漫談質數

1. 漫談質數 梁子傑 香港青松中學

2. 甚麼是質數？ • 一個祇能被 1 與及本身整除並且大於 1 的整數。 • 質數又稱「素數」。 • 質數：2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , … • 合數（合成數）：4 , 6 , 8 , 9 , 10 , 12 … • 單位：1

3. 《幾何原本》 • 歐幾里得（Euclid of Alexandria; 約公元前 330  約公元前 275） • 歐幾里得的《幾何原本》是用公理方法建立演繹數學體系的最早典範。

4. 《幾何原本》的內容 • 第一卷　幾何基礎篇 • 第二卷　幾何代數 • 第三及第四卷　圓形及正多邊形 • 第五卷　比例論 • 第六卷　相似圖形 • 第七、八、九卷　數論 • 第十卷　不可公度量 • 第十一至第十三卷　立體幾何

5. 一個重要的命題 • 命題 IX.20　預先任意給定幾個質數，則有比它們更多的質數。 • 註：這命題指出質數有無窮多個！

6. 證明 假設質數祇有有限多個。 由此可設最大質數為 P。 定義 Q = 2  3  5  7  …  P + 1 由假設可知，Q是一個合成數。 同時，將 Q除以任何質數都餘 1， 所以所有的質數都不是 Q的因數！ 這是不可能的 !!! 所以質數有無窮多個。（證完）

7. 關於質數的一些疑問 • 質數有多少個？ • 如何判斷一個數是質數？ • 例如：2003？ • 又例如： 9 909 408 073？ • 有沒有能夠計算所有質數的公式？

8. 默森質數 • 默森（Marin Mersenne; 1588  1648） • 法國人，神父 • 默森質數（1644）： • 2p  1

9. 默森質數 23  1 = 7 25  1 = 31 27  1 = 127 211  1 = 2047 = 23  89 213  1 =8191 217  1 = 131071 219  1 = 524287 223  1 = 838607 = 47  178481 229  1 = 536870911 = 233  2304167 231  1 = 2147483647 22 1 = 3

10. 默森質數 • 於是默森提出以下結論和猜想： • 當 p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127或 257時，2p 1 會是質數。 • 對於其餘小於 257 的 44 個 p， 2p 1 都是合數。 • 但後來的數學家發現，當 p = 67和 257時， 2p 1 不是質數；但當 p = 61, 89或 107時， 2p 1 卻是質數！

11. 最大質數 • 當今發現最大的質數： • 213466917  1 • 發現者：加拿大人金馬倫（Michael Cameron ） • 日期：2001年 11 月 14 日

12. 費馬質數 • 費馬（Pierre de Fermat;1601  1665） • 法國人 • 律師，1631 年出任圖盧茲議院顧問。 • 業餘研究數學 • 他是幾何學、坐標幾何、概率論、微積分、數論等學問的先驅。

13. 費馬質數 • 費馬質數（1640）： 22n + 1 • 220 + 1 = 3 • 221 + 1 = 5 • 222 + 1 = 17 • 223 + 1 = 257 • 224 + 1 = 65537

14. 費馬質數 • 費馬猜想所有寫成 22n + 1 形式的數都是質數。

15. 歐拉 • 歐拉（Leonhard Euler; 1707 - 1783） • 瑞士數學家。 • 13 歲入大學，17 歲取得碩士學位，30 歲右眼失明，60 歲完全失明。 • 證明 225 + 1 不是質數。

16. 證明 記 a = 27和 b = 5。 那麼 a b3 = 3而 1 + ab  b4 = 1 + (a b3)b = 1 + 3b = 16 = 24。  225 + 1 = 232 + 1 = (2a)4 + 1 = 24a4 + 1 = (1 + ab  b4)a4 + 1 = (1 + ab)a4 + (1  a4b4) = (1 + ab)(a4 + (1  ab)(1 + a2b2)) 即 232 + 1 可被 1 + ab = 641 整除！ （證完） 備註：232 + 1 = 4 294 967 297 = 641  6 700 417

17. 歐拉 • 歐拉的發現不單否定了費馬的猜想，而它亦提供了分解費馬質數的方法。 • 數學家後來發現，除了開頭幾個數是質數外，再找不到其他費馬質數了！

18. 高斯 • 高斯（Carl Friedrich Gauss; 1777  1855） • 德國數學家。 • 近代數學的奠基者之一 • 自小已流露對數學和語言學的天份，人稱「數學王子」。

19. 高斯 • 19 歲那年提出以直尺和圓規繪畫正 17 邊形的方法。 • 同時亦提出繪畫正質數多邊形的充份和必定條件是： • 該質數必定是費馬質數！

20. 交點 高度的  45 整個角的  圓心 正 17 邊形作圖法

21. 歐拉與質數 • 641 是 225 + 1 的因數。 以 (n) 表示不大於 n的質數數量。例如： (10) = 4、(100) = 25 …… 等 • 若 n趨向無窮大，則 (n) / n趨向 0 。（即當 n越大時，質數的「密度」會越小。）

22. 歐拉與質數 • 哥德巴赫猜想（1742） • 每一個不小於 6 的偶數，皆可表示為兩個質數之和。 • 例如： 8 = 3 + 5、20 = 7 + 13、100 = 17 + 83 ……等等 • 每一個不小於 9 的奇數，皆可表示為三個質數之和。 • 由於質數的定義由乘除法而來，而「哥德巴赫猜想」卻和加法有關，因此它成為數論上一大難題！

23. 哥德巴赫猜想論證歷程 1920 挪威 布朗 9 + 9 1948 匈牙利 瑞尼 1 + c 1958 中國 王元 2 + 3 1962 中國 潘承洞 1 + 5 1963 中國 王元、潘承洞 1 + 4 1965 蘇聯 維諾格拉道夫 1 + 3 1966 中國 陳景潤 1 + 2

24. 陳景潤 • 福建省，福州人 • 生於 1933 年，在貧窮和戰火之中長大。 • 1957 年獲得華羅庚提拔，進入北京科學院當研究員。 • 1966 年首次發表他對「哥德巴赫猜想」的研究成果。

25. 陳景潤 • 1966 年，陳景潤起初提出了一篇長達 200 多頁的論文來證明 {1 + 2}。 • 由於「文革」爆發，他祇可發表祇得 2 頁的證明大綱。 • 同時，他被指研究「偽科學」而受到批判。 • 後來得到周恩來總理的照顧，才能繼續研究。 • 1973 年，終於發表第一篇正式論文。

26. 您移動了群山 • 1973 年，英國數學家哈伯斯坦（Halberstam）和德國數學家李希特（Richert）合著了一本名為《篩法》（Sieve Methods）的書。 • 得到香港大學廖明哲教授的幫助，獲得陳景潤論文的複印本，並將該結果加入成該書的最後一章，並稱之為「陳氏定理」。 • 後來，哈伯斯坦寫信給陳景潤，稱讚他說：「您移動了群山！」

27. 無法克服的困難 • 雖然陳景潤成功地完成了 {1 + 2} 的證明，但是他在他的著作《數論概貌》(1990) 中卻這樣寫道： 「1966 年，我利用所提出的新的加權篩法，證明了：一個充份大的偶數，都可以表示為一個素數與一個不超過兩個素數的乘積之和。這是至今對猜想 (A) 的最好結果。」

28. 無法克服的困難 「在這裡，我們取權函數 (a) = 1  1(a)   2(a)，雖然使估計變得更困難，但是最終還是證明了命題 {1 + 2}。需要指出的是，這種加篩權法不可能用來證明命題 {1 + 1}，因為這時要取 b = 2，而這使得主項和餘項的估計出現至今仍然無法克服的困難。」

29. 1996 年 3 月 21 日 《星島日報》 1996 年 3 月 21 日 《明報》 陳景潤 1933  1996

30. 陳景潤的另一成就 • 孿生質數猜想： 存在無窮多對相差 2 的質數。 例如：(3, 5) ; (5, 7) ; (11, 13) ; (17, 19) ; (29, 31) ; …… ; (101, 103) ; …… ; (10016957, 10016959) …… • 最佳結果（陳景潤 1973）：存在無窮多個質數 p，使 p + 2 是不超過兩個質數之積。

31. 質數的其他故事 • 完全數 例如：6, 28, 496, 8128 …… 等 • 質數分佈定理： • 費馬小定理及現代密碼理論

32. 子傑 梁 完 多謝！ http://staff.ccss.edu.hk/jckleung/