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第八章 分离变数法（傅立叶级数法）. §8 、 1 齐次 方程的分离变数解法. 叠加原理. L 称为算符. 非齐次方程 L[u]=f(x,y,z,t). 齐次方程 L[u]=0. 2 线性定解问题满足叠加原理（性质）. 则其组合. L[u 1 ]=f. u 2 是齐次方程的解 L[u 2 ]=0. （ 3 ）、若 L[u 1 ]=f 1 L[u 2 ]=f 2. 对性质（ 3 ），边界条件、初始条件常常用到。. 二 分离变数解齐次偏微分方程的基本思路：. 弦振动问题的求解. 2 分离变量：.
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第八章 分离变数法（傅立叶级数法） §8、1齐次方程的分离变数解法 • 叠加原理 L称为算符 非齐次方程 L[u]=f(x,y,z,t) 齐次方程L[u]=0
2 线性定解问题满足叠加原理（性质） 则其组合 L[u1]=f u2是齐次方程的解 L[u2]=0
（3）、若L[u1]=f1 L[u2]=f2 对性质（3），边界条件、初始条件常常用到。 二 分离变数解齐次偏微分方程的基本思路： • 弦振动问题的求解
2分离变量： 解的形式为u(x,t)=X(x)T(t) 带入方程中， 两个常微分方程：
带入边界条件： X(0)T(t)=0, X(l)T(t)=0 3 本征值问题： 本征值方程 （含有边界条件的常微分方程）
当x=0，L时 X=0,L时
x=0,L时 则有 则必有
本征值 本征值函数 n=1,2,3…… 所以 本征值问题：
n=1,2,3…… 所以 又因为 则 所以有特解：
一般解： 4 广义傅立叶级数展开： 则有
把等式右端展为傅立叶级数，比较两边系数得：把等式右端展为傅立叶级数，比较两边系数得： 5 物理意义： （1）、u(x,t)=T(t)X(x)是形式解 un是驻波 波腹——振动总是最大点 波节——振幅总是为零点
（2）、u n(x,t) 特解称为本征振动模式它与初始条件无关。称固有振动模式
6 分离变量法概要： （1）、将齐次偏微分方程分为若干常微分方程 （2）、参数常微分方程与齐次边界条件构成本征值问题 （3）、将本征解叠加无穷级数，给出通解 （4）、有初始条件确定通解系数（傅立叶展开 ）
例2、研究细杆导热问题。初始时刻杆的一端温度为零，另一端温度为u0，例2、研究细杆导热问题。初始时刻杆的一端温度为零，另一端温度为u0， 杆上温度梯度均匀，零度的一端保持温度不变，另一端跟外界绝热， 试求杆上温度的变化。 边界条件： 初始条件：
(2) 分离变数： (3)、求解本征值问题：
X=0,L时 则有 则必有 （k=0,1,2……）
k=1,2,3… k=0,1,2,3 k=0,1,2,3 k=0,1,2,3…
§8、2 非齐次振动方程和输送方程 • 傅立叶级数法 基本思路： 定解问题： 0<x<l （1）、根据方程的线性，将解设为分离变量形式的解： (2)、根据边界条件，将X(x)形式写成满足边界条件的函数形式
二、应用举例： 例1 求解定解问题：（以一维弦振动为例）
（2）、考虑齐次方程和齐次边界条件下解的级数形式（2）、考虑齐次方程和齐次边界条件下解的级数形式 （3）、代入非齐次方程中，有： n=1
k 二阶常系数非齐次线性微分方程 二阶常系数非齐次线形微分方程的通解归结为求对应的齐次方程的通解 和非齐次方程本身的一个特解 则二阶常系数非齐次线形微分方程具有形如 的特解，其中 是与 同次（m次）的多项式， 而k按 不是特征方程的根，是特征方程的单根或是特征方程的重根 依次取为0，1或2。
（4）、将级数解u(x,t)代入初始条件 作傅立叶展开有：
t t
