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微 積 分

微 積 分. 林春龍　編著. 1- 1. 第一章 微積分的預備知識. 1- 2. (1) { x | a < x < b } = ( a , b ) (2) { x | a  x  b } = [ a , b ] (3) { x | a < x  b } = ( a , b ] (4) { x | a  x < b } = [ a , b ) (5)  { x | a < x <+  } = ( a , +  ). (6)  { x | a  x <+  } = [ a , + )

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Presentation Transcript

  1. 微 積 分 林春龍　編著 1-1

  2. 第一章微積分的預備知識 1-2

  3. (1) {x|a < x < b} =(a, b) (2) {x|ax b} =[a, b] (3) {x|a < x b} = (a, b] (4) {x|a x < b} =[a, b) (5)  {x|a < x <+ } =(a, + ) (6)  {x|a x <+ } =[a, +) (7){x|-  < x < b} =(- , b) (8){x|-  < x b} =(- , b ] (9){x|-  < x <+} =(-, +) =R (10){x|0< x <+ } =(0, + ) =R+ (11){x|-  < x <0} = (- , 0)= R- 1-3

  4. |x - a|<  a - < x <a +  |x - a| > x< a - x > a +  x實軸 1-4

  5. 例1 試以區間表示下述各個不等式 (i) |x + 5| < 6 ( i ) |x + 5| < 6  {x| - 11 < x < 1} 解： (ii) |x - 2| > 3 (ii) |x - 2| >3  {x|x <- 1 x > 5} 解： (iii) 0 <|x + 4| < 6 (iii) 0<|x + 4| < 6  {x| - 10< x <- 4 - 4 < x < 2} 解： 1-5

  6. 例2 試就下列各函數y = f (x)，求其定義域與值域。　　 (i) f (x)= 5x + 1 解：( i )y = 5x + 1，且x = ，故D( f )= R，R( f )= R (ii) f (x)= 解： (ii)y = ，且x = ， 故D( f )= R - { }，R( f )= R - { } (iii) f (x)= 解： (iii)y = ，且x = y 3，故D( f )= R，R( f )= R (iv) f (x)= + 5 解： y = + 5，則y - 5 = x ，故 D( f )= R，R( f )={y | y - 5  0}= { y | y  5} 1-6

  7. 例3 試求下述各函數的定義域 ( i ) f (x)= 解：( i )D( f )= R- {1} (ii) f (x)= 解：(ii) D( f )= {x | x2(x + 2)(x - 2) 0} = {x | x- 2 x  2 x = 0} (iii) f (x) = 2 解：(iii)D( f )= {x | (x + 5)(x - 4)> 0}∩{x| (x + 6)(x- 2) > 0} = {x | x <- 5 x > 4}∩{ x < - 6 x > 2} = {x| <- 6 x > 4} 1-7

  8. 1.2-5 反函數（inverse function） 設f是從D對應到C的映成與一對一函數，即y = f (x)使得D( f )與R( f ) = C有一對一關係，則對R( f ) = C中之每一個y，在D中有存在唯一的一個x使得y = f (x)，這就確定了x是y的函數，記為 x = f - 1( y )，稱f -1是f的反函數，其定義域D( f -1) = R( f )，值域R( f - 1) = D( f )，其中f與f -1互為反函數。 1.2-5 很顯然的，由反函數之定義可知，f 與 f -1互為反函數，兩者之圖形，剛好對稱於直線y = x。且恆有 f - 1[ f (x)]= f -1(y )= x xD( f ) f ( f - 1(y))= f (x)= y y C = R( f ) 1-8

  9. (v) f (x)= x2- 6x + 10 (v)y = x2- 6x + 10= (x - 3)2 + 1，則y - 1 = (x - 3)2，故 D( f )= R，R( f )= { y | y - 1  0}= { y | y  1} 解： (vi) f (x)=-x2 + 2x - 5 (vi)y =-x2 + 2x - 5= - (x - 1)2- 4，則y + 4 = - (x - 1)2 故D( f )= R，R( f )= { y | y + 40}= { y | y - 4} 解： (vii) f (x)= | x |- 8 解： (vii)y = |x|- 8，則y + 8 = |x|，故 D( f )= R ,R( f )= { y | y + 8  0}= { y | y - 8} 1-9

  10. 例6 (i) 試證明 f (x) = x3 - 1為從R 對應到R的一對一函數， (i) (ii) 試判斷g(x) = x4 是否為從R對應到R的一對一函數， (ii) (ii) 1-10

  11. (iii) 試證明h(x) = x4是從R +{0}對應到R +{0}的一對一函數， (iii) 1-11

  12. (a)一個對應 f 要成為一個函數，必須從其定義域之任一橫坐標繪製一條垂直線與圖形有唯一交點，否則就不是函數， (b)從其值域之任一縱坐標繪製一水平線必須與圖形至少有一個交點，才是映成函數， (c)從其值域之任一縱坐標繪製一水平線必須與圖形有唯一交點，才是一對一函數，故上述圖形中： 1-12

  13. ( i )之f (x)既是從R對應到R的映成函數，也是從R對應到R的一對一函數， 故有反函數f -1(x) = 。 (ii)之g(x)既不是從R對應到R的映成函數，也不是從R對應到R的一對一 函數，但卻是從R對應到R+{0}的映成函數。 (iii)之h(x)不是從R對應到R的函數，但卻是從R +{0}對應到R +{0}的 映成函數，也是從R+{0}對應到R +{0}的一對一函數，故存有反函 數f -1(x) = ，x  0。 1-13

  14. 例7 下列各函數均定義於R，其反函數均存在，求其反函數。 (i) f (x) = 解： (i)f (f -1(x)) = x f -1(x) = (ii) f (x)= 5 + 4 (ii)f (f -1(x)) = x5[f -1(x)] + 4 = x f -1(x) = 解： (iii) f (x)= 5(x - 3)3 + 1 解： (iii)f (f -1(x)) = x 5[f -1(x) - 3]3 + 1 = x  f - 1(x)= + 3 由上述所求之反函數，可看出這些簡單類別函數， 函數f (x)與其反函數f -1(x)間存有某些運算之逆向 與反號關係。 1-14

  15. 1-15

  16. 定 理 1.2-1 特殊函數的反函數 若adbc，a，c不能同時等於0，則函數f (x) = 為從R - { - }對應到R - { }之一對一函數，且存有反函數f- 1(x)為 f- 1(x) =。 1-16

  17. 例2 試求f (x)= 之範圍。 解：設y = = 102x = 因102x> 0，故 > 0 < 0 - 1 < y < 1 - 1 < f (x)< 1 1-17

  18. 1-18

  19. 單調函數 （monotonic function） 1.3-2 設函數f在區間[a, b]有定義，且對於區間[a, b]內任意兩值x1，x2，當x1 < x2時，必有f (x1) f (x2)（f (x1) < f (x2)），則稱f (x)於區間[a, b]為單調增加（嚴格單調增加），以上之敘述若改為：當x1 < x2時，必有f (x1) f (x2)（f (x1) > f (x2)），則稱f (x)於區間[a, b]內為單調減少（嚴格單調減少）。 1-19

  20. (a) (b) 1-20

  21. 試證f (x) = -x2 在區間(0, )內嚴格單調減少。 例3 解：設x1(0,  )，x2(0,  )，且x1 < x2，則 f (x1) - f (x2) = - x - (- x ) = x - x = (x2 - x1)(x2 + x1) > 0， x1 < x2時，f (x1) > f (x2)，故f (x)為嚴格單調減少，那是因為 x2 - x1 > 0且x1 + x2 > 0所致。 1-21

  22. 1.3-3奇偶函數定義 設函數y = f (x)定義於區間[-l, ]，>0，且x為區間[- , ]內 之任何一個值， (1)若都有f (-x)= f (x)，則稱f (x)為對稱於y軸(x = 0)之偶函數，簡稱偶函數（even function）。 (2)若都有f (-x)=-f (x)，則稱f (x)為對稱於原點(0, 0)之奇函數，簡稱奇函數（odd function）。 1-22

  23. 其實偶函數就是f (x)對y軸(x = 0)之對稱函數，它指在對稱線（y軸）之兩側等距離之圖形是等高，而奇函數就是f (x)對原點(0, 0)之逆對稱函數，它指在對稱點（原點）之兩側等距離之圖形分別位於對稱點之上下側，而與對稱點有相同的距離。很容易證明下列常見之奇偶函數、及既非奇函數亦非偶函數的函數。 1-23

  24. 奇函數：( i ) f (x)= x2n + 1，nN，(ii) f (x)= ，nN，(iii) f (x)= sinx， (iv) f (x)= tanx，(v) f (x)= cotx， (vi) f (x)= cscx， (vii) f (x)= Arcsinx，★(viii) f (x)= Arccscx，★(ix) f (x)= Arctanx。 偶函數：( i ) f (x)= x2n，nN，(ii) f (x)= ，nN，(iii)f (x)= |x|， (iv) f (x)= cosx，(v) f (x)= secx。 既非奇函數亦非偶函數的函數： ( i ) f (x)= Arccosx，★(ii) f (x)= Arccscx，★(iii) f (x)= Arccotx， (iv) f (x)= x2n + 1 + x2n，nN。 1-24

  25. 例5 試說明下列函數之奇偶性。 (i)f (x)= x3-3x 解：(i) f (x)=x3 - 3x f (-x)=(-x)3-3(-x) = -x3 + 3x = - (x3-3x) = - f (x) f (x)是奇函數 (ii)f (x)= x4 + 4x2 解： f (x)= x4 + 4x2 f (-x)= (-x)4 + 4(-x)2 = x4 + 4x2= f (x) f (x)是偶函數 ★(iii)f (x)= ln(x + ) f (x)= ln(x + ) 解： f (-x)= ln(-x + )= ln( )= ln( ) =- ln(x + )= -f (x) f (x)是奇函數 1-25

  26. 1-26

  27. 1.4-1初等函數 (1)常數函數（constant function）f (x)= ccR (2)冪函數（power function）f (x)= xaaR (3)指數函數（exponential function）f (x)= axa>0且a1 (4)對數函數（logarithmic function）f (x)= logaxa>0且a1 (5)三角函數（trigonometric function）f (x)= sinx， f (x)= cosx…f (x) = secx，f (x) = cscx (6)反三角函數（inverse trigonometric function）f (x)= Arcsinx…f (x)= Arcsecx，f (x)= Arccscx 1-27

  28. 其中對數函數y = logax是指數函數y = ax之反函數，故令f (x)= ax ，f -1(x)= logax，則由反函數之性質f ( f -1(x))= x及 f -1( f (x))= x 可得 f ( f -1(x))= xf (logax)= x = x f -1 ( f (x))= x f -1(ax)= x logaax= x 1-28

  29. 例1 試繪製下列之分段函數。 解： 1-29

  30. 絕對值函數（absolute function）定義 若分段函數f (x)定義為 nN 或 則稱f (x)為絕對值函數，以f (x) = | x |表示之。 1-30

  31. 最大整數函數定義 （Greatest integer function） 若函數 f :R→R，且 f : x→[x]，則稱 f (x) 為最大整數函數。 其中 [x] = nZ， nx<n + 1 1-31

  32. 例2 若f (x)= [x] 0 x < 8 ，試繪製其圖形。 解：f (x)= [x] 0 x < 8  1-32

  33. 則其圖形為 1-33

  34. 例3 試分析並繪製函數f (x)= 3 - 2 x < 14 解：因- 2 x < 14 - 4 x - 2 < 12 -1 < 3，故  1-34

  35. 1-35

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