320 likes | 609 Vues
RAČUNARSKA LOGIKA. Booleova ( logi čka , prekidačka ) algebra. George Boole (1815-1864). sin obućara prekinuo školovanje nakon trećeg razreda postao je briljantan naučnik - predavao latinski i grčki jezik
E N D
RAČUNARSKA LOGIKA Booleova (logička,prekidačka) algebra
George Boole (1815-1864). • sin obućara • prekinuo školovanje nakon trećeg razreda • postao je briljantan naučnik - predavao latinski i grčki jezik • poznati matematičar po doprinosima u oblasti diferencijalnih jednačina i u algebri • pokušao da izvede matematičku analizu mišljenja (logike) - uspostvio je "logičku algebru" 1854
Claude E. Shanon • 1938. god. u svojoj magistarskoj tezi na MIT-u (Massachusetts Institute of Technology - Boston), opisao metod za predstavljanje sklopova od (tada elektromehaničkih) prekidača, skupom matematičkih izraza na bazi Booleove algebre. • Ta metoda se i danas koristi za dizajn i analizu prekidačkih kola • prednosti matematskog opisivanja rada logičkih sklopova - lakše je projektovati pomoću algebarskih izraza koji opisuju prekidačka kola, nego pomoću šema ili logičkih dijagrama
Booleova algebra • Varijable mogu imati jednu od vrijednosti iz skupa {0,1} • skup operacija nad varijablama {+, , } • logičko sabiranje- X+Y=Z se može čitati "X ili Y jednako Z" ili "X plus Y jednako Z” • logičko množenje - XY=Z se može čitati • "X i Y jednako Z" ili "X puta Y jednako Z” • Invertovanje X=/Y “X jednako ne-Y”
ULAZ ULAZ IZLAZ IZLAZ X X Y Y Z Z 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 Logička kola
ULAZ IZLAZ X Z 0 1 1 0 NI kolo (invertor)
ULAZ IZLAZ X Y Z 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 NILI kolo
ULAZ IZLAZ X Y Z 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 NI kolo
ULAZ ULAZ IZLAZ IZLAZ X X Y Y Z Z 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 XOR/XNOR
X Y f0 f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8 f9 f10 f11 f12 f13 f14 f15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 Log. op. 0 XZ’ X X’Y Y + Y’ X’ 1 Sve logičke operacije!
Naziv pravila “I” forma “ILI” forma Zakon identiteta 1 X = X 0 + X = X Zakon nultog elementa 0 X = 0 1 + X = 1 Zakon idempotencije X X = X X + X = X Zakon inverzije X X’ = 0 X + X’ = 1 Zakon komutacije X Y = Y X X + Y = Y + X Zakon asocijacije (X Y) Z = X (Y Z) (X+Y)+Z = X+(Y+Z) Zakon distribucije X+YZ=(X+Y)(X+Z) X (Y+Z) = XZ + YZ Zakon apsorpcije X (X+Y) = X X + XY = X De Morganov zakon (XY)’ = X’ + Y’ (X+Y)’ = X’ Y’ Pravila Booleove algebre
Važi i ovo! X'' = X X + X'Y = X + Y na osnovu zakona distribucije I-forme za Z=X'
Što ne važi u klasičnoj algebri... (X + Y)(X + Z) = XX + XZ + XY + YZ = X(1 + Y) + XZ + YZ = X + XZ + YZ = X(1+ Z) + YZ = X + YZ
Pojednostavljivanje izraza (X + Y)(X + Y')(X' + Z) Prva dva umnoška se mogu pojednostaviti: (X + Y)(X + Y')= XX + XY' + XY + YY' = X + XY' + XY + 0 = X + 0 a zatim se čitav izraz pojednostavi X(X' + Z) = XZ
Drugi primjer XYZ + XY'Z + XYZ' = X(YZ+Y'Z+YZ')= X[Y(Z+Z’)+Y’Z]= X(Y + Y'Z) = X(Y + Z) = XY + XZ
De Morgan PomoćuDeMorganovihpravilamožesenaćikomplementbilokojegBooleovogizrazailinjegovogdijela (X+YZ)' = X' (YZ)' = X'(Y' + Z') (W'X+YZ')' = (W'X)'(YZ')' = (W + X')(Y' + Z) na osnovu X+XY = X može se tvrditi: X(X+Y) = X
IZVOĐENJE BOOLEOVIH JEDNAČINA • standardni logički proizvodi (engl. minterms)m0 , m1 itd. • standardne logičke sume (engl. maksterms). M0, M1 itd. • I i II kanonska forma funkcija
Prvo se mora znati • koja su moguća stanja na ulazima, i • željeni odziv na svako stanje na ulazu • Na osnovu tih podataka se formira tabela istine
ULAZ IZLAZ Standardni logički proizvodi X Y Z 0 0 1 X’Y’ 0 1 0 X’Y 1 0 1 XY’ 1 1 1 XY Primjer tabele istine
prva kanonska forma date funkcije X'Y' + XY' +XY = Z što se može pojednostaviti kako slijedi: X'Y' + XY' + XY = Z X'Y' + X(Y' + Y) = Z X'Y' + X = Z X + Y' = Z
ULAZI IZLAZ Standardni logički proizvodi X Y Z A 0 0 0 1 m0=X’Y’Z’ 0 0 1 0 m1=X’Y’Z 0 1 0 1 m2=X’YZ’ 0 1 1 0 m3=X’YZ 1 0 0 1 m4=XY’Z’ 1 0 1 0 m5=XY’Z 1 1 0 1 m6=ZYZ’ 1 1 1 0 m7=XYZ i sa 3 ulazne varijable
SUMA PROIZVODA I PROIZVOD SUME • logički proizvod (engl. product term) je varijabla ili logički proizvod više varijabli (koplementiranih ili ne) • Logička suma (engl. sum term) je varijabla ili logička suma više varijabli (koplementiranih ili ne)
Suma proizvoda - je logički proizvod ili više logičkih proizvoda, logički sabranih. X XY + Z X'Y' + X'Y'Z' X + Y
Proizvod suma - je logička suma, ili više njih međusobno logički pomnoženih. (X + Y)(X + Y')(X' + Y') (X + Y + Z)(X + Y')(X' + Y') (X' + Z) X' (X + Y)X
ULAZI IZLAZ Standardni logički proizvodi Standardne logičke sume X Y Z A 0 0 0 0 m0=X’Y’Z’ M0=X+Y+Z 0 0 1 0 m1=X’Y’Z M1=X+Y+Z’ 0 1 0 1 m2=X’YZ’ M2=X+Y’+Z 0 1 1 1 m3=X’YZ M3=X+Y’+Z’ 1 0 0 0 m4=XY’Z’ M4=X’+Y+Z 1 0 1 0 m5=XY’Z M5=X’+Y+Z’ 1 1 0 1 m6=XYZ’ M6=X’+Y’+Z 1 1 1 0 m7=XYZ M7=X’+Y’+Z’ pisanje izraza
Prva forma se može pojednostaviti ovako: X'YZ' + X'YZ + XYZ' = X'(YZ'+YZ)+XYZ' = ("ILI" forma zakona distribucije ) X'Y+XYZ' = ("ILI" forma zakona inverzije) Y(X'+XZ') = ("ILI" forma zakona distribucije ) X'Y+YZ' ("I" forma zakona distribucije) a druga ovako: (X+Y+Z)(X+Y+Z')(X'+Y+Z)(X'+Y+Z')(X'+Y'+Z') = (X+Y)(X'+Y)(X'+Z') = /* jer je (X+Y+Z)(X+Y+Z') =(X+Y) itd.*/ Y(X'+Z') što je isto!
I i II kanonska forma logičke jednačine izgledaju ovako: A = S(m0, m2 , m4 , m6 ) A = P(M1 , M3 , M5 , M7 ) Jednačina izlaza A je: A = X'Y'Z' + X'YZ' + XY'Z' + XYZ' a može biti pojednostavljena kako slijedi: A = X'(Y'Z' + YZ') + X(Y'Z' + YZ') = (X' + X)(Z'(Y + Y')) = Z'
Y 1 0 1 1 Konture X pa se sabiranjem jednačina te dvije konture dobije Z = X + Y'
Y 0 1 X 0 0 0 1 Z 0 1 pa je zbir te dvije konture A = X'Y + YZ'
Y m0 m1 X m2 m3 Y m0 m1 m3 m2 X m4 m5 m7 m6 Z Y m0 m1 m3 m2 m4 m5 m7 m6 W X m12 m13 m15 m14 m8 m9 m11 m10 Z KARNAUGHOVE MAPE