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第二篇 集合论

第二篇 集合论. 本篇由集合论初步、关系、函数、有限集与无限集等与集合论相关等四部分内容组成，它们间是一个内容关联的整体。. 第四章 集合论初步. 集合论是数学的基础，也是离散数学的基础。故学好集合论十分重要，在本章学习中要掌握：  集合中的一个基本概念  集合中的两种关系  集合中的三种特殊集合  集合中的四种表示方法  集合中的五种运算  集合中的 21 个常用公式. §4.1 集合论基本概念. （ 1 ） 一个主要的概念 —— 集合的基本概念 ：一些不同确定的对象全体称集合，而这些对象称集合的元素。

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第二篇 集合论

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  1. 第二篇 集合论 本篇由集合论初步、关系、函数、有限集与无限集等与集合论相关等四部分内容组成，它们间是一个内容关联的整体。

  2. 第四章 集合论初步 集合论是数学的基础，也是离散数学的基础。故学好集合论十分重要，在本章学习中要掌握：  集合中的一个基本概念  集合中的两种关系  集合中的三种特殊集合  集合中的四种表示方法  集合中的五种运算  集合中的21个常用公式

  3. §4.1 集合论基本概念 （1）一个主要的概念——集合的基本概念：一些不同确定的对象全体称集合，而这些对象称集合的元素。 （2）集合中的两个关系  集合间的比较关系：A＝B，A≠B，AB，AB。  集合与元素间的隶属关系：aA，aA。 （3） 三种特殊的集合  空集  全集E  幂集（A）。

  4. A A B （4） 集合的四种表示法：  枚举法。即将集合元素一一列举。例：{1, 2, 3,…}  特性刻划法。即用元素的性质刻划集合。例：{x | p (x)}  图示法。即用文氏图表示集合及集合间的关系。例：  运算法。即用已知集合的运算构造新的集合。例： S＝A∪（B∩C）

  5. （5）集合的五种运算：  交运算：A∩B  倂运算：A∪B  差运算：A－B  补运算：～A  对称差运算：A＋B

  6. （6）集合的21个公式： 交换律： A∪B＝B∪A A∩B＝B∩A 结合律： A∪（B∪C）＝（A∪B）∪C A∩（B∩C）＝（A∩B）∩C 分配律： A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∩C） A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C）

  7. 同一律： A∪＝A A∩E＝A 零一律： A∪E＝E A∩＝ 互补律： A∪～A＝E A∩～A＝ 双补律： ～（～A）＝A

  8. E与 的互补： ～E＝ ～＝E 等幂律： A∪A＝A A∩A＝A 吸收律： A∪（A∩B）＝A A∩（A∪B）＝A 狄·莫根定律： ～（A∪B）＝～A∩～B ～（A∩B）＝～A∪～B

  9. §4.5有限集与无限集 （1）有限集与无限集的基本概念  有限集的两个定义   集合S与Nn一 一对应   非无限集即为有限集  无限集的两个定义   S与一 一对应函数f：SS使得：f (S)  S   S存在与其等势的真子集

  10. （2）有限集 有限集的基数——有限集元素个数 有限集的计数——计算有限集中元素个数 有限集计数的四种方法：  |A∪B|＝|A|+|B|  |A∪B|＝|A|+|B|－|A∩B| |A∪B∪C|＝|A|+|B|+|C|－|A∩B|－|A∩C|－|B∩C|+|A∩B∩C| |S1∪S2∪…∪Sn|＝∑|Si|－∑ |Si∩Sj|＋ ∑ |Si∩Sj∩Sk|（－1）∑ |S1∩S2∩…∩S n| n i=1 1≤i＜j≤n 1≤i＜j＜k≤n

  11. 无限集 （3）四个常用的无限集：  自然数集N  整数集I  有理数集Q  实数集R （4） 无限集的势 （5） 无限集分类（按势分类） 自然数集 可列集——基数为0整 数 集 无限集 实数集——基数为  有理数集 更大基数的集——（A）

  12. 幂集、n元有序组与笛卡尔乘积 （7）幂集  幂集定义：集合A的所有子集所组成的集合，可记为（A）。  幂集性质：|A|＝n 则|  (A) |＝2 n

  13. （8）n元有序组与笛卡尔乘积 n元有序组是一种特殊的集合结构形式，它有两个基本概念与一种基本运算（笛卡尔乘积）。  基本概念之一：有序偶。例：（a , b）  基本概念之二： n元有序组。例：（a1 , a2 ,…an）  基本运算：笛卡尔乘积。例：AB

  14. 第五章 关系 关系研究集合内元素间的关联及集合间元素关联，主要有：  一个基本概念  两种表示方法  三种运算  九个公式  五种性质  六种常用关系

  15. §5.1 关系基本概念 （1）一个主要的概念——二元关系的基本概念： 关系定义：从集合A到B的关系R是A× B的一个子集。 （2）两种表示方法：  集合表示法：有序偶的集合  图表示法：有向图

  16. ～ ～ ～ §5.2 关系运算 （3）两种运算：  关系的复合运算  关系的逆运算 （4）有关运算的五个公式： 复合运算的公式： (R S ) T＝R (S T) Rm Rn＝Rm+n (Rm)n＝Rmn 逆运算的公式： R＝R (R S)＝ R S

  17. §5.3 关系重要性质 （5）关系的五种性质  关系的自反性  关系的反自反性  关系的对称性  关系的反对称性  关系的传递性

  18. （6）六种常用关系  次序关系之一：偏序关系  次序关系之二：拟序关系  次序关系之三：线性次序关系  次序关系之四：字典次序关系  相容关系  等价关系

  19. ～  i=1 §5.4 闭包运算 （1）关系的闭包运算   自反闭包 r (R)   对称闭包 s (R）   传递闭包 t (R） （2）闭包的公式： r（R）＝R∪ s（R）＝ R∪R t（R）＝∪Ri

  20. §5.5 次序关系 （7）次序关系  四个定义： 偏序关系：X上自反、反对称与传递的关系称偏序关系 并用‘≤ ’表示。 拟序关系：反自反、传递的关系称拟序关系并用‘< ’表示。 线性次序关系：X上偏序关系R如有x , yx必有x ≤y或y ≤ x则称R是X上线性次序关系。 字典次序关系：有限字母表∑ 上的偏序关系。 如建立∑＊上的次序关系： 设x=x1, x2,…xn , y=y1, y2,…ym ；x , y*；x1 , x2,…xn ,y1 , y2 ,…,ym.

  21. （1）x1≠y1且如x1≤y1则我们说xLy；如y1≤x1，则我们说yLx；（1）x1≠y1且如x1≤y1则我们说xLy；如y1≤x1，则我们说yLx； （2）如存在一个最大的K且K＜min (n，m)，使得x1＝y1，x2＝y2，…，xk＝yk而xk＋1＝yk+1，如果xk＋1≤yk＋1 ，则我们说xLy；如yk＋1≤xk＋1 ，则我们说yLx； （3）如存在一个最大的K＝min (n，m)，使得x1＝y1，x2＝y2，…，xn＝yn ，此时如n≤m，则我们说xLy；如m≤n，则我们说yLx。

  22.  四个次序关系间的关系：   R是拟序则r (R) = R   R是偏序则R－Q是拟序   字典次序关系必为线性次序关系   R是拟序则必反对称  八个概念：   最大元素（最小元素）   极大元素（极小元素）   上界（下界）   上确界（下确界）

  23. §5.6 相容关系 （8）相容关系  相容关系定义——X上自反、对称关系称相容关系并用“≈”表示 。  相容关系的极大相容块——设有集合X上的相容关系≈，设A是X的子集，如A中任何元素都互为相容，且X—A中的任何元素没有一个与A中的所有元素相容，则称A是X中的极大相容性分块。  相容关系完全覆盖——X上相容关系≈，它的极大相容性分块的集合称X的完全覆盖。

  24. §5.7 等价关系 （9）等价关系  等价关系定义——X上自反、对称、传递的关系称等价关系。  等价类——R是X上等价关系，对xX可构造一个X的子集[x]R称为x 对R的等价类。  划分——S的子集A1，A2，…An满足：① Ai均分离(i=1，2，…，n) ② A1∪A2∪…∪An＝S则A＝｛A1，A2，…，An｝为S的划分，而Ai称为划分的块（i=1, 2,…n）。  商集——X上等价关系R所构成的类产生X的划分叫X关于R的商集记以X／R。

  25. 第六章 函数 函数是一种特殊的关系，它在数学中具有普遍重要价值，函数主要内容有：  一个基本概念  两种基本运算  三种性质函数  四种常用函数

  26. §6.1 函数的基本概念 （1）一个基本概念——函数的基本概念。 函数建立了从一个集合到另一个集合的特殊对应关系。设有集合X与Y，如果我们有一种对应关系f，使X的任一元素x能与y中的一个唯一的元素y相对应，则这个对应关系f叫从X到Y的函数或叫从X到Y的映射。x所对应的y内的元素y叫x的像，而x则叫y的像源。上述函数我们可以表示成f：XY；或写成XY；以及y＝f（x）。 （2）三种不同性质函数：  满射与内射  一对一与多对一  一一对应（双射）

  27. X Y X Y X Y g f h x1 x2 x3 x4 y1 y2 y3 y4 x1 x2 x3 x4 x5 y1 y2 y3 y4 x1 x2 x3 x4 y1 y2 y3 y4

  28. 从图中可以看出函数f使得Y中的每个元素均有X中的元素与之对应，这种函数叫做从X到Y上的函数，否则叫做从X到Y内的函数。从图中可以看出函数f使得Y中的每个元素均有X中的元素与之对应，这种函数叫做从X到Y上的函数，否则叫做从X到Y内的函数。 从图中可以看出，函数g使得不但X中的每一个元素xi唯一对应一个Y中的一个元素yj，而且也只有一个xi对应yj，也就是说一个像只有一个像源与之对应，这种函数叫做一对一的函数，否则叫做多对一的函数。 从图中可以看出，函数h使得X与Y间建立了—一对应的关系，这种函数叫X与了间—一对应的函数。

  29. §6.2 复合函数、反函数、多元函数 （3）两种运算：  复合运算（复合函数）设函数f：XY，g：YZ则复合函数h＝gf：XZ是一个新的函数。 定义：设函数f：XY，g：YZ，它们所组成的复合函数或叫复合映射gf，也是一个函数h：XZ，即： h＝g f：{(x , z)|xX , zZ且至少存在一个yY，有y=f（x），z＝g（y）}．

  30. Y g f X Z h y1 y2 x1 x2 x3 z1 z2

  31.  逆运算（反函数） 定义：设f：XY是—一对应的函数，则f所构成的逆关系叫f的逆映射或叫f的反函数，记以f—1：Y  X （4）函数分类：  一元函数：f (x)  二元函数：f (x , y)  多元函数：f (x1, x2 , …xn )

  32. §6.3 常用函数 （5） 四种常用函数  常值函数：f (x)＝b  恒等函数：f (a)＝a  单调递增函数与严格单调递增函数：  单调递减函数与严格单调递减函数 ： 1 aA’  特征函数： f (a)＝ 0 aA’

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