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Reduktionen

Reduktionen. Def: L‘ · L (L‘ ist reduzierbar auf L) 9 berechenbares f : {0,1} * ! {0,1} * mit x 2 L‘ f (x) 2 L. Beh: Sei L‘ · L. Dann gilt: L‘ nicht berechenbar/rek. aufz. L nicht berechenbar/rek. aufz. Halteproblem mit leerem Band.

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Reduktionen

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Presentation Transcript

  1. Reduktionen • Def: L‘ · L (L‘ ist reduzierbar auf L) • 9 berechenbares f : {0,1}*! {0,1}* mit x 2 L‘ f (x) 2 L. • Beh: Sei L‘ · L. • Dann gilt: L‘ nicht berechenbar/rek. aufz. • L nicht berechenbar/rek. aufz.

  2. Halteproblem mit leerem Band • H0:= {<M>, M hält bei Eingabe } • zz: H · H0 • gesucht: Reduktionsfunktion f mit <M> x ` <Mx> • so dass gilt: • M gestartet mit x hält • Mx gestartet mit hält. • Also: H0 nicht entscheidbar. • Da H0 rek. aufz. ist, ist nicht rek. aufz.

  3. Unendlichkeitsproblem • L3 = {<M> | M hält für unendliche viele Eingaben} • z.z.: • gesucht: Reduktionsfunktion f: <M> <M‘> mit: • M gestartet mit hält nicht • <M‘> hält für unendl. viele Eingaben. • Also: L3 nicht rek. aufz.

  4. Post‘sches Korrespondenzproblem und kontextfreie Sprachen • PKP = {(x1, y1), … (xk, yk), xi, yi2+, • es gibt n ¸ 1 und (i1, …, in) 2 {1, …, k}n mit: • } • CF-Schnitt = {c(G1), c(G2), G1, G2 sind kontextfreie • Grammatiken mit L (G1) Å L (G2) ;} • Es gilt: PKP ist nicht entscheidbar. • zz: PKP · CF-Schnitt • Also: CF-Schnitt ist nicht entscheidbar.

  5. Weitere unentscheidbare Probleme • Satz von Rice. • Sei R die Menge aller partiellen berechenbaren Funktionen, • S sei nichttriviale Teilmenge von R, d.h. • Dann ist • nicht entscheidbar. • Bsp: - S = alle totalen berechenbaren Funktionen • Totalitätsproblem • - S = • - S = Menge aller partiellen Funktionen, die nur auf endlich vielen • Argumenten definiert sind. • L (S) = Endlichkeitsproblem

  6. Die Chomsky-Hierarchie • Eine Grammatik heißt kontextsensitiv oder vom Typ Chomsky-1, falls für jede Regel u ! v gilt: |u| · |v|. • Sie heißt kontextfrei oder vom Typ Chomsky-2, falls alle Regeln vom Typ u ! v mit u 2V sind. • Sie heißt regulär oder vom Typ Chomsky-3, falls alle Regeln vom Typ u ! v mit u 2V und • v2 {e} [  [ ( X V) sind. • ( Eine allgemeine Grammatik ist vom Typ Chomsky-0 .)

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