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第 一 章 质点运动学

第 一 章 质点运动学. 第 1 章 质点运动学. 质点运动学的任务 : 描述作机械运动的物体在 空间 ( space ) 的 位置 (position) 随 时间 (time) 变化的规律 , 不涉及运动变化的原因. §1-1 参考系 时间和空间的测量. 参考系 : 为描述物体的运动而选取的参考物体. 1.1.1 参考系和坐标系. 1. 参考系 ( frame of reference ). 注 : 任何 实物 物体均可被选作参考系 . 任何形式的场都不可选作参考系. 物质的运动是绝对的. 物质的运动又是相对的.

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第 一 章 质点运动学

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Presentation Transcript

  1. 第 一 章 质点运动学

  2. 第1章 质点运动学 质点运动学的任务: 描述作机械运动的物体在空间(space)的位置(position)随时间(time)变化的规律,不涉及运动变化的原因. §1-1 参考系 时间和空间的测量 参考系: 为描述物体的运动而选取的参考物体. 1.1.1 参考系和坐标系 1. 参考系(frame of reference) 注:任何实物物体均可被选作参考系.任何形式的场都不可选作参考系. 物质的运动是绝对的 物质的运动又是相对的 由物质运动的相对性来描述运动. 默认: 地面参考系

  3. 那辆列车在运动？

  4. z 径向 角向 P(x,y,z) • • P(r,) O O 极轴 y x 极坐标系 直角坐标系 P(r, , ) 球坐标系 P(n,) O 自然坐标系 2. 坐标系(system of coordinates) 用以标定物体的空间位置而设置的坐标系统. 实物构成的参考系的数学抽象. 定量描述物体的运动. 主要坐标系 直角坐标系 球坐标系 柱坐标系 极坐标系 自然坐标系…

  5. an Atomic Clock 精度达10-12 ~ 10-13 1.1.2 时间的计量 时间表征事件之间的先后顺序性和持续性 1967年,第十三届国际计量大会决定采用铯原子钟作为时间基准, 定义1秒的长度等于铯133原子基态两个超精细能级之间跃迁相对应的辐射周期的9 192 631 770倍.

  6. 时标/s 1018 1017 1016 1015 1014 1013 1012 1011 1010 109 108 107 106 105 地球自转周期(日) 104 103 102 101 100 10-1 10-2 10-3 10-4 10-5 10-6 10-7 10-8 10-9 10-10 10-11 10-12 10-13 10-14 10-15 10-16 10-17 10-18 10-19 10-20 10-21 10-22 10-23 10-24 10-25 宇宙年龄 中子的寿命 地球年龄 子的寿命 形成富氧大气层 百米赛跑世界纪录 恐龙灭绝 钟摆的周期 出现古人类 0介子的寿命 市电的周期 人类文明史 超快速摄影曝光时间 古树的年龄 0超子的寿命 人类的寿命 子的寿命 共振态的寿命 地球公转周期(年) 介子的寿命 月球周期(月) Z0粒子的寿命 共计跨越了43个数量级

  7. 1.1.3 长度(length)的计量 空间中二点间的距离 1. 空间反映物质运动的广延性. 2. 在三维空间里的位置可由三个相互独立的坐标确定. 3. 米(meter)的标准 1983年10月第十七届国际计量大会通过: 米是光在真空中1 / 299 792 458秒的时间间隔内运行路程(distance)的长度.

  8. z P(x,y,z) O y k x j i §1-2 质点运动的描述 1.2.2 位矢 运动方程与轨迹方程 1.2.1 质点(particle) 1. 位置矢量(矢径,位矢) (position vector) 质点: 只具有质量, 大小和形状可以忽略的几何点 (1) 理想模型(为了简化问题) (2) 条件 热带风暴 ① 研究问题中物体的形状和 大小可以忽略不计； ② 物体上各点的运动情况相同(平动)； ③ 各点运动对总体运动影响不大.

  9. z P(x,y,z) 大小： O y k x j i 单位矢量： 运动方程 1.2.2 位矢 运动方程与轨迹方程 1.位置矢量(矢径，位矢) 方向： 特性：矢量性、瞬时性、相对性 2.运动方程(equation of motion): 质点运动时位置随时间变化的规律: 位置矢量: 从坐标原点O出发,指向质点所在位置P的一有向线段. 矢量形式 直角坐标系中位矢表示为:

  10. y P(x,y) 运动方程 r s O x 2.运动方程(equation of motion): 例1.1一质点作匀速圆周运动，圆周半径为r, 角速度, 试分别写出用直角坐标、位矢表示的质点运动方程. 质点运动时位置随时间变化的规律. 解: 矢量形式 3.轨迹方程(equation of orbit) 参数方程 消去参数t 质点运动轨迹方程

  11. (2) 位置矢量 则 与x轴的夹角 轨迹图： y P 2 4 与x轴的夹角 x O -2 Q 例1-2.已知质点的运动方程 求：(1) 质点的轨迹. (2) t = 0 及t = 2s 时,质点 的位置矢量. 解：(1) 先写参数方程 位置矢量的大小和方向 消去 t 得 轨道方程

  12. 大小: z 方向:A  B A B O y x 即：t 时刻位于A点,位矢 t+t 时刻位于B点,位矢 1.2.3 速度 加速度 在t 时间内,位矢的增量称为位移. 1. 位移 路程 1)位移(displacement) 描述质点位置改变的物理量 即A到B的有向线段 设质点作曲线运动: 从A至B点 在直角坐标系中 位移(矢量): 质点在某段时间内, 始、末位置变动的总效果

  13. 大小: z 方向:A  B A B O y x 注意: (1) 位移是矢量,满足平行四边形则； (2) 位移与实际经过路径不同； (3) 矢量问题,标量解决: 三维分解,一维 “+”、“-”表示; (4) 位移具有矢量性、相对性. 1)位移(displacement) 描述质点位置改变的物理量 设质点作曲线运动: 从A点至B点 2) 路程(path): 质点实际行程的长度(正标量)称为路程s 位移(矢量): 质点在某段时间内,始、末位置变动的总效果

  14. r r(A) r r(B) O 何时取等号？ 2) 路程(path):质点实际行程的长度(正标量)称为路程s ? 讨论: 位移大小 位矢大小的增量 位移: 矢量,表示质点位置变化的净效果,一般与质点运动轨迹无关,只与始末点有关. 路程: 标量,是质点通过的实际路径的长度,与质点运动轨迹有关.

  15. B A 2. 速度(speed) 描述质点运动的快慢和方向的物理量. 定义: 单位时间内质点所发生的位移. 1)平均速度(mean speed) 单位: ms-1 平均速度的方向与t 时间内位移的方向一致. 2) 瞬时速度(速度) 精细地描述质点在某时刻的运动情况. 速度的方向为轨道上质点所在处的切线方向

  16. A z B O B y A x 2) 瞬时速度(速度) 精细地描述质点在某时刻的运动情况. 速度的大小： 速度特性 矢量性、瞬时性、相对性 3) 瞬时速率(速率)(velocity) 在t时间内,质点所经过路程 s 对时间的变化率. 平均速率： s 速度的方向为轨道上质点所在处的切线方向

  17. 速度的大小： (1) 速度特性 矢量性、瞬时性、相对性 A z B 3) 瞬时速率(速率)(velocity) 在t时间内,质点所经过路 程s对时间的变化率. O 平均速率： y x s (2) 瞬时速率： 注意: 速率是标量 一般情况： 当t 0时:

  18. z O y x 3. 加速度(acceleration) ----描述质点速度的变化 平均加速度的方向与速度增量的方向一致. 1)平均加速度(mean acceleration) t1 2) 瞬时加速度 当t 0时,平均加速度的极限即为瞬时加速度. t2 t时间内,速度增量为： 平均加速度 单位: ms-2

  19. A C · B · 思考: ? ? 方向： 当 t 趋向零时,速度增量 的极限方向. 2) 瞬时加速度 特性: 矢量性、瞬时性、相对性 当t 0时,平均加速度的极限即为瞬时加速度. 思考题1: 一质点作平面曲线运动,加速度方向始终指向曲线轨道侧？ 内 大小：

  20. (2) 例1-3.已知一质点的运动方程 求(1) 质点的速度和加速度. (2) 找一个质点运动的相应实例. 斜抛运动 解: (1) 注意: 直线运动中“位移、速度、加速度”矢量性. 当质点作直线运动时 矢量的方向性体现在指向上,用正、负号表示 射程： 射高:

  21. 注意 注意： 直线运动中“位移、速度、加速度”矢量性. 4. 运动学的两类问题 — 运动方程是运动学问题的核心 1) 已知运动方程,求质点任意时刻的位置、速度以及加速度 当质点作直线运动时 矢量的方向性体现在指向上,用正、负号表示 2) 已知运动质点的速度函数(或加速度函数)以及初始条件求质点的运动方程 (1) (1) x 是位移,不是路程； (2) 不能只凭a的正负,判断 v是变大还是变小.

  22. 4. 运动学的两类问题 —— 运动方程是运动学问题的核心 1) 已知运动方程,求质点任意时刻的位置、速度以及加速度 2) 已知运动质点的速度函数(或加速度函数)以及初始条件求质点的运动方程 (1) (3) (2)

  23. 例1-4.已知质点的运动方程为 (SI) 求: (1) 轨道方程； (2) t=2秒时质点的位置、速度 以及加速度； (3) 什么时候位矢恰好与速度矢 量垂直？ (2) 解：(1) 消去时间参数得： (3)

  24. (2) 例1-4.已知质点的运动方程为 速度的大小： (SI) 求：(1) 轨道方程； (2) t=2秒时质点的位置、速度以及加速度； (3) 什么时候位矢恰好与速度矢量垂直？ 速度的方向: 同 x 方向的夹角 加速度的大小： 方向: 沿 y 轴的负方向 解：(1) 消去时间参数得： 时 两矢量垂直

  25. 例1-5. 设某一质点以初速度 作直线运动,其 加速度为 . 问： 质点在停止前运动的路程有多长？ 分离变量 解：质点作直线运动 思考,该题还有别的方法解吗？ 两边积分： 得 又

  26. (2) 令影长为 h x O x2 x1 l 例1-6.路灯距地面高度为h,身高为l的人以速度v0在路上匀速行走.求：(1)人影头部的移动速度. (2) 影子长度增长的速率. 解：(1) 建立坐标如图 两边求导： 其中

  27. 质点运动方程为 S =S(t),P至Q的位移为 . S s O 1.2.4 自然坐标系中的速度和加速度 自然坐标系： (natural coordinate system) 把坐标建立在运动轨迹上的坐标系统 切向: 切向坐标轴沿质点前进方向的切向为正; 法向: 法向坐标轴沿轨迹的法向凹侧为正. 路程: 自然坐标之差 P 1. 自然坐标中的速度和加速度 Q 1) 位置、路程和速度 在质点的运动轨迹上,任取一点O作为坐标的原点.从原点O到轨迹曲线上任意一点P的弧长定义为P点的坐标S. 速度： 速率：

  28. 平移 经过t时间位于P2点, 速度为 方向: 切向 速度增量： 平均加速度： 瞬时加速度： 2) 自然坐标中的加速度 设: 某一质点作一般曲线运动 s 上式中第一项： t 时刻位于P1点,速度为 大小 切向加速度

  29. 方向: 切向 第二项： 曲率半径 上式中第一项： 法向加速度 总加速度 大小 改变 速度大小 改变 速度方向 切向加速度

  30. y ux  u0 uy  x O 例1-7：抛体运动 切向加速度 法向加速度 (1) at= 0匀速运动; 讨论： 总加速度 at≠ 0变速运动. (2) an = 0直线运动; 改变 速度方向 an≠0曲线运动 改变 速度大小

  31. y ux  u0 uy  x O 例1-7：抛体运动 在任一点： 练习:一物体做抛体运动, 已知v0 ,  ,讨论 直角坐标： 运动方程 速度方程 加速度方程 自然坐标

  32. P (t+t) P(t) R  R O x 2. 圆周运动 单位: rad 1)圆周运动的角量描述 一般规定: 逆时针为正 线量(linear measures):自然坐标系下以运动曲线为基准的基本参量. 角量(angular measures):极坐标系下以旋转角度为基准的基本参量. 角位移(angular displacement) 逆时针转向为正,顺时针转向为负. (2) 角速度(angular speed) 平均角速度: 角速度: 角速度矢量: 方向按右手螺旋规定. (1)角位置(angular position)

  33. 旋转方向 R O  (2) 角速度(angular speed) 平均角速度: 角速度: 角速度矢量: 方向按右手螺旋规定. 角速度与线速度关系： (3) 角加速度(angular acceleration) 平均角加速度: 大小: 角加速度: 方向: 右旋关系

  34. P (t+t) P(t)  R O x (3) 角加速度(angular acceleration) 平均角加速度: 角加速度: (4) 角量与线量的关系 (5)角量表示圆周运动 圆周运动(circle motion)是一般曲线运动的一个特例,曲率半径恒为R. ① 一般圆周运动：

  35. (5) 角量表示圆周运动 ③ 角量表示匀速圆周运动的 基本公式 圆周运动(circle motion)是一般曲线运动的一个特例,曲率半径恒为R. ① 一般圆周运动： 比较匀速直线运动的基本公式,数学表示相同. ② 匀速圆周运动：

  36. 例1-8. 某发动机工作时,主轴边缘一点作圆周运动方程为： (1) t = 2s时,该点的角速度和角加速度为多大？ (2) 若主轴直径D =40cm,求t =1s时该点的速度和加速度. 解:(1) 此时,总加速度的大小为： (2) 由角量和线量的关系,得边缘一点的速度、切向加速度和法向加速度.

  37. 总加速度的方向： 与 的夹角 此时,总加速度的大小为：

  38. y S y x 绝对运动(utterly motion)：物体相对于静止参考系(S系)的运动, 位移为 相对运动(relatively motion)：物体相对于自身参考系(S系)的运动, 位移为 A S x 牵连运动(embroil motion)：运动参考系S相对静止参考系S的运动, 位移为 §1-3 相对运动 坐标系S固定于地面坐标系S固定于行车,随车一起运动. 牵连速度 相对速度 绝对速度 绝对运动＝相对运动＋牵连运动

  39. y S y x a0 A S a a x A B —— 伽利略速度变换 加速度变换： 如: 电梯以加速度a0相对于地向上运动 即

  40. P a0 a a A B 如: 电梯以加速度a0相对于地面向上运动 在直角坐标系中(一般情况下)有： 位置矢量： 位移矢量： 速度矢量: 物体A、B以加速度a 相对于电梯运动 加速度矢量（O相对O平动时） 物体A、B相对于地的加速度 注意：暗含两个参考系中时间与空间测量的绝对性观念.

  41. P a x b 在直角坐标系中（一般情况下）有： 例1-9.某人骑自行车以速率 v0向东行驶.现有风以同样的速率由北偏西 30方向吹来. 问: 人感到风是从那个方向吹来？ 位置矢量： 位移矢量： 解：设人为x,风为a,地为b 速度矢量: 由相对运动原理得 加速度矢量（O＇相对O平动时） 绝对速度（风对地） 相对速度（风对人） 注意: 暗含两个参考系中时间与空间测量的绝对性观念. 牵连速度（人对地）

  42. a x b 北偏西30° 例1-9.某人骑自行车以速率 v0向东行驶.现有风以同样的速率由北偏西 30方向吹来.问: 人感到风是从那个方向吹来？ 北 西 东 解：设人为x,风为a,地为b 南 由相对运动原理得 人感到风是从北偏西30方向吹来. 绝对速度（风对地） 相对速度（风对人） 牵连速度（人对地）

  43. 北y x东 例1-10.河水自西向东流动,速度为10 kmh-1. 一轮船在水中航行, 船相对于河水的航向为北偏西30, 相对于河水的航速为20 kmh-1. 此时风向为由东向西,风速为10 kmh-1. 试求在船上观察到的烟囱冒出的烟缕的飘向(设烟离开烟囱后很快就获得与风相同的速度). 解:（解析法）建立如图所示坐标系,由题意可知： 根据相对速度公式

  44. 图解法： 根据相对速度公式 北y x东 即在船上观察,烟以20km·h-1的速率向南偏西30o飘去.

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