可以这样定义： 的结果都赋予一个确定的实数，这样就定义了一个函数： ，而是0还是1由抽取的产品为次品还是正品决定。 (2)每个取值都有相应的概率值。 这样定义的函数具有以下两个特点：

8. 定义2-1设 是试验 的样本空间，如果 都有唯一确定 的实数 与之对应，则称单值实函数 为一随机变量。 (1)候车室旅客的人数记为 。 (2)一射手连续向目标射击直到击中为止，用 表示射击的次数。 是一个随机变量， 的取值范围：0，1，2，…，M（M为 随机变量的引入使得任何的随机事件都可用随机变量的一 表示。 个取值范围来表示，而随机变量的一个取值范围都是某个随机事 候车室的容量），事件 = {人数超过100人}可以用 件。看下面的例子：

9. 可以表示事件 ，而 、 都是不可能事件。 4) 用 表示灯泡的寿命。 是一个随机变量， 的取值范围： ，如果寿命不低 是一个随机变量， 的取值范围：1，2，3，4，5，6， 是一个随机变量， 的取值范围：1，2，3，…，事件 = 表示。事件 = {1点}可以用 表示， 也 {三次之内击中}可以用 表示。 事件 = {偶数点}可以用 或者 于5000小时的称为优质灯泡，那么事件 = {优质灯泡}可以用 表示。 3) 抛一颗骰子一次，用表示抛出的点数。

10. 如： ， ， 因此 ， 等. 定义2-2 在实际问题中，我们常常遇到随机变量取某个特定值的概 设 是一个随机变量，函数 率，还会遇到随机变量在某个区间内取值的概率，如灯泡的寿 命，人的身高，等候飞机的时间等在某个范围内变化的概率。 称为 的分布函数。 当随机变量在某个区间内取值时，其取值区间也可以用 形式的运算表示，那么只要知道概率 就可以了。 2.1.2随机变量的分布函数

11. 分布函数的定义域为全体实数 ； 1． ， 2． 是单调不减函数，即 时 3． ， 4． 右连续，记作 的值表示随机变量 落入区间 上的概率（图2-1）。 图2-1 2.1.3 分布函数的性质

12. （1） （2） （3） （4） 设 ，记 ，则 5．利用分布函数计算概率

13. 例2-1 在区间[1，5]上任意投点，用 表示落点的坐标。求 解：当 时 是不可能事件， ； 当 时事件 发生的概率， 当 时 是必然事件， 分布函数。 典型例题分析 所以分布函数为

14. 1. 设随机变量 的分布函数为 ，且 ， ， 2.对于随机变量 有， ， 求其分布函数。 1.如果口袋中装有10个白色球，6个红色球和4个黄色球，从中 2.盒子中装有一幅完整的中国象棋，从中一次随机取出三颗棋 的分布函数。 子，用 描述取出的棋子中“卒”的颗数，求 的分布函数。 任取一球，用随机变量 描述取出的球的颜色。求随机变量 求 。 自测题2.1.1 自测题2.1.2

15. 定义2-3若随机变量 只能取有限个数值 或 无穷可列个数值 ，则称 为离散随机变量。 定义2-4如果离散随机变量 取得任一可能值 时的概率为 则称 为 的分布律（或者概率分布）。 2.2 离散型随机变量 2.2.1 离散型随机变量及其分布律 分布律也可以用表格的形式直观地表示为:

16. (1) 例2-3 某系统有两台机器相互独立工作，第一台与第二台机 例2-2 设随机变量 的分布律 ， ， (2) 解： 所以 器发生故障的概率分别是0.1、0.2。用 表示发生故障的机器台 试确定常数 。 数，求 的分布律及分布函数。 分布律的性质：

17. 解： 为一随机变量，取值0，1，2，对应的概率（设 0 1 2 表示第1，2台发生故障）即分布律如下： 0.72 0.26 0.02 列表如下 分布函数：

18. 称随机变量 服从0-1分布。 定义2-5随机变量 只取2个可能的值：0，1，其分布律为: 0 1 即 2.2.2 常见的离散型分布 1．0-1分布

19. 例2-2 设袋中有红球4个，白球6个，从中任意取球1个，用 求随机变量 的分布律。 解 即 0 1 表示取得的球的颜色：

20. 定义2-6试验 只有两个可能结果：事件 发生或者 不发生 用 表示n重伯努利试验中事件发生的次数，则 是一随机 n重伯努利试验是一种很重要的概率模型。对于这类试验， 变量，可能的取值为0，1，2，…， n，那么事件恰好发生k次 我们关心在n次试验中事件 发生的次数及相应的概率。 （ 发生），设 ，称试验 为伯努利试验；如果将此 的概率可记为 。 试验独立地重复n次，称此系列试验为n重伯努利试验。 2．n重伯努利（Bernoulli）试验与二项分布

21. 定义2-7如果随机变量 可能的取值为0，1，2，…，n，且 显然，n重伯努利试验中事件 出现的次数 服从二项分布。 事件 恰好发生k次，指n次试验中任意k次，那么可能的情 二项分布满足分布律的两个基本性质（各种离散型分布的 况有 种；而每一种情况下，事件 发生k次且另外n−k次不发生， 分布律都满足这两个性质，以后不再叙述）： 概率为 ，因此 那么称随机变量 服从参数为n，p的二项分布，记作 。

22. (1) 例2-3 某批产品的次品率为0.2，先从中任取20只（放回）。 二项分布是一类相当重要的分布，它在产品抽样（有放回 从分布律可以推出当 为整数时，在 取值 (2) 和 时概率最大，而 为非整数时， 抽样）分析等概率问题中有广泛应用。 问恰好取得k只次品的概率？ 取 [ ] 时概率最大。

23. 解： 设抽取次品的次数为 ，则 ，即 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0.137 0.205 0.109 0.012 0.058 0.218 0.175 0.055 0.022 0.007 0.002 <0.001 图2-1 二项分布 将计算结果列表和用图形显示如下：

24. 例2-4 某人射击，命中率为0.001，独立射击5000次，求至少2 解 将每次射击看成是一次试验，这是一个5000重的贝努利试验。 设击中目标的次数为 ，则 ，即 这个例子让我们了解道：虽然一个事件在一次试验中发生的 次击中目标的概率。 概率很小（0.001），但只要试验独立重复的次数很多（5000）， 所求概率为：

25. 例2-5 一汽车行驶要经过4个路口，每个路口设有红绿灯，假设 个红灯之前通过的路口数。求 和 分布律。 那么这一事件的发生几乎是肯定的（0.9596）。说明不能轻视小 各路口信号灯独立工作且每个路口红绿灯显示时间相等。 概率事件。 用X表示汽车未遇红灯而通过的路口数，Y表示在遇到第一 解：根据题意

26. 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 1/2 1/16 4/16 1/4 6/16 4/16 1/16 1/16 1/16 1/8

27. 定义2-8如果随机变量 可能的取值为0，1，2，…，且 （其中 ，常数）那么称随机变量 服从参数为 的泊松分布， 泊松分布是一种描述大量试验中稀有事件出现的频数的概 ，图形向右下倾斜， 时，先增后减，增得快减得 慢， 越大越趋于对称； 率模型。泊松分布的图形特点： 记作 （也有教材记作 ) 3．泊松分布（Poisson）分布

28. 例２-６　已知一电话交换台每分钟接到的呼叫次数服从参数例２-６　已知一电话交换台每分钟接到的呼叫次数服从参数 利用泊松分布表，这里的 就可用 计算。 从分布律可以推出当 为整数时， 和 处概率最 大，而 为非整数时， 处概率最大。 1） 为4的泊松分布，求: 2） 1) 每分钟恰有8次呼叫的概率； 2) 每分钟呼叫次数大于8的概率。 解：

29. 又设 为常数，那么 设随机变量序列 服从二项分布，分布律为 *3.泊松定理 证明 ：

30. 由于对于固定的 ， 且已知 实际应用时，当n很大而p较小时，使用下面的近似公式 所以

31. 例２-7 设一个纺织工人照看800个纱锭，在某个时间段内每个 解：设 表示断头数，则 2） ，根据泊松定理： 近似服从 ， 1）由于 ，所以最大可能的断头数为4； 纱锭断头的概率为0.005，求该时间段内： 1）最大可能的断头数；2）断头数不超过10的概率。 查表得到：

32. 定义2-9如果在一次试验中只考虑某事件 出现或不出现， 称 服从参数为p的几何分布，记作 例２-8 某种彩票中奖的概率为0.0002，某人欲购买该种彩票直 设 ，做独立重复试验直到事件出现为止。 到中奖为止。求此人购买彩票的次数的分布律。 那么试验次数 是一个离散型随机变量，它可能取的值是 1，2，…，其概率分布为： *4．几何分布

33. 解：设购买彩票的次数为 ，则 是一个随机变量， 取值 在放回的抽样中，摸球直到摸出某种球为止，摸球的次数； 且 射击直到击中为止，射击的次数；抽取产品直道抽到某类产品 为止，抽样的次数等都是服从几何分布。

34. 定义2-10设一批产品共　件，其中　件次品，现从中任取定义2-10设一批产品共　件，其中　件次品，现从中任取 称　服从参数为　，　，的超几何分布，记作 件　　　，则此n件产品中的次品数　是一个离散型随机变量， 所有可能取的值是0，1，…，　　　　，其概率分布为 *5．超几何分布

35. 例２-9 一批产品共2000个，其中有40个次品，随机抽取100个 不放回抽样和放回抽样不仅概率分布不同，而且可能取值 （2） 解：（1） 的范围也有可能不同。 样品。求下列两种抽样方式下样品中次品数 的分布律： （1）不放回抽样 （2）放回抽样

36. （2）某射手连续向目标射击200次，每次命中率都是0.8，则击（2）某射手连续向目标射击200次，每次命中率都是0.8，则击 （4）设随机变量 服从参数为 的泊松分布，且 （3）一射手连续向目标射击直到击中为止，如果每次射击命中 那么 。 （1）设离散型随机变量 的分布律为 ， ， 率都是0.8，用 表示射击的次数，那么 ； 中目标的次数 服从，其分布律 =； 那么 ； 自测题 2.2.1 1. 填空题：

37. 3. 已知离散型随机变量 的分布律为 4. 已知离散型随机变量 的分布函数为： 2. 设离散型随机变量 的分布律为 -1 0 1 2 求 0.1 0.3 0.4 0.2 求其分布律。 求其分布函数。

38. 5. 设10件产品中含有3件次品，现从中连续抽取产品作不放回 6. 一段公路上某个时段有大量汽车通行，假设每辆汽车在该时 抽样，每次抽取一件直到取得正品为止。求抽取产品的次 段的事故率为0.0001且每辆汽车是否发生事故互不影响。在 数的分布律和分布函数。 该时段内如果有1000辆汽车通过时，不发生事故的概率为多 少？事故发生不超过1次的概率是多少？

39. 1. 从次品率为0.1的一批产品中随机抽取20件检查，求抽取的 2. 盒子中装有红球8个白球2个，从中随机取出一球，如果是红 3. 为了保证设备正常工作，需要配备适量的维修工人。现有 同型的设备400台，相互独立工作，每台故障率为0.01。通 球就将该球换一个白球放回袋中，直到取到白球为止。 产品中次品率不大于0.15的概率。 常情况下一台设备发生故障只需一人处理。问需要配备多少 求取球次数的分布律。 维修工人才能保证设备发生故障时不能及时维修的概率小于 0.01？ 自测题2.2.2

40. 4. 设某地在一周内发生交通事故的次数服从参数为0.3的泊松 (1) 在一周内恰好发生2次交通事故的概率； 分布，试求： (2) 在一周内至少发生1次交通事故的概率。

41. 定义2-11对于随机变量 的分布函数 ，如果存在非负的 则称 为连续型随机变量，称函数 为的概率密度函数， 由定义可知函数 是连续函数，它的图形位于直线 简称概率密度或密度。 之间的单调上升的连续曲线，如图2.3所示 函数 ，使对于任意的实数 有 2.3 连续型随机变量 2.3.1 定义和性质

42. 密度函数的 值并非随机变量 在 处的概率值，但它 （1）非负性： 性质（1），（2）是 为概率密度的充要条件。 （2）规范性： 的大小能反应随机变量 落在该处附近概率的大小。 概率密度函数及分布函数的性质

43. （4）若 在点 处连续，则有 对于连续型随机变量 来说，虽然 不一定是不可 （3） 能事件，但有 ，因此有： 2.3.2 连续型随机变量的分布函数举例 例２-11 设连续型随机变量的分布函数为

44. 解得 2） 3）　由于　　　　　，所以 求 1）常数 的值； 2) 即 3) 的密度函数 。 解： 1） 根据分布函数的性质

45. 例2-12　已知 的概率密度 求 1) 常数 ； 2） 时， 解：1）　 2) 分布函数 ； 3)

46. 3）　 即 此概率也可以用概率密度函数计算得到。

47. 定义2-12设连续型随机变量 的概率密度为 则称 在区间 上服从均匀分布，记作 。 2.3.3 常见的连续型分布 1．均匀分布（uniformly distribution） 其分布函数为

48. 直观上，均匀分布可以理解为向区间　　　上随机投点，直观上，均匀分布可以理解为向区间　　　上随机投点， 或者质点在区间　　　上作匀速直线运动，点（质点）的坐标 的分布。 图２－７均匀分布的分布函数 图２－６均匀分布的密度函数

49. 例２-13 甲、乙、丙三人分别独立地等候1，2，3路公共汽车， 解：设任意一人等候公共汽车的时间为 ，则 ， 设等车人数为 ，则 ，至少有二人等车时间不 超过2分钟的概率为 每人等车时间都服从[0，5]上的均匀分布。 记任意一人等候公共汽车时间不超过2分钟的概率为 ， 那么 求至少有二人等车时间不超过2分钟的概率。

50. 其中 为常数，则称 服从参数为 的指数分布， 的分布函数为 记为 2．指数分布（exponential distribution） 定义2-13设随机变量的概率密度为