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6.3 超松弛迭代法

选取分裂矩阵 为带参数的下三角阵. 其中 为可选择的松弛因子. 从而得到解 的逐次超松弛迭代法 ( Successive Over Relaxation Method , 简称 SOR 方法 ). 6.3 超松弛迭代法. 6.3.1 逐次超松弛迭代法. 于是，由 (1.11) 可构造一个迭代法，其迭代矩阵为. 解 的 SOR 方法为. （ 3.1 ）. 研究解 的 SOR 迭代法的分量计算公式. 其中. 记. 由此，得到解 的 SOR 方法的计算公式. （ 3.2 ）. 由 (3.1) 式可得.

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6.3 超松弛迭代法

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Presentation Transcript

  1. 选取分裂矩阵 为带参数的下三角阵 其中 为可选择的松弛因子. 从而得到解 的逐次超松弛迭代法(Successive Over Relaxation Method, 简称SOR方法). 6.3超松弛迭代法 6.3.1逐次超松弛迭代法 于是，由(1.11)可构造一个迭代法，其迭代矩阵为

  2. 解 的SOR方法为 （3.1） 研究解 的SOR迭代法的分量计算公式. 其中 记

  3. 由此，得到解 的SOR方法的计算公式 （3.2） 由(3.1)式可得 或

  4. （3.3） (1) 显然，当 时，SOR方法即为高斯-塞德尔迭 代法. 或 关于SOR迭代法 ， 有

  5. (3) 当 时，称为超松弛法；当 时，称为低 松弛法. 控制迭代终止，或用 控制迭代 终止. (2) SOR方法每迭代一次主要运算量是计算一次矩阵与向量的乘法. (4) 在计算机实现时可用 SOR迭代法是高斯-塞德尔迭代法的一种修正.

  6. 设已知 及已计算 的分量 (1) 首先用高斯-塞德尔迭代法定义辅助量 （3.4） (2) 再由 与 加权平均定义 ， （3.5） 将(3.4)代入(3.5)得到解 的SOR迭代(3.2)式. 即

  7. 它的精确解为 取 ，迭代公式为 例 用SOR方法解方程组 解

  8. 取 ， 取其他 值，迭代次数如下表. 第11次迭代结果为

  9. 从此例看到，松弛因子选择得好，会使SOR迭代法的从此例看到，松弛因子选择得好，会使SOR迭代法的 收敛大大加速. 本例中 是最佳松弛因子.

  10. 设 ， 设解方程组 则解 的SOR迭代法收敛. 则 (1) 为严格对角占优矩阵(或 为弱对角占优不可约 矩阵)； 的SOR迭代法收敛， 定理12 如果 定理11 (SOR方法收敛的必要条件) 定理13 如果 设 ， 则解 的SOR迭代法收敛. (1) 为对称正定矩阵， 6.3.2 SOR迭代法的收敛性

  11.  设 ，其中 为大型稀疏矩阵且将 分 块为三部分 ， 6.3.3 块迭代法 分块迭代法，就是一块或一组未知数同时被改进. 其中

  12. 其中， 且 为 非奇异矩阵， 对 及 同样分块

  13. 选取分裂阵 为 的对角块部分，即选 （3.16） (1) 块雅可比迭代法(BJ) 于是，得到块雅可比迭代法 其中迭代矩阵 或

  14. （3.17） 从  ， 需要求解 个低阶方程组 由分块矩阵乘法，得到块雅可比迭代法的具体形式 其中 这说明，块雅可比迭代法每迭代一步，

  15. 其中 为（3.17）式右边部分. 选取分裂矩阵 为带松弛因子的 块下三角部分， （3.18） (2) 块SOR迭代法(BSOR) 即 得到块SOR迭代法

  16. （3.19） 其中迭代矩阵 由分块矩阵乘法得到块SOR迭代法的具体形式

  17. 于是，当 及 已计算时，解 低阶方程组(3.19)可计算小块 从 共需要解 个低阶方程组，当 为三 对角阵或带状矩阵时，可用直接法求解. 设 ，其中 (分块形式). (1) 如果 为对称正定矩阵， (2) 则解 的BSOR迭代法收敛. 定理14

  18. 定理15 设A为非奇异的形如（3.20）式的T-矩阵，且D 非奇异. 则当 时，对 有 及最优松弛因子

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