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第 20 讲　多边形与平行四边形

第五章　四边形. 第 20 讲　多边形与平行四边形. 考点知识精讲. 考点训练. 中考典例精析. 举一反三. 考点一 多边形. 不相邻. (n － 2)·180°. 360°. 温馨提示： （ 1 ）多边形包括三角形、四边形、五边形 …… ，等边三角形是边数最少的正多边形 . （ 2 ）多边形中最多有 3 个内角是锐角（如锐角三角形） , 也可以没有锐角（如矩形） . （ 3 ）解决 n 边形的有关问题时，往往连接其对角线转化成三角形的相关知识，研究 n 边形的外角问题时，也往往转化为 n 边形的内角问题. 考点二 平面图形的密铺 1 ．密铺的定义

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第 20 讲　多边形与平行四边形

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  1. 第五章　四边形 第20讲　多边形与平行四边形 考点知识精讲 考点训练 中考典例精析 举一反三

  2. 考点一 多边形 不相邻 (n－2)·180° 360°

  3. 温馨提示： （1）多边形包括三角形、四边形、五边形……，等边三角形是边数最少的正多边形. （2）多边形中最多有3个内角是锐角（如锐角三角形）,也可以没有锐角（如矩形）. （3）解决n边形的有关问题时，往往连接其对角线转化成三角形的相关知识，研究n边形的外角问题时，也往往转化为n边形的内角问题.

  4. 考点二 平面图形的密铺 1．密铺的定义 用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称作平面图形的镶嵌． 2．平面图形的密铺 (1)一个多边形密铺的图形有：，和； (2)两个多边形密铺的图形有：，_________________，和； (3)三个多边形密铺的图形一般有：，____________________________，. 三角形 四边形 正六边形 正三角形和正方形 正三角形和正六边形 正方形和正八边形 正三角形和正十二边形 正三角形、正方形和正六边形 正方形、正六边形和正十二边形 正三角形、正方形和正十二边形

  5. 温馨提示： 能密铺的图形在一个拼接点处的特点：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360°,并使相等的边互相重合.

  6. 考点三 平行四边形的定义、性质与判定 1．定义：两组对边的四边形是平行四边形． 2．性质：(1)平行四边形的对边； (2)平行四边形的对角，邻角； (3)平行四边形的对角线； (4)平行四边形是对称图形． 3．判定：(1)两组对边分别的四边形是平行四边形； (2)两组对边分别的四边形是平行四边形； (3)一组对边的四边形是平行四边形； (4)两组对角分别的四边形是平行四边形； (5)对角线的四边形是平行四边形． 分别平行 平行且相等 相等 互补 互相平分 中心 平行 相等 平行且相等 相等 互相平分

  7. (1)(2011·宁波)一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是() A．4B．5C．6D．7 (2)(2011·十堰)现有边长相同的正三角形、正方形和正六边形纸片若干张，下列拼法中不能镶嵌成一个平面图案的是() A．正方形和正六边形 B．正三角形和正方形 C．正三角形和正六边形 D．正三角形、正方形和正六边形

  8. (3)(2011·海南)如图,将平行四边形ABCD折叠,使顶点D恰落在AB边上的点M处，折痕为AN,那么对于结论：①MN∥BC，②MN＝AM.下列说法正确的是()(3)(2011·海南)如图,将平行四边形ABCD折叠,使顶点D恰落在AB边上的点M处，折痕为AN,那么对于结论：①MN∥BC，②MN＝AM.下列说法正确的是() A．①②都对B．①②都错 C．①对，②错D．①错，②对 (4)2010·成都 已知四边形ABCD，有以下四个条件：①AB∥CD；②AB＝CD；③BC∥AD；④BC＝AD.从这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD成为平行四边形的选法种数共有() A．6种B．5种C．4种D．3种 【点拨】正确理解题意，明确已知和未知及所考查的知识点是关键． 【解答】(1)C　由(n－2)·180°＝720°，得n－2＝4，所以n＝6.因此这个多边形的边数为6.故选C.

  9. (2)A　正方形和正六边形的每个内角分别为90°和120°，要镶嵌则需要满足90°m＋120°n＝360°(m，n∈N*)，但是m、n没有正整数解，故选A.(2)A　正方形和正六边形的每个内角分别为90°和120°，要镶嵌则需要满足90°m＋120°n＝360°(m，n∈N*)，但是m、n没有正整数解，故选A. (3)A　由折叠知∠D＝∠AMN，DN＝MN，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D＝∠B，故∠B＝∠AMN，∴MN∥BC.故四边形AMND是平行四边形．又∵DN＝MN，∴▱AMND是菱形，∴MN＝AM.因此①②都正确．故选A. (4)C　能成为平行四边形的选法有①②，①③，②④，③④共4种．

  10. (2)在直角坐标系中，有A(－1,2), B(3,1)， C(1,4)三点，另有一点D与点A、B、C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标．

  11. 【点拨】平行四边形的对角线互相平分，本题(2)问可以画出草图借助图形的变化求点D的坐标．【点拨】平行四边形的对角线互相平分，本题(2)问可以画出草图借助图形的变化求点D的坐标．

  12. 1.若一个正多边形一个内角是120°,则这个正多边形的边数是()1.若一个正多边形一个内角是120°,则这个正多边形的边数是() A．9B．8C．6D．4 答案：C 2．现有四种地面砖，它们的形状分别是：正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等．同时选择其中两种地面砖密铺地面，选择的方式有() A．2种B．3种C．4种D．5种 答案：B 3．如图，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，点E是边 长BC的中点，AB＝4，则OE的长是(　　）

  13. 答案：A 4．如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA ＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则 BE＝________.() 答案：C 5．若一个正多边形的每一个外角都是30°，则这个正多边形的内角和等于度． 1800

  14. 6．如图，在▱ABCD中，已知点E在AB上，点F在CD上，且AE＝CF.6．如图，在▱ABCD中，已知点E在AB上，点F在CD上，且AE＝CF. (1)求证：DE＝BF； (2)连接BD，并写出图中所有的全等三角形．(不要求证明) 答案：(1)通过证明四边形DEBF是平行四边形，得DE＝BF(2)△ADE≌△CBF△BDE≌△DBF△ABD≌△CDB

  15. 多边形与平行四边形 训练时间：60分钟分值：100分

  16. 一、选择题(每小题3分，共36分) 1．(2011·山西)一个正多边形，它的每一个外角都等于45°，则该正多边形是() A．正六边形　　　　　B．正七边形 C．正八边形 D．正九边形 【解析】因为多边形的外角和等于360°，且正多边形的每一个外角都相等，360°÷45°＝8，所以该正多边形是正八边形． 【答案】C

  17. 2．(2010中考变式题)若一个多边形的对角线的条数恰好为边数的3倍，则这个多边形的边数为()2．(2010中考变式题)若一个多边形的对角线的条数恰好为边数的3倍，则这个多边形的边数为() A．6B．7C．8D．9 【答案】D

  18. 3．(2011·贵阳)有下列五种正多边形地砖：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形；⑤正八边形．现要用同一种大小一样、形状相同的正多边形地砖铺设地面，其中能做到彼此之间不留空隙、不重叠地铺设的地砖有()3．(2011·贵阳)有下列五种正多边形地砖：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形；⑤正八边形．现要用同一种大小一样、形状相同的正多边形地砖铺设地面，其中能做到彼此之间不留空隙、不重叠地铺设的地砖有() A．4种B．3种C．2种D．1种 【解析】符合条件的正多边形是①正三角形，②正方形和④正六边形． 【答案】B

  19. 4．(2010中考变式题)如图，已知在▱ABCD中，AD＝3 cm，AB＝2 cm，则▱ABCD的周长等于() A．10 cm B．6 cm C．5 cm D．4 cm 【解析】在▱ABCD中，BC＝AD＝3 cm，CD＝AB＝2 cm，∴C▱ABCD＝3×2＋2×2＝10(cm)． 【答案】A

  20. 5．(2012中考预测题)如图，在▱ABCD中，AC平分∠DAB，AB＝3，则▱ABCD的周长为()5．(2012中考预测题)如图，在▱ABCD中，AC平分∠DAB，AB＝3，则▱ABCD的周长为() A．6 B．9 C．12 D．15 【解析】在▱ABCD中，AB∥CD，∴∠DCA＝∠CAB.∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB，∴∠DAC＝∠DCA，∴AD＝CD，∴▱ABCD是菱形，∴C▱ABCD＝3×4＝12. 【答案】C

  21. 6．(2011·广州)已知▱ABCD的周长为32，AB＝4，则BC＝______.()6．(2011·广州)已知▱ABCD的周长为32，AB＝4，则BC＝______.() A．4 B．12 C．24 D．28 【答案】B

  22. 7．(2011·安徽)如图所示，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是()7．(2011·安徽)如图所示，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是() A．7 B．9 C．10 D．11

  23. 【答案】D

  24. 8．(2010中考变式题)如图，平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，E、F分别在CD、BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，DF＝2，则EF的长为()8．(2010中考变式题)如图，平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，E、F分别在CD、BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，DF＝2，则EF的长为()

  25. 【答案】B

  26. 9.(2012中考预测题)如图，在周长为20 cm的▱ABCD中AB≠AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，则△ABE的周长为() A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm 【答案】D

  27. 10．(2012中考预测题)如图，在▱ABCD中，已知AD＝8 cm，AB＝6 cm，DE平分∠ADC，交BC边于点E，则BE等于() A．2 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm 【解析】在▱ABCD中，AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC.∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠EDC，∴∠EDC＝∠DEC，∴CD＝CE.∵AB＝6，∴CD＝CE＝6.∵AD＝8，∴BC＝8，∴BE＝BC－CE＝8－6＝2 (cm)． 【答案】A

  28. 11．(2010中考变式题)在▱ABCD中，∠A比∠B大30°，则∠C的度数为()11．(2010中考变式题)在▱ABCD中，∠A比∠B大30°，则∠C的度数为() A．170° B．105° C．100° D．75° 【解析】在▱ABCD中，AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°.∵∠A＝∠B＋30°，解得∠A＝105°，∠B＝75°，∴∠C＝∠A＝105°. 【答案】B

  29. A．1 B．2 C．3 D．4

  30. 【答案】B

  31. 二、填空题(每小题4分，共20分) 13．(2011·沈阳)如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，且BE∥DF，若∠EBF＝45°，则∠EDF的度数是__________度． 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBF＝45°.又∵BE∥DF，∴∠EDF＝∠AEB＝45°. 【答案】45

  32. 14．(2011·吉林)如图，▱ABCD中，∠A＝120°，则∠1＝________度．14．(2011·吉林)如图，▱ABCD中，∠A＝120°，则∠1＝________度． 【解析】∵四边形ABCD是▱ABCD，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠B＝180°－∠A＝60°，∠1＝∠B＝60°. 【答案】60

  33. 15．(2010中考变式题)如图，在△ABC中，AB＝BC，AB＝12 cm，F是AB边上一点，过点F作FE∥BC交AC于点E，过点E作ED∥AB交BC于点D，则四边形BDEF的周长是________． 【解析】因为EF∥BC，DE∥AB，∴∠AEF＝∠C，∠DEC＝∠A.又因为AB＝BC，所以∠A＝∠C，所以∠AEF＝∠A，∠DEC＝∠C，所以AF＝EF，DE＝DC.所以四边形BDEF的周长＝BD＋DE＋EF＋BF＝BD＋DC＋AF＋BF＝BC＋AB＝12＋12＝24 (cm)． 【答案】24 cm

  34. 16. (2012中考预测题)如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，E、F分别为垂足，已知AB＝3，BC＝4，∠EAF＝60°，则▱ABCD的面积为________．

  35. 三、解答题(共44分) 18．(10分)(2010中考变式题)如图，在▱ABCD中，点E、F是对角线AC上两点，且AE＝CF. 求证：∠EBF＝∠FDE. 【答案】证明：连接BD交AC于O点，

  36. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， 又∵AE＝CF，∴OE＝OF， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∴∠EBF＝∠EDF.

  37. 19．(10分)(2011·青岛)已知：如图所示，▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE.19．(10分)(2011·青岛)已知：如图所示，▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE. (1)求证：△BEC≌△DFA； (2)连接AC，若CA＝CB，判断四边形AECF是什么特殊四边形？并证明你的结论． 【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠B＝∠D，BC＝AD.∵E、F分别是AB、CD的中点，

  38. 20．(12分)(2010中考变式题)如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．20．(12分)(2010中考变式题)如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点． (1)请判断四边形EFGH的形状？并说明为什么． (2)若使四边形EFGH为正方形，那么四边形ABCD的对角线应具有怎样的性质？

  39. 21. (12分)(2012中考预测题)如图，田村有一口呈四边形的池塘，在它的四个角A、B、C、D处均种有一棵大核桃树．田村准备开挖池塘建养鱼池，想使池塘面积扩大一倍，又想保持核桃树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形的形状，请问田村能否实现这一设想？若能，请你设计并画出图形；若不能，请说明理由(画图要保留痕迹，不写画法)．

  40. 【答案】解：能　连接BD、AC，过点A、C分别作BD的平行线，过点B、D分别作AC的平行线．如图，所得的四边形为平行四边形，且面积扩大一倍．【答案】解：能　连接BD、AC，过点A、C分别作BD的平行线，过点B、D分别作AC的平行线．如图，所得的四边形为平行四边形，且面积扩大一倍．

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