Giochiamo con le dimensioni

1. Giochiamo conle dimensioni

2. Bibliografia essenziale • E. Abbott Flatlandia Ed Adelfi • R. Rucker La quarta dimensione Ed. Adelfi • R. Hersh Cos’è davvero la matematica Ed Baldini Castoldi • T. Banchoff Oltre la terza dimensione Ed. Zanichelli

3. premessa • La matematica è umana. Fa parte dell’umanità ed è integrata nella realtà storico sociale dell’epoca • La matematica non è infallibile. Al pari di tutte le scienze, la matematica, può avanzare compiendo errori, correggendoli e ricorrengendoli

4. Il davanti della matematica Seguendo l’impostazione del sociologo americano E. Goffman, possiamo estendere anche alla matematica i concetti di davanti e dietro, tipici di tutte le attività umane La matematica del davanti è precisa, formale, ordinata e astratta. E’ suddivisa in definizioni, teoremi e osservazioni. la matematica del dietro è frammentaria, informale, intuitiva, procede per tentativi ed errori.

5. Dimensioni • Noi parliamo di un mondo a tre dimensioni intendendo che ci possiamo muovere nello spazio con 3 gradi di libertà su/giù, avanti/dietro, destra/sinistra. • In effetti la posizione sulla terra è perfettamente individuata da 3 informazioni: latitudine, longitudine e altezza sul livello del mare. • In realtà normalmente sulla superficie terrestre abbiamo solo 2 gradi di libertà, almeno che non ci mettiamo a saltellare, se nuotiamo sott’acqua invece ne abbiamo proprio tre, se viaggiamo su di una pista solo uno.

6. Dimensione tempo • Nella fisica di Einstein viene aggiunta la dimensione tempo. L’idea non è poi così strana se pensiamo che se vogliamo incontrarci con una persona dobbiamo fissare, per incontrarci veramente oltre alla posizione anche l’ora. • Noi però qui vorremmo parlare della quarta dimensione spaziale e questa è difficilissima o meglio impossibile da visualizzare.

7. Quarta dimensione Nessuno è in grado di indicarla. E’ un argomento di meditazione per filosofi e mistici. I fisici e i matematici la utilizzano per i loro calcoli. E’ parte integrante di molte serie teorie scientifiche. Viene abilmente e abbondantemente sfruttata nello spiritismo e nella fantascienza

8. Platone • Possiamo in qualche modo comprenderla, ragionando per analogia. Questo è un metodo nient’affatto originale. • Pensiamo a Platone e al mito della caverna. • Anche lì persone tridimensionali sono convinte di essere ombre.

10. Scopriamo le caratteristiche di un cubo 4-dimensionale Gioco numero 1:

11. Dal punto all’ipercubo

13. GIOCO NUMERO 2: Troviamo le misure delle diagonali di un cubo 4-dimensionale

14. Teorema di Pitagora In un triangolo rettangolo, il quadrato della misura dell’ipotenusa è uguale alla somma delle misure dei cateti elevate al quadrato. a2 = b2 + c2 a b c

15. Diagonale di un quadrato di lato l = l√2 l2+ l2 = 2l2 • Diagonale di un cubo di lato l = l√3 2 l2+ l2 = 3l2 • Diagonale di un ipercubo di lato l = 2l 3l2+ l2 = 4l2

16. commento • Un cubo a 4, 5 dimensioni esiste? Dove si trova? Se non esiste come abbiamo fatto a scoprire tante cose su di lui? • E un 3-cubo esiste? Tutti gli oggetti fisici che chiamiamo cubi in realtà lo sono solo approssimativamente. Solo un 3-cubo matematico e veramente un cubo, dunque non c’è tanta differenza fra il chiedersi se esiste un 3- cubo o un 4-cubo

17. Rappresentazione di un cubo 3Dsu di un foglio

18. Utilizzo delle sezioniper rappresentare oggetti 3-dim • I botanici del secolo scorso utilizzavano sottili sezioni messe fra vetrini e poi osservate al microscopio. • Le linee altimetriche su una carta geografica. • Con la TAC e la Risonanza Magnetica si ottiene una visione tridimensionale dell’organo malato facendo prima una serie di immagini, opportunamente distanziate e poi mettendole in sequenza e interpolando con il computer le parti mancanti.

19. Sviluppo dell’ipercubonello spazio tridimensionale

20. Proiezione centrale di un ipercubo dallo spazio a 4 a quello a 3 dimensioni

21. Cosa cambia nella realtà se il numero di dimensioni è diverso da tre?

22. In una realtà a 2 dimensioni • non possiamo sovrapporre il contorno di una mano destra con sinistra • non possiamo vedere il contenuto di un recinto • non riusciamo a vedere il percorso del labirinto • non può esistere un organismo con un apparato digerente con bocca distinta dall’ano • non possiamo fare un nodo ad una fune

23. Se la realtà avesse 4 dimensioni • I chirurghi potrebbero eseguire operazioni senza tagliare la pelle. • Potremmo trasformare una scarpa destra in una sinistra. • Nessun nodo rimarrebbe tale, in una fune.

24. Cenni alla quarta dimensionenella letteratura e nell’arte • Vari films di fantascienza et similia (es. Poltergeist di Spielberg) • Paradiso di Dante • Ipercubo di Pierelli • Crocefissione di Salvador Dalì • Flatlandia di Abbott

25. Dante e l’ipersfera il fisico romeno Horia-Roman Patapievici, ma anche altri studiosi pensano che il Paradiso di Dante sia una ipersfera

26. Per capirci invece di parlare di una ipersfera con sezioni delle sfere , parliamo di una sfera con sezioni circonferenze Partiamo da un punto sulla sfera, in cui localizziamo la Terra, e rappresentiamo i vari cieli celesti, a cominciare da quello della Luna, mediante circonferenze concentriche via via sempre più grandi fino ad arrivare a quella massima: il "Primum Mobile". Proseguiamo, poi, con le circonferenze corrispondenti ai cieli degli angeli, da quello angelico della Luna a quello dei Serafini, il più vicino a Dio, che diventano sempre più piccole fino a ridursi ad un punto: l'Empireo. Si otterrà il modello rappresentato dalla figura a lato. Così, il «ciel ch’è pura luce», oltre che la residenza di Dio, rappresenta il punto ai nostri "antipodi" nell'Universo.