Økonometri 1

1. Økonometri1 Inferens i den lineære regressionsmodel 1. oktober 2004 Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel

2. Dagens program • Resultater om OLS med endeligt antal observationer (kap. 4): • Normalitetsantagelse (MLR.6). • Test af en enkelt lineær restriktion på koefficienter i lineær regressionsmodel. • Asymptotiske resultater for OLS: (kap. 5). • Konsistens • Asymptotisk normalitet og efficiens • Eksempel: Monte Carlo eksperiment med uniformt fordelte fejlled (asynorm_uni.sas). • Test af flere lineære restriktioner (kap. 4.5 og 5.2). Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel

3. Generel lineær restriktion • Nulhypotese på linearkombination af koefficienter: • Involverer flere koefficienter, men stadig kun en restriktion (et lighedstegn). • Ex. Produktionsfunktion af Cobb-Douglas typen med arbejdskraft (L), kapital (K) og uobserverbare faktorer (U): I log-transformerede størrelser: Test antagelse om konstant skalaafkast: Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel

4. Generel lineær restriktion (fortsat) • Hypotesen er af formen: ”Linearkombination af koefficienterne er lig med konstant”. • Estimere , men hvad med ? • Omparameterisere modellen: • OLS af • I reparameterisering er hypotesen direkte en restriktion på koefficienten til : Kald den fx • Test restriktionen vha. t-stat. på • Hvis CLM opfyldt så eksakt t-fordelt. Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel

5. Eksakte versus asymptotiske egenskaber • Under antagelserne MLR.1-4 er OLS en middelret estimator. • Ved uafhængige trækninger af datasæt af n observationer vil OLS–estimatoren i gennemsnit ramme den sande parameterværdi, . • Gælder for enhver størrelse n af datasættet • Under CLM-antagelserne MLR.1-6 kender vi hele fordelingen eksakt: • t-test følger t-fordelingen • For enhver størrelse n af datasættet • MLR.6: Normalitet er restriktivt. • Nu: Se på egenskaber for OLS når vi lader Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel

6. Konsistens: Generelt • Wooldridge appendix C.3 definerer konsistens af en estimator, jf TSØ kap. 8. • Estimatoren konvergerer i sandsynlighed mod den sande værdi: • Egenskab for estimatoren når antallet af observationer øges mod uendeligt. • Minimalkrav til en ”fornuftig” estimator. Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel

7. Konsistens: Generelt (fortsat) • Store tals lov: i.i.d. følge med middelværdi . Så gælder • Anvendes på en lang række størrelser beregnet ud fra data: Gennemsnit, varianser, kovarianser mv. • Egenskaber ved plim: Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel

8. Konsistens: Generelt (fortsat) • Middelret estimator er ikke nødvendigvis konsistent: Præcisionen bliver ikke nødvendigvis bedre når • Men: Hvis variansen af en middelret estimator går mod nul i sandsynlighed når , så gælder at • Ex. Estimation af middelværdi af i.i.d. følge med middelværdi og konstant varians : • Gennemsnittet af n observationer: • Gennemsnit af første og n’te observation: Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel

9. Konsistens: OLS • Teorem 5.1: Konsistens af OLS estimatoren: Under antagelserne: • MLR.1: Lineær model: • MLR.2: Tilfældigt udvalg af • MLR.3: Betinget middelværdi nul: • MLR.4: Ingen perfekt multikollinearitet: er non-singulær. Så er OLS-estimatoren konsistent for • Bevis: Tavlegennemgang. • Konsistens kan vises under svagere betingelse end MLR.3: Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel

10. Konsistens: OLS • Hvis fejlleddet er korreleret med en eller flere regressorer vil OLS være inkonsistent: • Inkonsistensen (den ”asymptotiske bias”) i den simple lineære regressionsmodel er givet ved • Per konstruktion forsvinder problemet ikke ved at få flere data fra samme population. • Vil se på metoder til at håndtere inkonsistens i kap. 15. Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel

11. Asymptotisk normalfordeling for OLS: Generelt • Konsistens af OLS i store datasæt under MLR.1-4: Minimumskrav opfyldt. • Inferens: Vi behøver mere end det. Antager nu: • MLR.5: Homoskedasticitet: • Men ikke MLR.6: Normalitet af ui • Normalfordelte fejlled er alt for stærk antagelse i en række realistiske problemstillinger: • Diskrete fordelinger: Heltallige udfald, fx antal medlemmer af en bestyrelse. • Skæve fordelinger: Asymmetriske aktieafkast. • Fordelinger med ”tunge” haler: Aktieafkast (outliers). Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel

12. Asymptotisk normalfordeling for OLS: Generelt • Teorem 5.2: Asymptotisk normalfordeling af OLS estimatoren • Antag: Gauss-Markov antagelserne MLR.1-5. Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel

13. Asymptotisk normalfordeling for OLS: I praksis • Standardiserede OLS estimater er asymptotisk standardnormalfordelt: • Hvad er ”asymptotisk”? • Afhænger bl.a. af, hvor meget u’sfordeling afviger fra normalfordelingen: Ikke hårde regler. • N(0,1) >< tn-k-1: Ikke vigtigt (for rimeligt store n og moderate værdier af k). Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel

14. Asymptotisk normalfordeling for OLS: Monte Carlo experiment • Lad os designe et lille eksperiment, hvor MLR.1-5 er overholdt (faktisk er u uafhængige af x her): Lineær model, ingen eksakt multikollinearitet, u har middelværdi nul og konstant varians. • Men u trækkes fra en uniform (eller lige) fordeling: • Kontinuert fordeling fx på intervallet [-1,1]. • Konstant tæthed f(u)=0.5 over intervallet. • Udfaldsrummet begrænset >< normalfordeling. • Resultat af eksperimentet for forskellige n: SAS Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel

15. Asymptotisk normalfordeling for OLS: Standardfejl • OLS standardfejlen: Asymptotik: • Komponenter i formlen: • Betyder at går mod nul som 1/n, standardfejlen går mod nul som Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel

16. Asymptotisk efficiens af OLS estimatoren • Under Gauss-Markov antagelserne er OLS asymptotisk efficient. • Teorem 5.3: Under Gauss-Markov antagelserne har OLS den mindste asymptotiske varians blandt estimatorer, der løser ligningerne • OLS: Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel

17. Oversigt over OLS estimatorens egenskaber Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel

18. Flere lineære restriktioner • Et fælles test af flere lineære restriktioner: F-testet. • Model med tre forklarende variabler: • Ex. på nulhypoteser • Generelt format: • q lineære restriktioner på koefficienterne i den lineære model. Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel

19. Flere lineære restriktioner (fortsat) • Alternativhypotesen: • Afvis nulhypotese blot én af q restriktioner ikke holder. • Restrikteret (r) vs. urestrikteret model (ur): • Ex.: Restrikterede modeller: • Lineære restriktioner: Restrikteret model er lineær i parametrene: Estimeres ved OLS. Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel

20. Flere lineære restriktioner (fortsat) • Test af flere lineære restriktioner: F-testet. • Tæller altid større end eller lig nul: Restrikteret model kan ikke tilpasse data bedre end urestrikteret model. • Antal frihedsgrader i tæller: Antal restriktioner, q • Antal frihedsgrader i nævner: n- antal regressorer i urestrikteret model. • Helt generelt format for F-testet. Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel

21. Flere lineære restriktioner (fortsat) • Wooldridge omtaler også ”R-squared” form af testet: Bør kun benyttes med stor varsomhed! • OK så længe restrikteret model har samme venstreside som urestrikteret model. • Mod-ex.: C-D produktionsfunktion med CRS. Omskriv: • Indsæt restriktionen: • Bemærk: Ny venstreside. Brug det generelle format for F-testet. Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel

22. Flere lineære restriktioner: Eksakt inferens • Under CLM antagelser følger F-testet en eksakt F-fordeling: • Fordeling findes i Tabel G.3. • For en restriktion og to-sidet alternativ: Ækvivalent med t-test: • Men F-test af fælles hypotese på flere koefficienter kan godt give andet resultat end individuelle t-test. • Ex.: Fra Ugeseddel 3: Engelkurven. Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel