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概 率 论

概 率 论. —— 研究和揭示随机现象数量规律性 的一门数学学科. 第一章 随机事件与概率. 随机事件 随机事件的频率与概率 古典概型与几何概型 条件概率 事件的独立性. 随机事件. ★ 现象 —— 现象分为确定性现象和随机现象。. 随机现象 —— 在个别试验中，其结果呈不确定性， 在大量重复试验中，结果又具有统计规律性。. * 随机现象的结果是偶然性的，但在随机试验下 呈必然性. 偶然性 —— 取值不同 必然性 —— 用概率表示. ★ 随机试验. —— 揭示随机现象的统计规律.

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概 率 论

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Presentation Transcript

  1. 概 率 论 ——研究和揭示随机现象数量规律性 的一门数学学科

  2. 第一章 随机事件与概率 随机事件 随机事件的频率与概率 古典概型与几何概型 条件概率 事件的独立性

  3. 随机事件 ★ 现象——现象分为确定性现象和随机现象。 • 随机现象——在个别试验中，其结果呈不确定性， 在大量重复试验中，结果又具有统计规律性。 * 随机现象的结果是偶然性的，但在随机试验下 呈必然性 偶然性——取值不同 必然性——用概率表示

  4. ★ 随机试验 ——揭示随机现象的统计规律 1）试验可在同样条件下重复进行 2）试验结果的已知性和未知性 3）每次试验只能出现结果中的一个

  5. ★ 样本空间 所有可能结果放在一起构成的集合，记为 。 ★ 样本点 每一个可能的结果，记为 。 ★随机事件 样本空间的一个子集，简称事件。 事件常用大写字母A、B、C等表示

  6. 注：同一随机试验可能有不同的样本空间。 即样本点和样本空间是由试验内容而确定的。

  7. 例2 一个盒子里有10个完全相同的球，分别标为号码1，2，3….，10，从中任取一个球，令 i ＝ {取得球的标号为i｝ A＝｛标号为3｝ B＝｛标号为偶数｝ C＝｛标号为奇数｝ A－基本事件 B，C－复杂事件 － 必然事件， －不可能事件

  8. 事件间的关系和运算 在试验中出现A中所包含的某一个基本事件

  9. 一、事件间的关系 1）包含 2）相等 3）并 4）交 5）互不相容 6）对立（互斥） 7）完备事件组

  10. 事件包含 事件Ａ包含事件Ｂ，就是指Ｂ发生必导致Ａ发生。 表示为 例如：抛骰子时， Ａ＝“出现偶数点”，Ｂ＝“出现４点” ，则

  11. 事件相等

  12. 事件并

  13. 事件交

  14. 互不相容

  15. 对立事件

  16. 完备事件组

  17. 事件的运算法则

  18. 例： 1）A与B发生，C不发生 2）A，B，C至少两个发生 3）A，B，C恰好两个发生 4） A，B，C有不多于一个事件发生

  19. （二）事件间的运算 * AB+C=(A+C)(B+C)

  20. （对偶律）

  21. 吸收律：

  22. 例 1.1.4 设 是随机事件，试证：

  23. 例1.1.5 试问下列命题是否成立： （1） ( 2 ) 若 且 ,则 ( 3 ) ( 4 )

  24. 例题

  25. 随机事件的频率与概率 • 概率的统计定义 • 古典概型 • 概率的性质 • 概率的计算

  26. 概率的统计定义

  27. 古典概型 • 如果随机试验满足以下条件： • (1)有限性。只有有限多个不同的基本事件。 • （2）等可能性。每基本事件出现的可能性相等。 则称之为古典概型。 • 在一个装有5个白球，6个蓝球的袋中随机抽取三个球； • 在100件产品，不放回地随机抽取五件产品。

  28. 概率性质

  29. 概率计算 例1：某车间有男工７人，女工４人，现要任选三个代表前往先进单位参观学习，问３个代表中至少有一个女工的概率是多少？

  30. 例2：袋中有a个数白球，ｂ个黑球，从中接连任意取出ｍ(m<=a+b)个球，且每次取出的球不再放回去，求第ｍ次取出的球是白球的概率？例2：袋中有a个数白球，ｂ个黑球，从中接连任意取出ｍ(m<=a+b)个球，且每次取出的球不再放回去，求第ｍ次取出的球是白球的概率？

  31. 概率公式 • 条件概率 • 乘法公式 • 全概率公式 • 贝叶斯公式

  32. 条件概率

  33. 例１：一家有二个小孩，已知此家有一个女孩，问另一个是女孩的概率？例１：一家有二个小孩，已知此家有一个女孩，问另一个是女孩的概率？

  34. 乘法公式

  35. 全概率公式

  36. 一商店出售的某型号的晶体管是甲、乙、丙三家工厂生产的，其中乙厂产品占总数的５０％，另两家工厂的产品各占２５％。已知甲、乙、丙各厂产品合格率分别为0.9、0.8、0.7，试求此批货的合格率。一商店出售的某型号的晶体管是甲、乙、丙三家工厂生产的，其中乙厂产品占总数的５０％，另两家工厂的产品各占２５％。已知甲、乙、丙各厂产品合格率分别为0.9、0.8、0.7，试求此批货的合格率。

  37. 贝叶斯公式

  38. 两台机床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.05，第二台出现废品的概率为0.02，加工的零件混放在一起，若第一台车床与第二台车床加工的零件数为5:4。两台机床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.05，第二台出现废品的概率为0.02，加工的零件混放在一起，若第一台车床与第二台车床加工的零件数为5:4。 求 （１）任意地从这些零件中取出一个合格品的概率； （２）若已知取出的一个零件为合格品，那么，它是由哪一台机床生产的可能性较大。

  39. 事件的独立性 • 两个事件的独立性 • 多个事件的独立性 • n重贝努利试验

  40. 两个事件的独立性

  41. 多个事件的独立性 定理 设n个事件相互独立，那么，把其中任意m个事件相应换成它们的对立事件，则所得的n个事件仍然是相互独立的。

  42. 例题1 甲、乙同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5，求敌机被击中的概率。

  43. 例题２ 设某型号的高射炮发射一发炮弹击中飞机的概率为0.6,现在用此型号的炮若干门同时各发射一发炮弹，问至少需要设置几门高射炮才能以不小于0.99的概率击中来犯的敌机（各门高射炮的射击相互独立）？

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