Alternuojančios eilutės

1. Alternuojančios eilutės

2. Apibrėžimas Eilutės, turinčios be galo daug teigiamų ir neigiamų narių vadinamos kintamo ženklo eilutėmis. Paprasčiausia iš jų yra alternuojančioji eilutė: (1) Tokios eilutės konvergavimo sąlygas apibūdina teorema. Teorema (Leibnico požymis). Jeigu (1) alternuojančią eilutę sudarantys nariai yra tokie, kad 1) , 2) , tai (1) eilutė konverguoja ir jos suma yra teigiama nedidesnė už a1. P.S. Jei bent viena Leibnico požymio sąlyga netenkinama, laikoma, kad alternuojanti eilutė diverguoja.

3. Pavyzdys Naudodamiesi Leibnico požymiu ištirkite, ar eilutė konverguoja. Sprendimas Patikrinsime, ar duota eilutė tenkina Leibnico požymio sąlygas: Pastebime, kad a1a2a3....., nes kai ndidėja, tai trupmenos vardiklis didėja, o pati trupmena mažėja. Toliau tikriname sąlygą, ar Suskaičiuojame šios sekos bendrojo nario ribą, kai n Duotoji eilutėkonverguoja, o jos suma nedidesnė už 1. P.S. Alternuojančio eilutės sumos ženklas prilauso nuo pirmo nario: jei pirmas nays bus neigiamas, tai ir suma bus neigiama.

4. Absoliutus ir reliatyvus eilučių konvergavimas Kintamo ženklo eilutė vadinama konverguojančia absoliučiai, jei konverguoja iš jos narių modulių sudaryta eilutė Kai kintamo ženklo eilutė konverguoja, o modulių eilutė diverguoja, tai sakoma, kad eilutė konverguoja reliatyviai. Jei eilutė konverguoja, tuomet konverguoja ir eilutė

5. Alternuojančių eilučių konvergavimonustatymo schema Tikriname Leibnico požymio sąlygas Jei netenkina Leibnico požymio sąlygos, tai alternuojanti eilutė diverguoja Jie tenkina Leibnico požymio sąlygas, tai Alternuojanti eilutė konverguoja. Toliau tiriame modulių eilutę: (Taikome pakankamus teigiamų narių eilučių konvergavimo požymius.) Jei modulių eilutė konverguoja, tai alternuojanti eilutė konverguoja absoliučiai. Jei modulių eilutė diverguoja, tai alternuojanti eilutė konverguoja reliatyviai.

6. Alternuojančios eilutės suma Jei alternuojančios eilutės, tenkinančios Leibnico požymio sąlygas, sumą S keičiame daline suma Sn, tai darome paklaidą, ne didesnę už pirmojo atmetamojo nario an+1 modulį, t.y.

7. 1 Pavyzdys Ištirkime eilutės konvergavimą. Tirkime Leibnico požymio sąlygas: Taigi gauname, kad Kita Leibnico požymio sąlyga taip pat tenkinama: Taigi Leibnico požymio sąlygos tenkinamos, tai alternuojanti eilutė konverguoja. Toliau tiriame modulių eilutę: Taikome ribinį palyginimo požymį. Palyginkime eilutę su Dirichlė eilute: Ši eilutė konverguoja, nes laipsnis p=2>1. Tikriname ribą Gauname, kad modulių eilutė konverguoja, tai alternuojanti eilutė konverguoja absoliučiai.

8. 2 Pavyzdys Ištirkime eilutės konvergavimą. Tirkime Leibnico požymio sąlygas: Taigi gauname, kad Kita Leibnico požymio sąlyga taip pat tenkinama: Taigi Leibnico požymio sąlyganetenkinama, tai alternuojanti eilutė diverguoja.

9. 3 Pavyzdys Ištirkime eilutės konvergavimą. Tirkime Leibnico požymio sąlygas: Taigi Leibnico požymio sąlygos tenkinamos, tai alternuojanti eilutė konverguoja. Toliau tiriame modulių eilutę: Taikome Koši integralinį požymį: Gauname, kad modulių eilutė diverguoja, tai alternuojanti eilutė konverguoja reliatyviai.

10. 4 Pavyzdys 0,01 tikslumu apskaičiuokime alternuojančios eilutės apytikslę sumą Tirkime Leibnico požymio sąlygas: Taigi Leibnico požymio sąlygos tenkinamos, tai alternuojanti eilutė konverguoja. Todėl duotoji eilutė turi sumą S. Kai pirmasis atmetamas narys an+1 bus mažesnis už 0,01, tai bus galima apskaičiuoti eilutės sumą norimu tikslumu. Pastebime, kad penktasis eilutės narys yra mažesnis už norimą tikslumą, taigi nuo šio nario visus kitus narius atmetame. Sumuosime keturis eilutės narius: Taigi eilutės suma

11. Funkcijų eilutės. Laipsninės eilutės. • Eilutė, kurioje visi dėmenys yra funkcijos vadinama funkcijų (arba funkcine) eilute • Funkcijų eilutės konvergavimo sritimi vadinama aibė tų x reikšmių, su kuriomis eilutė konverguoja. • Funkcijų eilutė • kur x yra kintamasis, cn – realieji skaičiai, vadinama laipsnine eilute. • Laipsninėmis eilutėmis vadinsime ir bendro pavidalo eilutes: • Jei laipsninė eilutė konverguoja taške x=x0, tai ji konverguoja absoliučiai intervale (-| x0 |; | x0 |). • Jei laipsninė eilutė diverguoja taške x=x1, tai ji diverguoja intervale • .

12. Laipsninės eilutės konvergavimo intervalo nustatymas • Tarkime norime rasti laipsninės eilutės konvergavimo intervalą. • Tuomet remsimės d’Alambero arba Koši radikaliniu požymiu. Taikydami šiuos požymius, apskaičiuojame ribas • arba • Reikalausime, kad • Išsprendę nelygybę gausime laipsninės eilutės konvergavimo intervalą. Sprendimo metu dar reikės patikrinti ar intervalo galai taip pat priklauso konvergavimo intervalui. • Pavyzdys pratybų sąsiuvinyje 42-44 psl.

13. Teiloro ir Makloreno eilutės. • Dėl laipsninių eilučių paprastumo jos naudojamos funkcijoms išreikšti. • Teiloro eilutė: • Makloreno eilutė • Teiloro eilutė taikoma tada, kai nagrinėjama funkcija nėra apibrėžta taške x=0 (pvz.,f(x)=lnx), arba jos išvestinės neapibrėžtos (pvz., f(x)=x0.5).

14. Kai kurių elementariųjų funkcijų skleidiniai Makloreno eilute .