Лектор Пахомова Е.Г.

1. Математический анализ Раздел: Теория функций комплексного переменногоТема: Вычеты. Основная теорема о вычетах(основная теорема о вычетах, применение вычетов ) Лектор Пахомова Е.Г. 2011 г.

2. 3. Основная теорема о вычетах ТЕОРЕМА 9 (основная теорема о вычетах). Пустьа) функцияf(z) аналитична в ограниченной односвяз-ной областиDза исключением конечного числаизолированных особых точекz1 , z2 , … zn ; б) C – замкнутый контур вD , внутри которого со-держатся точкиz1 , z2 , … zn . Тогда СЛЕДСТВИЕ 10. Пусть функцияf(z) аналитична в ограниченной односвязнойобластиDза исключением конечного числа изолированныхособых точекz1 , z2 , … zn . Тогда сумма всех вычетовфункцииf(z) относительно ее особых точек, включая вычет относительно ∞ , равна нулю, т.е.

3. 4. Применение вычетов при вычислении интегралов а) Вычисление контурных интегралов ПРИМЕР 1. Найти ПРИМЕР 2. Найти

4. б) Вычисление интегралов типа Имеем: , Замена: z = eix Получим: ПРИМЕР 3. Найти

5. в) Вычисление интегралов типа (где mn+2 , Pm(x)0 , xℝ ). ТЕОРЕМА 11. Пусть , гдеPn(x), Pm(x) – многочлены степениnиmсоответственно, причемmn+2 , Pm(x)0 , xℝ Тогда , гдеz1 , z2 , … , zm – особые точкиf(z) , лежащие вверхней полуплоскости (т.е. Imzk>0) ПРИМЕР 4. Найти

6. г) Вычисление интегралов типа , ЛЕММА 12 (Жордана). Пусть имеется семейство дуг полуокружностей CR:|z|= R , Imz0 (где R+) Обозначим . Еслиf(z) аналитическая в верхней полуплоскости за исклю-чением конечного числа особых точек и , то , гдеℝ ,  >0.

7. ТЕОРЕМА 13. Пусть 1) f(z) аналитична на вещественной оси 2)f(z) аналитична в верхнейполуплоскости за исклю- чением особых точекz1 , z2 ,…, zm; 3) f(z) удовлетворяет условиям леммы Жордана. Тогда для любого >0 интеграл – сходится и , гдеz1 , z2 , … , zm – особые точкиf(z) , лежащие в верхнейполуплоскости (т.е.Imzk>0) .

8. СЛЕДСТВИЕ 14. Пустьf(z) удовлетворяет условиям теоремы 13. Тогда , , гдеz1 , z2 , … , zm – особые точкиf(z) , лежащие в верхнейполуплоскости (т.е. Imzk>0) . ПРИМЕР 5. Найти