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二次函数中的动态问题探究

二次函数中的动态问题探究. —— 由一道中考题说开去. y. y. C. F. Q. E. D. A. B. O. O. x. x. M. 第 25 题图 2. 第 25 题图 1. 2011武汉市中考数学25题. 25. 如图 1, 抛物线 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ 3 经过 A( － 3,0),B( － 1,0) 两点 . （ 1 ）求抛物线的解析式；

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二次函数中的动态问题探究

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Presentation Transcript

  1. 二次函数中的动态问题探究 ——由一道中考题说开去

  2. y y C F Q E D A B O O x x M 第25题图2 第25题图1 2011武汉市中考数学25题 • 25.如图1,抛物线y＝ax2＋bx＋3经过A(－3,0),B(－1,0)两点. • （1）求抛物线的解析式； • （2）设抛物线的顶点为M,直线y＝－2x＋9与y轴交于点C,与直线OM交于点D．现将抛物线平移,保持顶点在直线OD上.若平移的抛物线与射线CD(含端点C)只有一个公共点,求它的顶点横坐标的值或取值范围； • （3）如图2,将抛物线平移,当顶点至原点时,过Q(0,3)作不平行于x轴的直线交抛物线于E,F两点.问在y轴的负半轴上是否存在点P,使△PEF的内心在y轴上.若存在,求出点P的坐标；若不存在,请说明理由.

  3. 2011武汉市中考数学25题 • 考题分析: • 此题是2011年武汉市中考的压轴题，与考试说明样题和四月调考题在领域、方向和情景等方面都有表面的相似和深刻的联系，但设问和立意不同，侧重想象力的考查，避免了知识的异化。第25题作为本卷的制高点，考查学生进一步学习的潜能，对想象力和严谨推理具有较高的要求，但在第(1)问，用待定系数法求函数解析式，却极其基本。在第(2)(3)问中,主要考查了抛物线的平移变换这样一个动态问题,以及几何综合知识的运用,需要学生具有较强的空间想象能力,很有区分度,体现了试题的选拔功能.

  4. 2011武汉市中考数学25题拓广探究

  5. 变式一： • 设原题中的抛物线顶点为M，与y轴相交于F点，直线MF交直线y=-2x+9于N，过N的直线BN⊥x轴，垂足为B，若抛物线的顶点沿着线段MN上运动，抛物线与BN的交点是P，设顶点的横坐标是m， • (1)用含有m的代数式表示点P的坐标 • (2)当m为何值时，PB有最小值？ • (3)当PB最小时，抛物线上是否存在一点Q，可使⊿M1NP与⊿M1NQ面积相等？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由. C N P F M1 O B ※改造说明:变式一在原题的基础上保留了抛物线和直线CD,改变了抛物线的平移方向,利用它来探究解决其它的问题. M

  6. H G E O F N 变式二 • (1)将原题中的直线OD绕着O点顺时针旋转90º,并同时向上平移一个单位,交y轴于点E,交x轴于点F,以EF为边向上作正方形EHGF．并将原抛物线作出关于x轴对称的抛物线y,它经过怎样的平移后会经过H,G两点? • (2) 若正方形以每秒1个单位长度的速度沿射线EF下滑，直至顶点H落在x轴上时停止．设正方形落在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围； • (3)若直线EF与平移后的抛物线对称轴 • 右侧的交点为N,当抛物线与正方形沿 • 直线EF的方向下滑至点H落在x轴上时, • 求出下滑过程中抛物线弧GN所扫过的面积. ※改造说明:变式二在原题的基础上将抛物线做了上下翻折的变换,同时将直线做了旋转变换,并且添加了一个运动的正方形,改变了抛物线平移的方向,利用它来探究其它的结论.

  7. 抛物线的动态问题拓广探究

  8. 在近几年全国的中考数学中,抛物线的动态问题都是各地压轴题的热点,抛物线的动态问题大致可以分为:动点运动型, 直线运动型, 图形运动型 抛物线运动型几类,现粗略分析如下:

  9. y y 1 1 1 1 A O A O B B x x D D C C 第25题图1 第25题图备用图 动点运动型： • （2011沈阳）如图，已知抛物线y=x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C（0，－3），对称轴是直线x=1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D． • ⑴求抛物线的函数表达式； • ⑵求直线BC的函数表达式； • ⑶点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限． • ①当线段PQ=AB时，求tan∠CED的值； • ②当以点C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．

  10. y y A A O O B B x x G C C D D 图1 图2 动点运动型： • （甘肃省天水市）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax 2＋bx＋c（a＞0）的图象顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB＝OC，tan∠ACO＝． • （1）求这个二次函数的表达式． • （2）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度． • （3）如图2，若点G（2，y)是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上的一动点，当点P运动到什么位置时，△AGP的面积最大？求此时P点的坐标和△AGP的最大面积．

  11. y D C x A O B 直线运动型： • （江西省、江西省南昌市）如图，抛物线y＝－x 2＋2x＋3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D． • （1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴； • （2）连结BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m． • ①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？ • ②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式．

  12. y C E B O P A x 直线运动型： • （辽宁省锦州市）如图，抛物线与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＞x2，与y轴交于点C（0，4），其中x1，x2是方程x 2－2x－8＝0的两个根． • （1）求这条抛物线的解析式； • （2）点P是线段AB上的动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E，连接CP，当△CPE的面积最大时，求点P的坐标； • （3）探究：若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q，使△QBC成为等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

  13. y y M M N C C B B P A D D O O E E x x (A) 图1 图2 图形运动型： • （海南省）如图1，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为（2，4）；矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD＝2，AB＝3． • （1）求该抛物线所对应的函数关系式； • （2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）． • ①当t＝时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由； • ②设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

  14. 图形运动型： • （2011•德州）在直角坐标系xoy中，已知点P是反比例函数（x＞0）图象上一个动点，以P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A． • （1）如图1，⊙P运动到与x轴相切，设切点为K，试判断四边形OKPA的形状，并说明理由． • （2）如图2，⊙P运动到与x轴相交，设交点为B，C．当四边形ABCP是菱形时： • ①求出点A，B，C的坐标． • ②在过A，B，C三点的抛物线上是否存在点M，使△MBP的面积是菱形ABCP面积的．若存在，试求出所有满足条件的M点的坐标，若不存在，试说明理由．

  15. 抛物线运动型： • (2011广西桂林)已知二次函数的图象如图. • （1）求它的对称轴与轴交点D的坐标； • （2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与轴，轴的交点分别为A、B、C三点，若∠ACB=90°，求此时抛物线的解析式； • （3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M，以AB为直径，D为圆心作⊙D，试判断直线CM与⊙D的位置关系，并说明理由.

  16. y y C1 C1 M N Q A A O O B B E x x F C2 C3 C4 P P 图（1） 图（2） 抛物线运动型： • （福建省宁德市）如图，已知抛物线C1：y＝a(x＋2)2－5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1． • （1）求P点坐标及a的值； • （2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式； • （3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．

  17. 归纳展望： • 纵观近三年全国各地的中考数学试题，函数的动态问题在压轴题中占有很大的比重，这足以让我们引起对这个内容的重视。不论是点动，线动，形动，其根本都是以动点来带动图形的变换的，我们应当抓住动点的特征作为动态问题的切入点。而抛物线的运动，我们一般都会以抛物线的顶点式解析式作为解题的切入点，来帮助我们找到解决问题的钥匙。问题中的动与静总是对立的，又是统一的，无论图形运动变化是哪一类问题，都真实地反映了现实世界中数与形的变与不变两个方面，从辩证的角度去观察、探索、研究此类问题，是一种重要的解题策略．而建立运动函数关系就更一般地、整体地把握了问题，许多相关问题就转化为求函数值或自变量的值．

  18. 归纳展望： • 解这类问题的基本策略是： • 1．动中觅静 • 这里的“静”就是问题中的不变量、不变关系，动中觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性． • 2．动静互化 • “静”只是“动”的瞬间，是运动的一种特殊形式，动静互化就是抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特殊问题，从而找到“动”与“静”的关系． • 3．以动制动 • 以动制动就是建立图形中两个变量的函数关系，通过研究运动函数，用联系发展的观点来研究变动元素的关系．

  19. 归纳展望： • 动态问题既是一类问题，也是一种观点与思维方法，运用动态问题的观点，可以把表面看来不同的定理统一起来，可以用来探求函数中的存在性问题，最值问题，几何中的相似问题、面积问题，定值等问题的方法；更进一步的推广来说，是对于一个数学问题，努力的去发掘更多结论，不同解法，通过弱化或强化条件来探讨结论的状况等等，这就是我们常说的“动态思维”．动态问题涵盖的内容非常广泛，即可以是四边形，也可以是全等形，相似形，还可以是函数问题，这也是它成为中考热点的原因，应该引起我们在教学中的足够重视，这同时也是我们确立参赛学案内容的原因。

  20. 感谢各位老师光临指正 武汉市二桥中学参赛团队

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