Συμμετρίες και νόμοι διατήρησης

1. Συμμετρίες • και νόμοι διατήρησης

2. μετασχηματισμός «κατοπτρισμού» Συμμετρία και Μετασχηματισμοί (Ι) Οι δύο καταστάσεις του ιονισμένου μορίου του υδρογόνου Ας προσδιορίσουμε τα στοιχεία πίνακα του τελεστή «κατοπτρισμού» (στις καταστάσεις βάσης |1> και |2>, αναπαράσταση )

3. Συμμετρία και Μετασχηματισμοί (ΙΙ) Έστω ότι την χρονική στιγμή t=0, το σύστημα του μορίου του ιονισμένου υδρογόνου βρισκόταν στην κατάσταση |1>. Αργότερα, την χρονική στιγμή t=15s, η κατάσταση του συστήματος θα περιγράφεται από το διάνυσμα κατάστασης U(t=15s,t=0)|1>. Επί παραδείγματι: Αντίστροφα, εάν το σύστημα βρίσκεται την χρονική στιγμή t=0 στην κατάσταση |2> και η φύση «σέβεται» την συμμετρία κατοπτρισμού, τότε: Η διατήρηση της συμμετρίας σε μετέπειτα χρόνους γενικεύεται σ΄ όλες τις περιπτώσεις που η «φυσική» του συστήματος μένει αναλλοίωτη σε μετασχηματισμούς όπως, στροφές γύρω από άξονα, μεταφορά στη θέση, κατοπτρισμούς, αμοιβαία μετάθεση των συστατικών του συστήματος (μποζόνια) κτλ

4. Το αρχικό σύστημα εξελίσσεται συναρτήσει του χρόνου, ως: Αλλά και μετά τον μετασχηματισμό Q, το σύστημα εξελίσσεται συναρτήσει του χρόνου, ως: Εάν η «φυσική» του συστήματος παραμένει αναλλοίωτη κατά τον μετασχηματισμό Q, θα μπορούσαμε να καταλήγαμε στην κατάσταση |ψ’2> αφήνοντας το σύστημα να εξελιχθεί χρονικά από την κατάσταση |ψ1> στην κατάσταση |ψ2> και μετά να εφαρμόσουμε τον μετασχηματισμό Q: Συμμετρία και Μετασχηματισμοί (ΙΙΙ) Έστω ο τελεστής Q ο οποίος αλλάζει την κατάσταση του συστήματος από |ψ> σε |ψ’>. Συγκεκριμένα, έστω ότι την χρονική στιγμή t=0, Ο μετασχηματισμός που εκφράζεται από τον τελεστή Q αντιστοιχεί σε συμμετρία του συστήματος εάν: «δεν έχει σημασία πότε» θα εφαρμόσουμε αυτόν τον μετασχηματισμό Οι τελεστές αντιμετατίθενται

5. «αναλλοίωτο» σημαίνει ότι οι πιθανότητες παραμένουν οι ίδιες. Επί παραδείγματι στο σύστημα του ιονισμένου μορίου του υδρογόνου ισχύει ότι την χρονική στιγμή t=0: Συμμετρίες και Νόμοι Διατήρησης Ένας μετασχηματισμός αφήνει αναλλοίωτο ένα σύστημα: Εάν ο μετασχηματισμός Q, κάποια χρονική στιγμή, αφήνει αναλλοίωτη τη «φυσική» του συστήματος τότε το σύστημα θα διατηρεί αυτή την ιδιότητα για πάντα (απλώς άλλαξε τη φάση)

6. Όταν ένα σύστημα είναι αναλλοίωτο σε μετασχηματισμούς αντιστροφής ευρίσκεται σε καθορισμένη κατάσταση ομοτιμίας. Άρτιας ομοτιμίας όπως η στάσιμη κατάσταση |Ι> ( ) ή περιττής ομοτιμίας όπως η άλλη στάσιμη κατάσταση (|ΙΙ>) του ιονισμένου μορίου του υδρογόνου, Ιδιοτιμές του Τελεστή Αντιστροφής- Ομοτιμία Ας γενικεύσουμε τον μετασχηματισμό κατοπτρισμού σε μετασχηματισμό αντιστροφής Εάν το σύστημα είναι αναλλοίωτο σε μετασχηματισμούς αντιστροφής: Ας αντιστρέψουμε ακόμα μία φορά το σύστημα: δύο αντιστροφές μας φέρνουν στην αρχική θέση Προφανώς η δεύτερη αντιστροφή μας έφερε στην αρχική κατάσταση εάν…

7. Οι καταστάσεις πόλωσης του φωτονίου • Πολωμένο φώς • Γραμμικά και κυκλικά πολωμένο φως • Καταστάσεις βάσης – καταστάσεις πόλωσης

8. Ε Υ W Β Ε Ε Χ y y x x Πόλωση του Φωτός Γραμμικά Πολωμένο Φως Yπόλωση Xπόλωση Γραμμική πόλωση στη διεύθυνση W(η Χ και η Υ συνιστώσα του Ε έχουν μηδενική διαφορά φάσης) Κυκλική πόλωση: Οι συνιστώσες του Ε στον Χ και Υ άξονα έχουν ίδιο πλάτος και διαφορά φάσης 90ο Ελλειπτική πόλωση: Οι συνιστώσες του Ε στον Χ και Υ άξονα έχουν διαφορά φάσης φο

9. Πόλωση ενός Φωτονίου ΔέσμηΓραμμικά Πολωμένου Φωτός στη διεύθυνση Υ Χ Υ Φωτόνια στην κατάσταση πόλωσης ΔέσμηΓραμμικά Πολωμένου Φωτός στη διεύθυνση Χ Φωτόνια στην κατάσταση πόλωσης

10. Ε=Εοcosθ Εο Νόμος του Malus: Ι=Ιοcos2θ Αλλαγή Διεύθυνσης Πόλωσης Διεύθυνση Πόλωσης Χ’ Διεύθυνση Πόλωσης

11. RCL και LCL διανύσματα βάσης - +

12. Πολωμένο Φώς • και Στροφορμή

13. Έστω ένα φυσικό σύστημα με διάνυσμα κατάστασης ,του οποίου η «φυσική» παραμένει αναλλοίωτη σε στροφές γύρω από τον άξονα z Για οποιανδήποτε γωνία φ θα ισχύει ότι: Μετασχηματισμοί και Νόμοι Διατήρησης (Ι) z φ Ας επαναλάβουμε την στροφή για ακόμα μία φορά Το ίδιο αποτέλεσμα πρέπει να έχουμε ένα εξ αρχής επιχειρούσαμε στροφή κατά 2φ Επειδή η φυσική του συστήματος παραμένει αναλλοίωτη σ΄ αυτές τις στροφές: Ο παράγων m είναι χαρακτηριστικό μέγεθος του συστήματος που παραμένει ανεξάρτητο του χρόνου. Αποτελεί σταθερά του φυσικού συστήματος. Εν προκειμένω, αφορά στην διατήρηση της στροφορμής κατά τον άξονα περιστροφής Ζ

14. φ z y’ χ’ y χ Το RHC πολωμένο φωτόνιο μεταφέρει στροφορμή, παράλληλη στον άξονα z Αντίστοιχα, η στροφή ενός LHC φωτονίου καταλήγει: Το LHC πολωμένο φωτόνιο μεταφέρει στροφορμή, αντιπαράλληλη στον άξονα z Πολωμένο Φως Όταν το RHC φως ειδωθεί από νέο σύστημα συντεταγμένων, στραμμένο κατά γωνία φ, γύρω από τον άξονα z (άξονα πόλωσης του spin του φωτονίου) τότε: Η στροφή του συστήματος συντεταγμένων κατά γωνία φ γύρω από τον άξονα διάδοσης z αφήνει το φωτόνιο το ίδιο (αναλλοίωτη πόλωση RHC, αναλλοίωτη ενέργεια κ.τ.λ.) προσθέτοντας μόνο μία φάση mφ=1φ Μία δέσμη Ν φωτονίων κυκλ. συχνότητας ω μεταφέρει ενέργεια: και στροφορμή:

15. Υ Χ Οι δύο συνιστώσες του ηλεκτρικού πεδίου μεταβάλλονται χρονικά με σταθερή διαφορά φάσης 90ο Η κλασική εικόνα της πόλωσης y Δεξιόστροφα κυκλικά πολωμένο φως προσπίπτει σε πέτασμα Εyσυνιστώσα x Εχσυνιστώσα z Τα ελεύθερα ηλεκτρόνια του πετάσματος εκτελούν αρμονική ταλάντωση σε δύο διευθύνσεις υπό την επίδραση του ηλεκτρικού πεδίου

16. Υ Z συνιστώσα της ροπής δύναμης ως προς κέντρο Χ Η κλασική εικόνα της πόλωσης y Δεξιόστροφα κυκλικά πολωμένο φως προσπίπτει σε πέτασμα Εyσυνιστώσα x Εχσυνιστώσα z σε συμφωνία με την κβαντομηχανική πρόβλεψη

17. Πόλωση-Παρατηρήσεις • Δέσμη LHC πολωμένου φωτός μεταφέρει την ίδια στροφορμή αλλά με το διάντσμα προσανατολισμένο αντιπαράλληλα του άξονα πρόσπτωσης της δέσμης • Το γραμμικά πολωμένο φώς δεν βρίσκεται σε κατάσταση καθορισμένης πόλωσης. Εάν φωτόνιο έχει 50% πιθανότητα να έχει RHC και 50% LHC πόλωση. • Συνεπώς, σε ένα πείραμα που μετρούμε την στροφορμή δέσμης φωτός θακαταλήξουμε ότι η συνισταμένη μεταφερόμενη στροφορμή από τη δέσμη είναι μηδέν • Για να ορίσουμε πλήρως την κατάσταση στροφορμής (πόλωση) ενός συστήματος, με μάζα ηρεμίας Μ και με στροφορμήJ=1, ως προς οποιονδήποτε άξονα z, χρειαζόμαστε τον κβαντικό αριθμό m να παίρνει μία από τις τιμές +1, 0, -1. Στην περίπτωση των φωτονίων, επειδή δεν υπάρχει σύστημα αναφοράς στο οποίο να ευρίσκονται ακίνητα, δεν «χρειάζεται» η κατάσταση m=0. Μόνο η διεύθυνση κίνησης μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως άξονας πόλωσης, και σ΄αυτόν τον άξονα το φωτόνιο έχει δύο καταστάσεις πόλωσης.

18. Πολωμένο Φώς • και Ομοτιμία

19. = =

20. Η μία κατάσταση προκείπτει από τον μετασχηματισμό αντιστροφής της άλλης Η εξαΰλωση του positronium (ΙIΙ) • Το positronium έχει περιττή (αρνητική) ομοτιμία. • Η Ηλεκτρομαγνητική αλληλεπίδραση διατηρεί την ομοτιμία • Ποια είναι η τελική κατάσταση διάσπασης του positronium j=0 Η τελική κατάσταση (|F>) περιέχει 50% RHC καταστάσεις και 50% LHC καταστάσεις ζευγών φωτονίων

21. Η εξαΰλωση του positronium (ΙIΙ) Η τελική κατάσταση (|F>) περιέχει 50% RHC καταστάσεις και 50% LHC καταστάσεις ζευγών φωτονίων • Κάθε ζεύγος φωτονίων βρίσκεται και στις δύο καταστάσεις, δηλαδή στην κατάσταση |F>. • Σ΄ ένα πείραμα υπάρχει 50% πιθανότητα να ανιχνευθούν και στους δύο ανιχνευτές RHC φωτόνια και 50% πιθανότητα να ανιχνευτούν LHC φωτόνια

22. = = Ν Ομοίως, βρίσκουμε ότι: Η εξαΰλωση του positronium (ΙV) Η τελική κατάσταση (|F>) περιέχει 50% RHC καταστάσεις και 50% LHC καταστάσεις ζευγών φωτονίων Ας υπολογίσουμε το πλάτος πιθανότητας y1 y2 χ1 Οι ανιχνευτές ανιχνεύουν ταυτόχρονα τα θυγατρικά φωτόνια εάν και μόνο εάν τα πολωσίμετρα τους είναι τοποθετημένα κάθετα μεταξύ τους. χ2