A Kerr-téridő geodetikusai

1. A Kerr-téridő geodetikusai Elméleti Fizikai IskolaBudapest 2008.08.25-30.

2. Bevezetés • A Kerr-metrika • A geodetikus egyenletek - megoldásuk – szeparáció - Killing-tenzor - geodetikus teljesség • Geodetikus görbék vizsgálata - Kepler-pályák – időszerű - Null pályák - Gravitációs lencsék – Einstein-gyűrűk

3. Ívelem - Kerr-Newman tömegimp.mom/tömegtöltés • Tengelyszimmetrikus, töltött forrás gravitációs mezejét írja le • Boyer-Lindquist koordináták: • További paraméterek (összesen 7) az Einstein-Maxwell egyenletek általános, Petrov D típusú megoldásában: kozmológiai állandó, gyorsulás, mágneses töltés, NUT paraméter

4. Ívelem • Tartományok a téridőben 1. Horizont: ∆ gyökei 0 = a Schwarzschild, 0, 2m 0 < a2 < m2lassan forgó Kerr 0 < r± = m ± (m2 - a2)1/2 < 2m a2 = m2extrém Kerr r = m kétszeres gyök a2 > m2gyorsan forgó Kerrnincs valós gyök 2. Gyűrűszingularitás: • A görbületi invariánsok, pl. a = 0.8 e = 0

5. A geodetikus egyenlet • Kerr-koordináták:(a sokaság nagyobb részét fedik le) • Töltött részecske mozgása a KN téridőben (Carter, 1968)μ: tömeg, ε: töltés τ sajátidő szerinti kovariáns derivált A Lagrange-függvény: · a λ (affin) paraméter szerinti derivált A geodetikus egyenletek esetén teljesülnek, ami a normálási feltétellel ekvivalens

6. A geodetikus egyenlet • Az impulzus és a Hamilton-függvény: H nem függ λ-tól, ezért megmaradó(a részecske nyugalmi tömege) • A legegyszerűbb vektorpotenciál,amiből ugyanaz a térerősség-tenzorszármazik: • Az impulzus és az inverz metrika:

7. A geodetikus egyenlet • A Hamilton-függvény: • Megmaradó mennyiségek:H = H(r,θ) energia impulzusmomentum • Schwarzschild-téridőben4 Killing-vektor: ∂/∂t + gömbszimmetriából adódók+ geodetikusokra mindig létező mozg.áll: Imp.mom iránya → egyenlítői mozgás

8. A geodetikus egyenlet • További megmaradó mennyiségek?Vizsgáljuk a Hamilton-Jacobi-egyenletet!Ha létezik szeparálható megoldás, akkorFelhasználva, hogy A szeparációs állandó pozitív A hatás bevezetése nélkül látható, hogy ezen mennyiségek Hamilton-függvénnyel vett Poisson-zárójele eltűnik

9. A geodetikus egyenlet • Az egyenletek megoldása: • Ezek segítségével kifejezhetők a mozgásegyenletek: • Boyer-Lindquist koordináták:

10. Geodetikus teljesség • A mozgásegyenletek integrál-alakja: A geodetikus teljes, ha a λ affin paraméter tetszőleges értéket felvehet a görbe mentén. Ez teljesül, kivéve, ha elérjük a szingularitást, vagy az integrálok divergensek: ∆ = 0 és Θ = R = 0 Θ = R = 0: λ teszőlegesen nagy lehet, kivéve, ha r = cos(θ) = 0 teljesül ∆ = 0: a geodetikusok folytathatók egy másik térképre

11. Killing-tenzor • Carter néhány héttel az előző eredmények megadása után meghatározta azt az általános metrikaalakot, amiből szeparálható mozgásegyenletek adódnak. • Walker, Penrose (1970, K) és Hugston, Penrose (1972, KN) vizsgálták a kvadratikus első integrál eredetét. • Szimmetrikus, m-edrendű tenzor, ami kielégíti a Killing-egyenletet Spúrmentes része a konform Killing-tenzor Pl.: a metrikus tenzor és Killing-vektorok Kab=ξ(aηb) alakú szorzata, ezek (állandó együtthatós) lineárkombinációi + nem-triviális Killing tenzorokKerr-téridő esetén: Áll.: ha a konform Killing-tenzorra teljesül, hogy Pab;a egy gradiens, akkor a Pab–ból származó Kab Killing-tenzor

12. Killing-tenzor • Killing-spinor (Hughston, Penrose 1972):Legyen és normált spinor diád, melyek null-vektorai nyírásmentes null-geodetikusok érintői, és legyen komplex skalár, hogy kielégíti a forrásmentes Maxwell-egyenleteket:Ekkor a Killing-spinor kielégíti a egyenletet, valamint a szimmetrikus spúrmentes tenzor a konform Killing-egyenletet • A Killing-tenzorra vonatkozó tételek:T.: 4 dimenziós téridőben max. 50 db lineárisan független kétindexes Killing-tenzor létezik (állandó görbületű terekben valósul meg).T.: Minden Petrov D típusú vákuum téridőben (a C-metrika és általánosításai kivételével) létezik Killing-tenzor

13. Geodetikus görbék vizsgálata • TEST (Traction of Events in Space-Time) (M. Johnston and R. Ruffini, 1974) A. Pierelli szobra

14. Marcel Grossmann díj Roy Kerr átveszi a Marcel Grossmann (MG11, 2006) díjat a 70. születésnapja alkalmából rendezett konferencián (Kerr Fest, Christchurch, 2004)

15. Geodetikus görbék – általános tulajdonságok • A θ mozgásΘ > 0, független ε,e és m-től- Q > 0:θ mozgás, mely metszi az egyenlítői síkot, cos(θ) = 0, és kiterjed a szimmetriatengelyig, sin(θ) = 0, ha Φ = 0 és Q+a2(E2-μ2) ≥ 0.θ = áll = 0 megoldás, ha Φ=0, Q+a2(E2-μ2)=0, mozgás a szimm.tengely mentén. - Q = 0:θ = áll = π/2, egyenlítői mozgás.θ = áll, ha Φ=0, a2(E2-μ2)=0. θ mozgás elegendően nagy energia, a2(E2-μ2) > Φ2, esetén az egyenlítői síkot egyik oldalról érintve, ami kiterjed a szimmetriatengelyig, ha Φ = 0.- Q < 0: nincs megoldás, kivéve, ha a2(E2-μ2) > Φ2 és Q ≥ -{[a2(E2-μ2)]1/2 - |Φ|}2 . Ekkor θ az egyenlítői síkot nem érintő tartományban mozog, ami kiterjed a szimmetriatengelyig, ha Φ = 0.

16. Geodetikus görbék – általános tulajdonságok • A radiális mozgásr4: E2 < μ2 esetén kötött pályák (szökési energia)r0: az r = 0 hiperfelület nem érhető el Q > 0 esetén. Az egyenlítői síkból sem érhető el a szingularitás miatt. Q=0 esetén az r = 0 felület a2(E2-μ2) > Φ2 esetén keresztezhető (θ mozgás).A gyűrűszingularitás (r = cos(θ) = 0) elérhető Q = 0 esetén,továbbá teljesülnie kell (r0 együtthatója alapján): Φ = aE, vagy e = 0 (Kerr).Idő és fényszerű geodetikusok esetén (μ2 ≥ 0) a Φ = aE egyenlőség nem kompatibilis a2(E2-μ2) > Φ2 -el, így a szingularitás egyenlítői mozgás esetén érhető el.e = 0: Boyel és Lindquist vizsgálta, adott imp.momentum és elegendően nagy energia esetén az idő és fényszerű geodetikusok elérik a szingularitást.e ≠ 0: r2 együtthatója pozitív: ε2 ≥ (1+a2/e2) μ2, elegendően nagy töltésű részecske esetén teljesül.ε = 0, μ2 > 0: csak Schw. esetben teljesíthető, időszerű görbék nem, de fényszerű görbék (ε = 0, μ= 0) elérik a szingularitást.

17. Geodetikus görbék • Radiális mozgás (e=0)Null-geodetikusok, (r,θ) sík, a=0.8, R(r = rs)=0Időszerű geodetikusok rs = 1.85, Q = 1.65 rs = 3, Q = 27 Q = 0 Q = -0.3 rs = 4 rs = 5.4

18. Geodetikus görbék • Egyenlítői mozgás, periodikus pályák (e = 0) (Levin és Perez-Giz, 2008)A mozgást jellemző frekvenciák:A periodikus pályákat racionális q, és így a (z,ω,v) számhármas jellemzi (a pályaperiódusa radiális periódus z-szerese, ∆φ = z ∆φr , 1 ≤ v ≤ z-1).Adott (z,ω,v), a és L esetén meghatározhatóE és a radiális fordulópontok, hogy zárt pályát kapjunk. a=0, L=3.98, E=0.973 a=0, L=3.72, E=0.966 a=0, L=3.83, E=0.979

19. Geodetikus görbék a=0, L=3.834, E=0.979 • Az általános mozgás közelíthető periodikus pályával,pl.: legyen ω+v/z = 1+1/3+δ, ahol δ≈1/100(perihélium elfordulás) • Adott a és L esetén qc ≤ q ≤ qmax teljesül, ahol qc a körpályához, míg qmax a max. energiájú kötött pályához tartozó érték.Newtoni határesetben ezek a határok 0-hoz tartanak (Kepler-ellipszis)

20. Geodetikus görbék • Kerr-geodetikusok(a=0.995) L=1.82 L=2

21. Gravitációs lencsézés {rS, θS, φS} {r0, θ0, φ0=0} • Fényelhajlás (gyenge, erős elhajlás)Mi a kapcsolatot a forrás képének {θ1, θ2} és pozíciójának {B1, B2} koordinátái között?A megoldás vezető rendje:aholθ≈ 0 esetén : elhajlás szöge sorfejtés εm és εa szerint, ahol, (J^2+Q)1/2 impakt paraméter a=0 esetén.

22. Einstein-gyűrűk • Ha B = 0 (forrás a lencse mögött):