Лекция №2 Механика Кинематика материальной точки

1. Лекция №2 Механика Кинематика материальной точки 15/02/2014 АлексейВикторович Гуденко

2. Кинематика • Ньютоновская (классическая) нерелятивистская механика. • Механическое движение. Кинематика точки. • Основные понятия кинематики – путь, перемещение, скорость, ускорение. • Основная задача кинематики. • Преобразование Галилея и закон сложения скоростей. • Примеры решения задач кинематики.

3. Демонстрации • Свободное падение тел в вакууме • Жёлоб Галилея.

4. КинематикаОсновные понятия • Кинематика занимаетсяописанием движения без выяснения причин, его вызывающих. • Система отсчёта: тело отсчёта + система координат + часы • Единица длины – метр (м); единица времени – секунда (с) • Модели: • материальная точка – тело, размерами которого при описании движения можно пренебречь. • абсолютно твёрдое тело – тело, деформациями которого в условиях задачи можно пренебречь.

5. Классическая нерелятивистская механика – это механика макроскопических тел, движущихся с малыми скоростями.

6. Характерные скорости и массы • Скорость света:c = 300000 км/с = 3 108 м/с = 3 1010 см/с Скорость космического аппарата: v ~ 10 км/с. Скоростьорбитального движения Земли: v ≈ 30 км/с. Погрешность: (v/c)2 ~ 10-9÷ 10-8 • Протон в ускорителе: Δv = |v –c| ~ 1см/с;Электрон в ускорителе:Δv = |v –c| ~ 0,1мм/с – к таким частицам ньютоновская механика неприменима:Ускоритель рассчитывается по законам релятивистской механики. • Масса протона mp = 1,6710-27 кг = 1,6710-24 г • Масса электрона me = 9,1110-31 кг = 0,91110-27 г

7. Природа квантовых флуктуаций – принцип неопределённости • Один из основополагающих законов физики - принцип неопределенности Гейзенберга: невозможно одновременно точно установить скорость частицы и ее положение. • Масштаб неопределённости: произведение неопределенности скорости ΔVx (импульса) частицы на неопределенность ее положения Δx должно всегда превышать очень маленькую величину, которая называется постоянной Планка.

8. Соотношение неопределённости Гейзенберга • Δx Δp ≥ h  Δx Δv ≥ h/m (теория: Δx Δp ≥ ћ/2) h = 6,62 10-34 Дж с = 6,62 10-27 эрг с ћ = h/2π = 1,055 10-27 эрг с. • m ~ 1гΔx Δv ≈ 1,055 10-27  Δx ~ 10-13 см; Δv ~ 10-13 см/c • Для электрона: Δx Δv~ 1(СГС) • в атоме: Δx ~ 10-8 см; Δv ~ 108см/c !!! • в электронно-лучевой трубке: Δr ~ 0,1 мм =10-2 см; Δv~ 100 см/cU ~ 10 кВ  v = 5 109 см/с; Δv/v = 10-7

9. Кинематики материальной точки • Описать движение материальной точки означает указать её положение в пространстве в любой момент времени, т.е. установить закон движения материальной точки. • координатный способ:x = x(t); y = y(t); z = z(t) – три степени свободы материальной точки • векторный способ:r = r(t) – радиус-вектор • Траектория движения тела – линия, которую описывает тело в процессе движения • Путь – длина траектории s. • Перемещение – вектор, соединяющий начальное положение точки с конечным: Δr = r – r0 • Для малых перемещенийΔr ≈Δsττ– единичный вектор вдоль Δr

10. Скорость и ускорение • Скорость:v = dr/dt = τ ds/dt = vτ–скорость направлена по касательной к траектории в сторону движения • Ускорение:a = dv/dt = d(vτ)/dt a = dv/dt τ + v2/R n • aτ= dv/dt – тангенциальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения величины скорости • an = v2/R – нормальная составляющая ускорения направлена по нормали в сторону вогнутости и характеризует быстроту изменения направления скорости. (R – радиус кривизны траектории). • Полное ускорение a2 = an2 + aτ2

11. Y v1 v1 dr = sτ Δvn v v2 v2 Δv Δvτ r r + dr aτ an v 0 X a Скорость и ускорение

12. Уравнение движения с постоянным ускорением • a = const  • dv/dt = a  v = v0 + at – закон изменения скорости при равноускоренном движении  • dr/dt = v0 + at  r = r0 + v0t +at2/2s = r - r0 = v0t +at2/2 – закон равноускоренного движения

13. Свободное падение • Все тела, независимо от их массы приобретают в гравитационном поле одинаковые ускорения (Галилей). • В поле тяжести Земли тела движутся с постоянным ускорением g = 9,8 м/с2 • V = V0 + gt • r = r0 + v0t +gt2/2

14. Жёлоб Галилеяи закон нечётных чисел • S1: S2: S3…= 1:3:5… • S = S1 + S2 + S3 + …= at2/2

15. Бросок под углом к горизонту • v0t sinα = gt2/2  время полётаt = 2v0sinα/g • Дальность полёта:s = Δr = v0tcosα = v02sin2α/g • Максимальная высота подъёма:h = gt2/8 = v02sin2α/2g • Радиус кривизны в верхней точке траектории:an = g = (v0cosα)2/r  r = (v0cosα)2/g = 2hctg2α

16. Движение по окружности • ω = dφ/dt – угловая скорость. Вектор ω– направлен вдоль оси вращения по правилу буравчика. • ε = dω/dt - угловое ускорение • v = [ωr] • aτ = εr – тангенциальное ускорение; an = ω2r = v2/r;an = -ω2r– центростремительное ускорение • T = 2π/ω – период обращения; f = 1/T – частота вращения.

17. Относительность движения Закон сложения скоростей • K′поступательно движется относительно системы Кr = r0 + r′  • v = v0 + v′ классический (нерелятивистский) закон сложения скоростей:абсолютная скорость тела vравна векторной сумме относительной скорости v′ и переносной скорости v0движущейся системы отсчёта • a = a0 + a′ a0 = 0  a = a′при равномерном и прямолинейном движении СО относительно друг друга (v0= const) ускорение тела в этих двух системах одинаково

18. Колесо • x = v0t + Rsinωty = R + Rcosωt • vx = x’ = v0 + ω Rcosωt = v0(1 + cosωt)vy = y’ = - ωRsinωt = - v0sinωt • Отсутствие проскальзывания: vx(φ = π) = 0  v0 = ωR • v2 = vx2 + vy2 = 4v02cos2φ/2  v = 2v0cosφ/2 = ωDcosφ/2 = ωAB • радиус кривизны: a = a’a = an = v02/R = (2v0)2/rкр rкр= 4R

19. Циклоида: x = R(φ + sinφ) y = R(1 + cosφ) • Радиус кривизны в вершине циклоиды: r = 4R

20. Тень бежит по скале: закон движения? • h(t) = R/cosφ – R ≈ R(1/(1 – ½φ2) – 1) ≈ φ2R/2 = ω2Rt2/2 = aэквt2/2 • aэкв = ω2R = vэкв2/R = 3,4 см/с2 • h = 1 км t = (2h/aэкв)1/2≈ 4 мин.

21. Примеры и задачи • Задача про колесо (№ 1.6) • Задача про Лунную тень (№ 1.5) • Венерианские сутки (№ 1.3) • Скала на экваторе (1.12): за какое время километровая скала на экваторе закроется тенью? • Жёлоб Галилея(закон нечётных чисел): s1 : s2 : s3…= 1:3:5… • Свободное падение: s = v0t + gt2/2: уравнение траектории; время полёта; дальность полёта; максимальная высота, кривизна траектории(R = (x’2 + y’2)3/2/(x’y’’ – x’’y’) = (1 + y’2)3/2/y’’) • Стрелок и яблоко. Куда должен целиться стрелок, если яблоко отрывается в момент выстрела?

22. Эйнштейн о соотношении неопределённости • «Но ведь не гадает же господь Бог «орёл-решка», чтобы решить куда должен двигаться электрон!» Альбе́рт Эйнште́йн (Albert Einstein)(1879 -1955) физик-теоретик, один из основателей современной теоретической физики, лауреат Нобелевской премии по физике 1921 года.