Обработка и представление результатов измерений

1. Обработка и представление результатов измерений

2. Оценка случайной погрешности измерений • Полученные при непосредственном измерении величины неизбежно содержат ошибки. • Величина ошибка складывается из систематической и случайной погрешностей. • Повторяемость или воспроизводимость результатов измерений зависит от случайной ошибки. Чем больше случайная ошибка, тем больше разброс значений эксперимента около среднего значения. • Систематическая погрешность отвечает за правильность измерения. Если присутствует систематическая погрешность, то это говорит об отклонении измерения от истинного значения.

3. Случайное событие – возможный исход эксперимента. • Каждое случайное явление характеризуется какой-то степенью возможности, большей или меньшей. Эту возможность принято оценивать количественно некоторым числом называемым вероятностью события. • Вероятность достоверного события равна единице, мене достоверного - доли единицы, не достоверного - нулю.

4. Пример

5. Построим частоту появления каждой концентрации Al в лабораториях

6. Наиболее общий способ задать вероятности тех или иных значений случайной величины любой природы состоит в использовании функций распределения. • Они могут быть представлены в графической форме или в виде явной функциональной зависимости, где аргументом всегда является значение или набор значений случайной величины, а функция– вероятность этих значений или производная от нее. • Существует два типа распределения: интегральное и дифференциальное. Рассмотрим дифференциальный тип распределения.

8. Виды функций распределения • 1. Нормальный закон распределения Гаусса

9. Характер кривой полностью определяется двумя параметрами  и . • Математическое ожидание  случайной величины x определяет центр рассеивания • Дисперсия  - меру рассеивания величины xотносительно центра

11. Графический вид нормализованного распределения Гаусса

12. График показывает, что • в области –σ < x < σ на графике сосредоточено 68% площади распределения, • в области –2σ < x < 2σ на графике сосредоточено 95.4% площади распределения, • в области –3σ < x < 3σ на графике сосредоточено 99.7% площади распределения («правило трех сигм»). • Правило трех сигм: Нормально распределенная случайная величина практически никогда не отклоняется от своего значения более чем на 3σ.

13. Пример • По нормальному распределению распределен рост людей, находящихся одновременно в большой аудитории. А именно: достаточно мало людей очень большого роста, и столь же мала вероятность встретить людей очень малого роста. В основном, легче встретить людей среднего роста – и вероятность этого велика.

14. Например, средний рост людей составляет, в основном, 170 см, то есть m = 170. Известно также, что σ = 20. • Из графика нормального распределения следует, что • доля людей с ростом от 150 до 190 (170 – 20 < 170 < 170 + 20) составляет в обществе 68%. • доля людей от 130 см до 210 см (170 – 2 · 20 < 170 < 170 + 2 · 20) составляет в обществе 95.4%. • доля людей от 110 см до 230 (170 – 3 · 20 < 170 < 170 + 3 · 20) составляет в обществе 99.7%. • Например, вероятность того, что человек окажется ростом меньше 110 см или больше 230 см составляет всего 3 человека на 1000.

15. 2. Распределение Стьюдента • Распределение случайной величины аналогичной распределению u, в которой вместо генерального стандартного отклонения используется выборочное стандартное отклонение среднего значения называется распределением Стьюдента. • Вид t-статистики

16. Функция распределения Стьюдента зависит только от числа степеней свободы f=n–1 соответствующего стандартного отклонения. Чем меньше f, тем более пологий ход имеет кривая.

17. Характеристики случайной величины • Генеральная совокупность состоит из всех мыслимых в данных условиях измерениях. • Выборочная совокупность (выборка) включает небольшое число измерений. • В соответствии с этими понятиями различают генеральные и выборочные характеристики случайной величины. При этом выборочная рассматривается как оценка генеральных характеристик.

18. Важнейшими из этих параметров являются математическое ожидание и дисперсия. Математическое ожидание характеризует центр рассеяния, а дисперсия - меру рассеяния.

23. Таким образом, учет действия случайных факторов на измеряемую величину складывается из двух задач • 1. Нахождение по данным измерений оценки генерального среднего. • 2. Определение степени близости выборочного среднего к генеральному среднему, т.е. оценка случайной погрешности измерения • Степень близости выборочного среднего к генеральному среднему оценивают величиной интервала, центром которого является среднее значение. Такой интервал называется доверительным, а вероятность попадания в него величины доверительной вероятностью.

24. Определение величины интервала, в котором может находится случайная величина

25. С помощью функции распределения можно рассчитать вероятность попадания случайной величины в заданный интервал возможных значений:

26. Оценка доверительного интервала с помощью распределения Стьюдента