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集合论

集合论. 1. 集合概念与符号. 集合 ( 直观描述 ) 集合相等和子集合 子集的表示方式和全集 常用数学符号和常用集合记号. 起源.

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集合论

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  1. 集合论

  2. 1. 集合概念与符号 • 集合(直观描述) • 集合相等和子集合 • 子集的表示方式和全集 • 常用数学符号和常用集合记号

  3. 起源 • 集合论(Set Theory)是现代数学的基础．它的起源可追溯到16世纪末，主要是对数集进行卓有成效的研究．但集合论实际发展是由 19世纪 70年代德国数学家康托尔(G . Cantor) 在无穷序列和分析的有关课题的理论研究中创立的．康托尔对具有任意特性的无穷集合进入了深入的探讨，提出了关于基数、序数、超穷数和良序集等理论，奠定了集合论的深厚基础．因此，康托尔被誉为集合论的创始人．但随着集合论的发展，以及它与数学哲学密切联系所作的讨论，在本世纪初，出现了许多似是而非、自相矛盾的悖论，如著名的罗素(B . A . W . Russell)悖论，有力冲击了或者说动摇了集合论的发展．

  4. 由此原发许多数学家哲学家为克服这些矛盾而建立了各种公理化集合论体系，其中尤以本世纪初、中期的ZFS(E . Zermelo, A . Fraenkel, T . Skolem)和NBG(Von Neurnann, P . Bernavs, K . Gödel)公理化体系最为流行. 到 20世纪 60年代，P . L . Cohen发明了强制方法而得到了关于连续统与选择公理的独立性成果，尔后的研究结果推陈出新，大量涌现．在同一时代，美国数学家 L . A.Zadeh提出了Fuzzy集理论, 以及 20世纪80年代波兰数学家Z . Pawlak发表了Rough集理论，这两种理论区别于以往的集合论， 是一种新的模糊集理论，受到了学术界的重视和青睐，取得了喜人成果．还有多位著名学者也为集合论的发展作出了重要贡献．

  5. 集合论在计算机科学、人工智能领域、逻辑学及语言学等方面都有着重要的应用．对子从事计算机科学的工作者来说，集合论是不可缺少的理论知识，熟悉和掌握它是十分必要的．集合论在计算机科学、人工智能领域、逻辑学及语言学等方面都有着重要的应用．对子从事计算机科学的工作者来说，集合论是不可缺少的理论知识，熟悉和掌握它是十分必要的．

  6. 集合(直观描述) • 具有某种属性的对象总体(通常用大写字母表示，如A,B等)，这些对象称为其元素 (通常用小写字母表示，如x,y等). • x是A的元素记为: xA (读作x属于A) • x不是A的元素记为: xA (读作x不属于A) • 集合的基本特性是，对于给定的集合A，任何对象x, xA与xA中有且只有一个成立.

  7. 小于10的正奇数集合A={1, 3, 5, 7, 9} • 表面看起来不相干的元素所构成的集合{a, 2, Fred, New Jerseg} • 集合B={x | x是小于10的正奇数} • 上例中集合A=B

  8. 集合相等和子集合 • 集合相等：如果两个集合A和B有同样的元素组成，就说集合A和B相等，记作A= B或B=A. • 子集合: 如果集合B的元素都是集合A的元素，B叫做A的子集合(简称子集). 记作BA (读作B包含于A)，或AB (读作A包含B). • 命题： A= B当且仅当AB且AB.

  9. 子集的表示方式和全集 • 设A是一个集合,其子集B通常用下面的形式表示：B={xA | P(x)}, 其中P(x)表示x在B中所要满足的条件 • 空集：不含任何元素的集合叫做空集,用符号表示,空集是任何集合的子集： ={xA | x x} • 在数学的讨论中，常常涉及到的是某个固定集合的子集，例如，实数的子集. 这个固定集合叫做全集. 一般用E表示.

  10. 集合的基数 • 定义4 令S为集合。若S中恰有n个不同元素，n是非负整数，就说S是有限集合，而n是集合S的基数，用| S |表示。 • 例 令A为小于10的正奇数集合，则| A | = 5 • 空集Φ没有元素，所以| Φ | = 0 • 定义5 如果一个集合不是有限的，就说它是无限的。

  11. 幂集合 • 很多问题都要检查一个集合的元素的所有可能的组合，看它们是否具有某种性质。为了考虑集合元素所有可能的组合，我们构造一个新集合，它以S的所有子集作为它的元素。

  12. 幂集合 • 定义6 已知集合S, S的幂集合是集合S所有子集的集合，用P(S)表示。 • 例 集合{0, 1, 2}的幂集合是P({0,1,2}={Φ,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}}。 • 空集的幂集合是什么？集合{Φ}的幂集合是什么？

  13. 幂集合 • 空集的幂集合是什么？集合{Φ}的幂集合是什么？ • P(Φ)={Φ}P({Φ})={Φ,{Φ}} • 如果一个集合有n个元素，那么它的幂集合有2n个元素。

  14. 2. 笛卡尔积 • 定义7 有序n元组（a1,a2,…,an)是以a1为第一个元素，a2为第2个元素，…，an为第n个元素的有序组。 • 2元组特称为有序偶。 • 集合A和B的笛卡尔积C=AB表示所有有序偶(a,b)的集合, 其中aA, bB. 也就是 AB={(a,b) | aA且 bB}

  15. 笛卡尔积 • 例 令A为某大学所有学生的集合，B表示该大学开设的所有课程的集合。A和B的笛卡儿积A×B是什么？ • 解：笛卡儿积A×B由形为(a, b)的所有有序偶组成，其中a是学生，而b是该校开的一门课。集合A×B可以用来表示该校学生选课的所有可能情况。

  16. 笛卡尔积 • 例 A={1,2}, B={a, b, c}, A×B=? • 上例中A×B是否等于B×A

  17. 笛卡尔积 • 定义9 集合A1, A2,…,An的笛卡儿积用A1×A2×…×An表示，这是有序n元组(a1,a2,…,an)的集合，其中对于i=1,2,…,n，ai∈Ai。 • 什么是笛卡儿积A×B×C，其中A={0,1},B={1,2},C={0,1,2}?

  18. 笛卡尔积 • 什么是笛卡儿积A×B×C，其中A={0,1},B={1,2},C={0,1,2}? • 解：A×B×C={(0,1,0),(01,1),(0,1,2),(0,2,0),(0,2,1),(0,2,2),(1,1,0),(1,1,1),(1,1,2),(1,2,0),(1,2,1),(1,2,2)}

  19. 3. 集合运算 • 集合的并 • 集合的交 • 集合的差运算和余(补)运算 • 集合运算的性质

  20. 集合的并 • 集合A和B的并是由A或B的所有元素组成的集合, 记为AB, 也就是 AB={x | xA或xB} • 集合并运算的性质： • 交换律 A  B= B  A • 结合律A  (B  C)= (A  B)  C

  21. 集合的交 • 集合A和B的交是由所有A和B的公共元素组成的集合, 记为A  B, 也就是 A  B={x | xA且xB} • 集合交运算的性质： • 交换律 A  B= B  A • 结合律A (B  C)= (A  B)  C

  22. 集合的差运算和余(补)运算 • 集合的差运算：由集合A中不在集合B中的元素所组成的集合叫做集合A与集合B的差，记作A-B, 也就是 A-B={xA | xB} • 设全集为U，集合AU, U-A叫做A关于U的补集，当U是公认的时候，简称为A的补集，记为

  23. 集合相等

  24. 集合相等的证明 • 可以考虑用成员表来证明集合相等。我们考虑一个元素可能属于的集合的每一种组合，并证明在同样的集合组合中的元素属于等式两边的集合。用1表示元素数属于一个集合，用0表示元素不属于一个集合。

  25. 集合相等的证明 • 例 用成员表证明A∩(B∪C)=(A ∩B) ∪ (A∩C)

  26. 集合的计算机表示 • 无序存储。 • 缺点：做集合的并集、交集和差集等运算会浪费时间，因为这些运算需要大量元素检索

  27. 集合的计算机表示 • 利用全集元素的一个任意排序存放元素以表示集合。 • 假定全集U是有限的，首先为U的元素任意规定一个顺序，例如a1,a2,…,an。于是可以用长度为n的位串表示U的子集A：如果ai属于A，则位串中第i位是1；如果ai不属于A，则位串中第i位是0。

  28. 集合的计算机表示 • 例 令U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，而且U的元素从小到大排序，即ai=i。表示U中所有奇数的子集、所有偶数的子集和不超过5的整数的子集的位串分别是什么？ • 解：U中所有奇数的子集即{1,3,5,7,9}的位串，第1，3，5，7，9位为1，其他位位0，即10101 01010

  29. 集合的计算机表示 • 例 集合{1,2,3,4,5}和{1,3,5,7,9}的位串分别是11111 00000和10101 01010，用位串求出它们的并集和交集。 • 解：这两个集合的并集合的位串是11111 00000 ∨ 10101 01010 = 11111 01010，表示集合{1,2,3,4,5,7,9}这两个集合的交集的位串是11111 00000 ∧ 10101 01010＝10101 00000，表示集合{1,3,5}

  30. 6. 集合的势 • 等势的概念 • 自然数和有限集 • 可数集 • 幂集 • 不可数集

  31. 等势的概念 • 如何说清有限集: 自然数的构造 • 数数的澄清和推广--等势: 如果两个集合A和B之间存在双射,就说A与B是对等的或等势的.记做A~B. • 等势的性质: • 1. 自返性: A~A; • 2. 对称性: A~BB~A; • 3. 传递性: A~B, B~CA~C.

  32. 自然数和有限集 • 自然数: • 0:=, 1:={} • 递归定义: n+1:={0,1,…,n} • 自然数集: N={0,1,…}, N+ ={1,2,…} • 有限集: 如果集合A与某个自然数对等，就说A是有限集. 约定: 空集是有限集 • 两个不同自然数是不对等的. 自然数可以看成是有限集势的代表

  33. 可数集(I) • 无限集: 不是有限集的集合叫做无限集 • 可数集: 与自然数集N等势的集合叫做可数集 • 命题1. 有理数集Q={m/n | mZ, nN+}是可数的 • 证明：利用高度h=|m|+n • 命题2. 可数集的子集是有限的或可数的

  34. 可数集(II) • 命题3. 有限多个或可数多个可数集的并集仍然是可数的 • 证明: 次对角排列法. • 事实1. 任何无限集都有可数子集 • 事实2.设A是无限集, B可数集,则AB~B • 说明: 有些数学书或文章中把有限或可数集一起叫做至多可数的(at most countable) 或可列的(enumeratable),甚至就叫可数的

  35. 不可数集 • 不可数集: 不对等于N的无限集叫做不可数的 • 连续统势: 与P(N)对等的集合叫做具有连续统的势 • 事实3. F={f: N{0,1}}与P(N)等势 • 事实4. X={AP(N) | kN, nk, nA}是可数的 • 事实5. 在二进制中1=0.11….(1循环)

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