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第三章 图形变换与输出

第三章 图形变换与输出. 3.1 图形的几何变换. 3.2 坐标系统及其变换. 3.3 图元输出与输出属性. 3.1 图形的几何变换. 基本的几何变换研究物体坐标在直角坐标系内的平移、 旋转和变比的规律。. 主要介绍 二维图形几何变换 三维图形几何变换 参数图形几何变换. ( x’ , y’ ). x. (T x ,T y ). ( x , y ). 3.1 图形的几何变换. 3.1.1 二维图形几何变换. 一、基本变换 ⒈ 平移 (Translation). 将图形对象从一个位置 (x, y) 移

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第三章 图形变换与输出

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  1. 第三章 图形变换与输出 3.1 图形的几何变换 3.2 坐标系统及其变换 3.3 图元输出与输出属性

  2. 3.1 图形的几何变换 基本的几何变换研究物体坐标在直角坐标系内的平移、 旋转和变比的规律。 主要介绍 • 二维图形几何变换 • 三维图形几何变换 • 参数图形几何变换

  3. (x’, y’) x (Tx,Ty) (x, y) 3.1 图形的几何变换 3.1.1 二维图形几何变换 一、基本变换 ⒈平移(Translation) 将图形对象从一个位置(x, y)移 到另一个位置(x′，y′)的变换。 x = x+Ｔx y = y+Ｔy

  4. 3.1 图形的几何变换 3.1.1 二维图形几何变换(续) 一、基本变换 ⒉旋转(Rotation) y q 点(x, y)围绕原点逆时针转 动一个角度， (x’, y’) (x, y) x = x cos  y sin y = y cos + x sin f x

  5. (x’, y’) y q (x, y) (xr, yr) f x x = xr+(xxr)cos (yyr)sin y = yr+(yyr)cos +(xxr)sin 3.1 图形的几何变换 3.1.1 二维图形几何变换(续) 一、基本变换 ⒉旋转(Rotation) 将以某个参考点(xr, yr)为圆心， 将对象上的各点(x, y)围绕圆心转 动一个逆时针角度. x = x cos  y sin y = y cos + x sin newx = xxr newy = yyr newx = newx cos  newy sin newy = newy cos + newx sin x = newx + xr y = newy + yr

  6. 3.1 图形的几何变换 3.1.1 二维图形几何变换(续) y 一、基本变换 ⒊变比(Scaling) (x’, y’) 使对象按比例因子(Sx, Sy)放大或缩 小的变换 x = x · Sx y = y · Sy (x, y) (3.1) x 固定点变比(scaling relative to a fixed point)。以a为固定点 1((1)作平移Tx=xa，Ty=ya； 2((2)按式(3.1)作变比； 3((3)作1)的逆变换，即作平移Tx=xa，Ty=ya。

  7. 3.1 图形的几何变换 3.1.1 二维图形几何变换(续) 一、基本变换 ⒊变比(Scaling) 当比例因子Sx或Sy小于0时，对象不仅变化大小，而且分别按x轴或 y轴被反射

  8. 3.1 图形的几何变换 3.1.1 二维图形几何变换(续) 二、变换矩阵 ⒉ 平的矩阵运算表示为 (3.2) 简记为p=p·T(Tx, Ty)。其中，p=［xy 1］，p=［xy 1］。 表示平移矩阵。

  9. 3.1 图形的几何变换 3.1.1 二维图形几何变换(续) 二、变换矩阵 ⒉ 旋转的矩阵运算表示为 (3.2) 简记为p=pR()，其中R()表示旋转矩阵。

  10. 3.1 图形的几何变换 3.1.1 二维图形几何变换(续) 二、变换矩阵 ⒊ 变比的矩阵运算表示为 (3.3) 简记为p=pS(Sx, Sy)，其中(Sx, Sy)表示变化矩阵。

  11. y x o 3.1 图形的几何变换 3.1.1 二维图形几何变换(续) 三、级联变换(Composite Transformation) 　　对于复杂的图形变换，需要通过若干个变换矩阵的级联才能实 现。这里特别要注意的是矩阵级联的顺序，由于矩阵的乘法运算不 适用交换率，因此矩阵级联的顺序不同所得到的变换结果也不相同。 例如：对任意直线的对称变换（直线方程为 Ax + By + C = 0）

  12. 3.1 图形的几何变换 3.1.1 二维图形几何变换(续) 三、级联变换(Composite Transformation) y y x x x o o cosα－sinα 0 T2= sinα cosα 0 0 0 1 1 0 0 T1 = 0 1 0 C/A 0 1

  13. 3.1 图形的几何变换 3.1.1 二维图形几何变换(续) 三、级联变换(Composite Transformation) y y y x x x o o o 1 0 0 T3 = 0 -1 0 0 0 1 cosα sinα 0 T4 = －sinα cosα 0 0 0 1 1 0 0 T5= 0 1 0 －C/A 0 1

  14. 3.1 图形的几何变换 3.1.1 二维图形几何变换(续) 三、级联变换(Composite Transformation) 组合变换矩阵为： cos2α sin2α 0 T =T1×T2×T3×T4×T5= sin2α －cos2α 0 (cos2α-1)C/A sin2α*C/A 1 ［xy 1］= ［xy 1］T

  15. 3.1 图形的几何变换 3.1.1 二维图形几何变换(续) 四、二维几何变换的指令 ⒈建立变换矩阵的指令为 creat_transformation_matrix(xf, yf, Sx, Sy, xr, yr, , Tx, Ty, matrix)； ⒉积累变换的指令为 accumulate_transformation_matrix(matrix1, matrix2, matrix); ⒊坐标变换的指令为 set_segment_transformation(Id, matrix);

  16. 3.1 图形的几何变换 3.1.2 三维图形几何变换 (x’, y’, z’) ⒈旋转 (x, y, z) 1) 绕z轴旋转的公式为 x = xcos ysin  y = xsin +ycos  z = z 矩阵运算的表达式为  x z

  17. 3.1 图形的几何变换 3.1.2 三维图形几何变换(续) y ⒈旋转 (x, y, z) (x’, y’, z’) 2) 绕x轴旋转的公式为 x = x y = ycos zsin z = ysin +zcos 矩阵运算的表达式为  x z

  18. 3.1 图形的几何变换 3.1.2 三维图形几何变换(续) y ⒈旋转 (x’, y’, z’) (x, y, z)  3) 绕y轴旋转的公式为 x = zsin +xcos  y = y z = zcos xsin 矩阵运算的表达式为 x z

  19. 3.1 图形的几何变换 3.1.2 三维图形几何变换(续) ⒈旋转 4) 绕任意轴旋转 图3.6 绕任意轴P1P2旋转的前4个步骤

  20. 3.1 图形的几何变换 3.1.2 三维图形几何变换(续) ⒉变比 设Sx、Sy、Sz是物体在3个坐标轴方向的比例变化量，则有公式 x = xSx，y = ySy，z = zSz 矩阵运算的表达式为

  21. 3.1 图形的几何变换 3.1.3 参数图形几何变换(续) ⒈圆锥曲线的几何变换 圆锥曲线的二次方程是Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0，其相应的矩阵表达式是 简记为XSXT=0。 ⑴平移变换。若对圆锥曲线进行平移变换，平移矩阵是 Tr= 　　　　　， 则平移后的圆锥曲线矩阵方程是XTrSTrTXT=0。

  22. 3.1 图形的几何变换 3.1.3 参数图形几何变换(续) ⒈圆锥曲线的几何变换 ⑵旋转变换。若对圆锥曲线相对坐标原点作旋转变换，旋转变换 矩阵是 R=　　　　　　　， 则旋转后的圆锥曲线矩阵方程是XRSRTXT=0。 若对圆锥曲线相对(m, n)点作旋转角变换，则旋转后的圆锥曲线 是上述Tr、R变换的复合变换，变换后圆锥曲线的矩阵方程是 XTrRSRTTrTXT=0。 ⑶比例变换。若对圆锥曲线相对(m, n)点进行比例变换，比例变 换矩阵为 ST=　　　　　　　， 则变换后圆锥曲线的矩阵方程是XTrSTSSTTTrTXT=0。

  23. 3.1 图形的几何变换 3.1.3 参数图形几何变换(续) ⒉参数曲线、曲面的几何变换 若指定一个平移矢量t，对曲线平移t，即对曲线上的每一点P都 平移t。对平移后的点P*有 P* = P+t 对于参数曲线和曲面的几何系数矩阵B和代数系数矩阵A，可以直 接实现平移变换，即有 B* = B+T，T= ［tt 0 0］T B*是经平移后参数曲线的几何系数矩阵，变换结果如图所示。

  24. 3.2 坐标系统及其变换 3.2.1 坐标系统 1. 世界坐标系(World Coordinates) 为了描述被处理的对象，要在对象所在 的空间中定义一个坐标系，这个坐标系的长 度单位和坐标轴的方向要适合对被处理对象 的描述，这个坐标系通常就称之为世界坐标 系或用户坐标系。世界坐标系一般采用右手 三维笛卡儿坐标系。 z o y x

  25. 3.2 坐标系统及其变换 3.2.1 坐标系统（续） 2. 观察坐标系(View Coordinates) 产生三维物体的视图，必须规定观 察点(视点)和观察方向。 好比照相时选择拍摄的位置和方向。 左手笛卡儿坐标系(上图)：观察坐标 系的原点通常设置在观察点(视点)，Z轴作 为观察方向。 右手笛卡儿坐标系：视点确定在Z轴 上的某一个位置，Z轴仍为观察方向(下图)。 y z x o 视点 y x o z 视点

  26. 3.2 坐标系统及其变换 3.2.1 坐标系统（续） 3. 设备坐标系(Device Coordinates) 　 与图形设备相关连的坐标系叫设备坐标系。 例如，显示器以分辨率确定坐标单位，原点在左下角或左上角； 绘图机绘图平面以绘图精度确定坐标单位，原点一般在左下角。 4. 规格化设备坐标系(Normal Device Coordinates) 为了使图形处理过程做到与设备无关，通常采用一种虚拟设备 的方法来处理，也就是图形处理的结果是按照一种虚拟设备的坐 标规定耒输出的。这种设备坐标规定为0≤X≤1，0≤Y≤1，这种 坐标系称之为规格化设备坐标系。

  27. 3.1 图形的几何变换 3.2.2 规格化变换与设备坐标变换 ⒈规格化变换 从窗口到视区的变换，称为规格化变换(Normalization Transformation)。 y y V(视图区) W(窗口) vyT wyT (wx,wy) (vx,vy) vyB wyB x x o o wxL wxR vxL vxR

  28. 3.1 图形的几何变换 3.2.2 规格化变换与设备坐标变换(续) ⒈规格化变换 = vx – vxL wx – wxL 由两图的比例关系： vxR – vxL wxR – wxL vy – vyB wy – wyB vyT–vyB wyT –wyB 可得： vxR – vxL wxR – wxL vyT –vyB wyT –wyB = vx = • ( wx – wxL ) + vxL • ( wy – wyB ) + vyB vy =

  29. 3.1 图形的几何变换 3.2.2 规格化变换与设备坐标变换(续) ⒉窗口操作 ⑴视野的变化(zooming)。 ⑵摇镜头(panning)。 ⑶多重窗口(multiple window)。

  30. 3.1 图形的几何变换 3.2.2 规格化变换与设备坐标变换(续) ⒊从规格化坐标(NDC)到设备坐标(DC)的变换 ⑴通常采用的公式 xDC＝Sx·xNDC＋dx，yDC＝Sy·yNDC＋dy ⑵方向的考虑 ⑶对设备坐标中像素中心的变换

  31. 3.1 图形的几何变换 3.2.3 投影变换 投影(project)是一种使三维对象映射为二维对象的变换。它可描述为 project(object(x, y, z))→object(x, y, z) 投影的要素除投影对象、投影面外，还有投影线。 按照投影线角度的不同，有两种基本投影方法： ⑴平行投影(parallel projection)。 　它使用一组平行投影将三维对象投影到投影平面上去。 　⑵透视投影(perspective projection)。它使用一组由投影中心 产生的放射投影线，将三维对象投影到投影平面上去。

  32. 3.1 图形的几何变换 3.2.3 投影变换(续) 1 平行投影-正交平行投影(orthographic P. P.) 　正投影的投影面与某一坐标轴垂直，而投影方向与该坐标轴的方向一致。 正投影的图形，在长宽高三个方向上的比例与实物保持一 致，因此，常用于工程制图。 z 主视图 侧视图 y 俯视图 x

  33. 3.1 图形的几何变换 3.2.3 投影变换(续) 2 平行投影-斜交平行投影(oblique P. P.) 投影线与投影平面成交角 正投影与斜投影

  34. 3.1 图形的几何变换 3.2.3 投影变换(续) 3 透视投影变换 • 投影中心与投影平面之间的距离为有限 • 参数：投影方向 • 例子：室内白炽灯的投影，视觉系统 • 灭点：不平行于投影平面的平行线，经过透视投影之后收敛于一点，称为灭点. • 主灭点:平行于坐标轴的平行线的灭点。 • 一点透视 • 两点透视 • 三点透视 • 特点：产生近大远小的视觉效果，由它产生的图形深度感强，看起来更加真实。

  35. 3.1 图形的几何变换 3.2.3 投影变换(续) 3 透视投影变换

  36. 3.1 图形的几何变换 3.2.3 投影变换(续) 3 透视投影变换 设投影中心在坐标原点，投影面与 Z 轴垂直，在 z = d 的 位置。点 P( x, y, z )在投影面上的投影为 P' ( xp, yp, d )。 xp x yp y d z d z x z y z y ∵ = = , o P' P(x,y,z) xp = ·d x d z ∴ yp = ·d y d P z o P' P' P z o

  37. 3.3 图元输出与输出属性 3.3.1 二维图元输出 用户定义的二维图元的窗口区到视图区的输出过程如下所示： 应用程序得到的坐标(UC)对窗口区进行裁剪(WC) 窗口区到视图区的规格化变换(NDC) 视图区的规格化坐标系到设备坐标系的变换(DC) 调用基本图元生成算法在图形设备上输出图形

  38. 3.3 图元输出与输出属性 3.3.2 输出属性及其控制 ⒈图元的输出属性 ⒉属性的组合控制

  39. 3.3 图元输出与输出属性 3.3.3 三维图元的输出 ⒈定义一个视域坐标系统VCS，为此需指定如下数据： ⑴VCS坐标原点，也称View reference point。 ⑵VCS的z轴方向，也称view plane normal。 ⑶VCS的y轴方向，又称view up vector。

  40. z y WCS y z x x VCS o ⒉将投影物体从世界坐标变换为视域坐标。

  41. ⒊选择平行投影或透视投影进行投影变换。使得VCS的三维对象变为VCS中在yOx平面中的二维对象。⒊选择平行投影或透视投影进行投影变换。使得VCS的三维对象变为VCS中在yOx平面中的二维对象。 ⒋在VCS的yOx平面中取一个窗口，并定义相应的视区，进行标准化变换。

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