第 5 章控制系统的频域分析

第5章控制系统的频域分析 频率特性是研究控制系统的一种工程方法，应用频率特性可间接地分析系统的动态性能和稳态性能。频域分析法的突出优点是可以通过实验直接求得频率特性来分析系统的品质，应用频率特性分析系统可以得出定性和定量的结论，并具有明显的物理含义，频域法分析系统可利用曲线、图表及经验公式。介绍了MATLAB在频率分析中的应用。内容提要第5章控制系统的频域分析

频率特性是系统的一种数学模型；频率特性的三种图形：幅相频率特性曲线（又称极坐标或Nyquist曲线），对数频率特性曲线（又称Bode图），对数幅相频率特性曲线（又称Nichols曲线）。最小相位系统的幅频和相频特性之间存在唯一的对应关系，利用Nyquist稳定判据可由开环频率特性判别闭环系统的稳定性，用相角裕量和幅值裕量来反映系统的相对稳定性。利用等M圆和等N圆可由开环频率特性求闭环频率特性，进而定性或定量分析系统的时域响应。频率特性是系统的一种数学模型；频率特性的三种图形：幅相频率特性曲线（又称极坐标或Nyquist曲线），对数频率特性曲线（又称Bode图），对数幅相频率特性曲线（又称Nichols曲线）。最小相位系统的幅频和相频特性之间存在唯一的对应关系，利用Nyquist稳定判据可由开环频率特性判别闭环系统的稳定性，用相角裕量和幅值裕量来反映系统的相对稳定性。利用等M圆和等N圆可由开环频率特性求闭环频率特性，进而定性或定量分析系统的时域响应。知识要点第5章控制系统的频域分析

时域分析法是分析控制系统的直接方法，比较直观、精确。频域分析法，是一种工程上广为采用的分析和综合系统的间接方法。时域分析法是分析控制系统的直接方法，比较直观、精确。频域分析法，是一种工程上广为采用的分析和综合系统的间接方法。频域分析法是一种图解分析法。它依据系统的又一种数学模型——频率特性，对系统的性能，如稳定性、快速性和准确性进行分析。第5章控制系统的频域分析

频域分析法的特点是可以根据开环频率特性去分析闭环系统的性能，并能较方便地分析系统参数对系统性能的影响，从而进一步提出改善系统性能的途径。此外，除了一些超低频的热工系统，频率特性都可以方便地由实验确定。频率特性主要适用于线性定常系统。在线性定常系统中，频率特性与输入正弦信号的幅值和相位无关。但是，这种方法也可以有条件地推广应用到非线性系统中。频域分析法的特点是可以根据开环频率特性去分析闭环系统的性能，并能较方便地分析系统参数对系统性能的影响，从而进一步提出改善系统性能的途径。此外，除了一些超低频的热工系统，频率特性都可以方便地由实验确定。频率特性主要适用于线性定常系统。在线性定常系统中，频率特性与输入正弦信号的幅值和相位无关。但是，这种方法也可以有条件地推广应用到非线性系统中。第5章控制系统的频域分析

目录 • § 5.1 频率特性 • § 5.2 典型环节的频率特性 • § 5.3 系统的开环频率特性 • § 5.4 乃奎斯特稳定判据 • § 5.5 控制系统的相对稳定性 • § 5.6 闭环频率特性 • § 5.7 用频率特性分析系统品质 • § 5.8 MATLAB频域特性分析 • 小结第5章控制系统的频域分析

§5.1频率特性 图5-1 线性定常系统图5-1 线性定常系统 5.1.1 频率特性概述设线性定常系统输入信号为r(t)，输出信号c(t)，如图5-1所示。图中，G(s)为系统的传递函数。即 (n≥m) （5-1）第5章控制系统的频域分析

若在系统输入端作用一正弦信号，即 r(t)=Rsinωt （5-2）系统输出C(s)为（5-3）第5章控制系统的频域分析

设传递函数G(s)可表示成极点形式 （5-4） -p1、-p2 … -pn为G(s)的极点，其可以为实数，也可为复数，并且假定其均在根平面的左半平面，即系统是稳定的。第5章控制系统的频域分析

由式(5-3)及(5-4)得输出为 （5-5）式中 , , , ,…为待定系数，由留数定理求得第5章控制系统的频域分析

由拉普拉斯反变换得输出响应 第5章控制系统的频域分析

对于稳定系统，当t→∞时， （i=1,2,…,n）均随时间衰减至零。此时系统响应的稳态值为: （5-6）和为共轭复数，可表示为第5章控制系统的频域分析

则（5-7）式中，第5章控制系统的频域分析

式（5-7）表明，线性定常系统在正弦信号作用下，系统的稳态输出将是与输入信号同频率的正弦信号，仅仅是幅值和相位不同，幅值为式中 ，相位，均是频率ω的函数。定义线性定常系统在正弦信号作用下，稳态输出的复变量与输入的复变量之比称为系统的频率特性，记为G(jω) （5-8）其中稳态输出与输入的幅值之比称为系统的第5章控制系统的频域分析

幅频特性，记为A(ω)，即 （5-9）稳态输出与输入的相位差称为系统的相频特性，记为 (ω)，即 (ω)=∠G(jω) （5-10）频率特性还可表示为 G(jω)=p(ω)+jθ(ω) 式中 p(ω)——为G(jω)的实部，称为实频特性； θ(ω)——为G(jω)的虚部，称为虚频特性。第5章控制系统的频域分析

显然有 （5-11）需要指出，当输入为非正弦的周期信号时，其输入可利用傅立叶级数展开成正弦波的叠加，其输出为相应的正弦波的叠加。此时系统频率特性定义为系统输出量的傅氏变换与输入量的傅氏变换之比。第5章控制系统的频域分析

5.1.2频率特性的求取 由频率特性概念知，频率特性G(jω)是传递函数的一种特例，即将传递函数中的复变量s换成纯虚数jω就得到系统的频率特性。 G(jω)=G(s) （5-12）例5-1已知系统的传递函数为解：令s=jω得系统的频率特性或第5章控制系统的频域分析

幅频特性: 相频特性: 实频特性: 虚频特性: 幅频特性和相频特性随ω变化的曲线如图5-2所示。第5章控制系统的频域分析

图5-2 A(ω)和φ(ω)曲线 第5章控制系统的频域分析

与时域响应中衡量系统性能采用时域性能指标类似，频率特性在数值上和曲线形状上的特点，常用频域性能指标来衡量，它们在很大程度上能够间接地表明系统动静态特性。与时域响应中衡量系统性能采用时域性能指标类似，频率特性在数值上和曲线形状上的特点，常用频域性能指标来衡量，它们在很大程度上能够间接地表明系统动静态特性。系统的频率特性曲线如图5-3所示。 1. 谐振频率是幅频特性A(ω)出现最大值时所对应的频率； 2. 谐振峰值指幅频特性的最大值。值大，表明系统对频率的正弦信号反映强烈，即系统的平稳性差，阶跃响应的超调量越大； 5.1.3频域性能指标第5章控制系统的频域分析

图5-3 频率特性曲线 第5章控制系统的频域分析

3. 频带 指幅频特性A(ω)的幅值衰减到起始值的0.707倍所对应的频率。大，系统复现快速变化信号的能力强、失真小。即系统的快速性好，阶跃响应的上升时间短，调节时间短； 4. A(0)指零频(ω=0)时的幅值。A(0)表示系统阶跃响应的终值，A(0)与1相差的大小，反映了系统的稳态精度，A(0)越接近于1，系统的精度越高。返回第5章控制系统的频域分析

§5.2典型环节的频率特性 5.2.1 概述作为一种图解分析系统的方法，频率特性曲线常采用三种表示形式，即极坐标图、对数坐标图，对数幅相图。第5章控制系统的频域分析

1. 极坐标图(乃奎斯特图或乃氏图或Nyquist图) 系统频率特性可表示为用一向量表示某一频率下的向量的长度，向量极坐标角为，的正方向取为逆时针方向，选极坐标与直角坐标重合，极坐标的顶点在坐标原点。如图5-4所示。第5章控制系统的频域分析

图5-4 极坐标图 频率特性G(jω)是输入频率ω的复变函数，是一种变换，当频率ω由0→∞时，G(jω)变化的曲线，即向量端点轨迹就称为极坐标图。极坐标图在时，在实轴上的投影为实频特性，在虚轴上的投影为虚频特性。第5章控制系统的频域分析

2. 对数坐标图(Bode图) Bode图由对数幅频特性和对数相频特性两张图组成。对数幅频特性是频率特性的对数值L(ω)=20lgA (ω)（dB）与频率ω的关系曲线；对数相频特性是频率特性的相角 (度)与频率ω的关系曲线。如图5-5所示。第5章控制系统的频域分析

对数幅频特性的纵轴为L(ω)=20lgA(ω)采用线性分度，A(ω)每增加10倍，L(ω)增加20dB；横坐标采用对数分度，即横轴上的ω取对数后为等分点。对数幅频特性的纵轴为L(ω)=20lgA(ω)采用线性分度，A(ω)每增加10倍，L(ω)增加20dB；横坐标采用对数分度，即横轴上的ω取对数后为等分点。对数相频特性横轴采用对数分度，纵轴为线性分度，单位为度。图5-5 Bode图坐标系第5章控制系统的频域分析

n个环节串联 （5-13）而对数幅频特性L(ω)为第5章控制系统的频域分析

（5-14） 对数相频特性为（5-15）第5章控制系统的频域分析

3. 对数幅相图 对数幅相图是将对数幅频特性和相频特性两张图，在角频率为参变量的情况下合成一张图，如图5-6所示。图5-6 对数幅相坐标系第5章控制系统的频域分析

5.2.2 典型环节的频率特性 控制系统由若干典型环节组成，常见的典型环节有比例环节 K，积分环节 ,惯性环节，比例微分环节 1+τs，微分环节s，振荡环节，滞后环节等。下面分别讨论典型环节的频率特性。第5章控制系统的频域分析

1. 积分环节 积分环节的传递函数：频率特性：幅频特性：相频特性：对数幅频特性：极坐标图如图5-7所示。Bode图如图5-8所示。第5章控制系统的频域分析

图5-7 积分环节的极坐标图 图5-8 积分环节的Bode图第5章控制系统的频域分析

2. 惯性环节 惯性环节的传递函数：频率特性：幅频特性：第5章控制系统的频域分析

相频特性： 实频特性：虚频特性：对数幅频特性：对数相频特性：极坐标图如图5-9所示。第5章控制系统的频域分析

图5-9惯性环节极坐标图 第5章控制系统的频域分析

Bode图如图5-10所示。 首先分析对数幅频特性曲线的大致形状。（1）当时，对数幅频特性可近似为 dB （2）当时，对数幅频特性可近似为第5章控制系统的频域分析

图5-10惯性环节的Bode图 第5章控制系统的频域分析

惯性环节的对数幅频特性曲线近似为两段直线。两直线相交，交点处频率 ，称为转折频率。两直线实际上是对数幅频特性曲线的渐近线，故又称为对数幅频特性渐近线。用渐近线代替对数幅频特性曲线，最大误差发生在转折频率处，即处。第5章控制系统的频域分析

误差为 dB 在高于转折频率一个倍频处，即的误差为 dB 第5章控制系统的频域分析

图5-11 惯性环节的误差曲线 误差曲线如图5-11所示。第5章控制系统的频域分析

3. 微分环节 纯微分环节的传递函数： G(s)=s 频率特性：幅频特性：相频特性：对数幅频特性：极坐标图如图5-12所示。Bode图如图5-13所示。第5章控制系统的频域分析

图5-12 纯微分环节的极坐标图 图5-13 纯微分环节的Bode图第5章控制系统的频域分析

4. 二阶振荡环节 二阶振荡环节的传递函数：频率特性：幅频特性：相频特性：第5章控制系统的频域分析

实频特性： 虚频特性：对数幅频特性：极坐标图如图5-14所示。Bode图如图5-15(a)所示。第5章控制系统的频域分析

图5-14 振荡环节极坐标图 第5章控制系统的频域分析

图5-15(a) 二阶振荡环节的Bode图 第5章控制系统的频域分析

图5-15(b) 二阶振荡环节的误差修正曲线 用渐近线代替实际对数幅频特性也会带来误差，常按的大小来修正渐近线。二阶振荡环节的误差修正曲线如图5-15(b)所示。第5章控制系统的频域分析

5. 比例环节 比例环节的传递函数：G(s)=K 频率特性：幅频特性：相频特性：对数幅频特性：对数幅频特性为一水平线，相频特性与横坐标重合。比例环节的极坐标图为一点。诸图如图5-16所示。第5章控制系统的频域分析

图5-16 比例环节频率特性 第5章控制系统的频域分析

5. 滞后环节 滞后环节的传递函数：式中 ——滞后时间频率特性：幅频特性：相频特性：对数幅频特性：极坐标图为一单位圆，如图5-17所示。Bode图如图5-18所示。第5章控制系统的频域分析

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