—— 电磁感应中能量转化与守恒问题解析

1. 青铜峡市一中 董国宏 高三复习专题讲座 ——电磁感应中能量转化与守恒问题解析

2. 解题的基本思路 理解功与能的关系 动能的改变 合力做功= 重力做功= 弹力做功= 电场力做功= 安培力做功= • 分析物体的受力情况及运动状态,依据牛顿第二定律,列方程. • 根据能量转化及守恒,列方程. 重力势能的改变。重力做正功，重力势能减少；重力做负功，重力势能增加。 弹性势能的改变。弹力做正功，弹性势能减少；弹力做负功，弹性势能增加。 电势能的改变。电场力做正功，电势能减少；电势能做负功，电势能增加。 电能的改变。安培力做正功，电能转化为其他形式的能；安培力做负功（即克服安培力做功），其他形式的能转化为电能。

3. 例1：如图1所示，两根足够长的固定平行金属光滑导轨位于同一水平面，导轨上横放着两根相同的导体棒ab、cd与导轨构成矩形回路，导体棒的两端连接处于压缩状态的两根轻质弹簧，两棒的中间用细线绑住，它们的电阻均为R，回路上其余部分电阻不计，在导轨平面内两导轨间有一竖直向下的匀强磁场，开始时，导体棒处于静止状态，剪断细线后，导体在运动过程中（ ） 解析： 因为回路中的磁通量发生变化（由于面积增大，磁通量增大），所以有感应电动势；由楞次定律判断，感应电流的方向是a—b—c—d—a ,用左手定则判断ab所受安培力向右，cd所受安培力向左，因平行金属导轨光滑，所以两根导体棒和弹簧构成的系统所受的合外力为零（重力与支持力平衡），所以动量守恒，但一部分机械能转化为电能，所以机械能不守恒，因此本题正确选项是A、D。 A：回路中有感应电动势 B：两根导体棒所受安培力的方向相同 C：两根导体棒和弹簧构成的系统动量守恒，机械能守恒。 D：两根导体棒和弹簧构成的系统动量守恒，机械能不守恒。

4. 例2：如图所示，位于同一水平面内的、两根平行的光滑金属导轨，处在匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨所在平面，导轨的一端与一电阻相连，具有一定质量的金属杆ab放在导轨上并与导轨垂直。现用一平行于导轨的恒力F拉杆ab，使它由静止开始向右运动。杆和导轨的电阻、感应电流产生的磁场均可不计。用E表示回路中的感应电动势，i表示回路中的感应电流在i随时间增大的过程中，电阻消耗的功率等于（ ） 解析：根据功和能的关系及能量守恒，正确的选项是B、D A：F的功率 B：安培力功率的绝对值 C：F与安培力的合力的功率 D：iE。

5. 例3：如图所示，固定的水平光滑金属导轨，间距为L，左端有阻值为R的电阻，处在方向竖直、磁感应强度为B的匀强磁场中，质量为m的导体棒与固定弹簧相连，放在导轨上，导体棒与导轨的电阻均可忽略，初始时刻，弹簧恰处于自然长度，导体棒具有水平向右的初速度V0,在沿导轨往复运动的过程中，导体棒始终与导轨垂直并保持良好接触。例3：如图所示，固定的水平光滑金属导轨，间距为L，左端有阻值为R的电阻，处在方向竖直、磁感应强度为B的匀强磁场中，质量为m的导体棒与固定弹簧相连，放在导轨上，导体棒与导轨的电阻均可忽略，初始时刻，弹簧恰处于自然长度，导体棒具有水平向右的初速度V0,在沿导轨往复运动的过程中，导体棒始终与导轨垂直并保持良好接触。 1）求初始时刻导体棒受到的安培力； 2）若导体棒从初始时刻到速度第一次为零时，弹簧的弹性势能为Ep，则这一过程中安培力所做的功W1和电阻R上产生的焦耳热Q1分别为多少？ 3）导体棒往复运动，最终将静止于何处？从导体棒开始运动直到最终静止的过程中，电阻R上产生的焦耳热Q各多少？

6. 解析： 1 1 2 2 • （1）用右手定则判断导体棒的感应电流方向从B向A，用左手定则判断导体棒受的安培力方向向左，感应电动势为E=BLV0，感应电流为I=E/R，安培力为F=BIL，所以F=B2L2V0）/R • （2）这一过程中导体棒的动能转化为弹簧的弹性势能和电路的电能（通过安培力做功），电路的电能通过电阻R转化为焦耳热，所以 W1=Q1= mv02-Ep • (3)只有导体棒的动能为零并且弹簧的弹性势能也为零，导体棒才能静止，所以最终将静止于初始位置，此时导体棒的动能全部转化为电阻R上产生的焦耳热，所以Q= mv02

7. M P a b V R2 Q N L • 例4： 图中MN和PQ为竖直方向的两平行长直金属导轨，间距L为0.40m，电阻不计，导轨所在平面与磁感应强度B为0.50T的匀强磁场垂直，质量m为6.0X10-3Kg、电阻为1.0Ω的金属杆ab始终垂直于导轨，并与其保持光滑接触。导轨两端分别接有滑动变阻器和阻值为3.0Ω的电阻R1。当杆ab达到稳定状态时以速度v匀速下滑，整个电路消耗的电功率P为0.27W，重力加速度取10m/s2，试求速率V和滑动变阻器接入电路部分的阻值R2 R1

8. 1 1 R1 R2 解析： • 在杆ab达到稳定状态以前，杆加速下降，重力势能转化为动能和电能，当杆ab达到稳定状态（即匀速运动）时，导体棒克服安培力做功，重力势能转化为电能，即电路消耗的电功，所以mgv=P，代入数据得v=4.5m/s，感应电动势E=BLV，感应电流为I=E/(R外+r),其中r为ab的电阻，R外为R1与R2的并联电阻，即 = + ，又P=IE，代入数据，解得R2=6.0Ω。 1 R

9. a θ R b θ • 例5：如图所示，处于匀强磁场中的两根足够长、电阻不计的平行金属导轨相距1m，导轨平面与水平面成θ=37o角下端连接阻值为R的电阻，匀强磁场方向与导轨平面垂直，质量为0.2kg、电阻不计的金属棒放在两导轨上，棒与导轨垂直并保持良好接触，它们之间的动摩擦因数为0.25。 • （1）求金属棒沿导轨由静止开始下滑时的加速度大小；（2）当金属棒下滑速度达到稳定时，电阻R消耗的功率为 8W，求该速度的大小； • （3）在上问中，若R=2Ω，金属棒中的电流方向由a到b，求磁感应强度的大小和方向。（g=10m/s2,sin37o =0.6, • cos37o =0.8）

10. 解析： • （1）作受力分析，根据牛顿第二定律，得： • Mgsinθ-mgcosθ=ma • 代入数据，解得： a=4m/s2 • 2)当金属棒下滑速度达到稳定时，金属棒重力势能一部分克服摩擦力做功，转化为内能，另一部分克服安培力做功，转化为电能，它等于电路中电阻R消耗的电功，设速度为v，在∆t时间内，根据能量守恒，有： mgV∆t.sinθ=μmgcosθ.vt+P∆t • 代入数据，解得：V=10m/s • （3）根据P=I2R及I=BLV/R解得B=0.4T，用右手定则判断磁场方向垂直导轨平面上。

11. A V A M N • 例6：如图所示，电动机牵引一根横跨在竖直光滑导轨上的导体棒MN，开始时导体棒静止，长度L=1m，质量m=0.1kg，电阻R=1Ω，导体框架区域内有垂直于导轨面的匀强磁场，B=1T，当导体棒上升3.8m时获得稳定的速度，棒上产生的热量为2J，电动机牵引棒时，电压表、电流表读数分别为7V、1A，电动机的内阻为r=1Ω,不计框架电阻及一切摩擦，g取10m/s2,求： • 1)棒能达到的稳定速度 • 2）棒从静止开始达到稳定速度所需要的时间

12. 1 2 BLV R 解析: • (1)导体棒在电动机牵引下向上加速运动,当达到稳定状态时匀速运动,电动机的输出功率为 • P出=UI-I2r=7X 1W-12X 1W=6W • 设电动机对导体棒的牵引力为FT,棒匀速运动的速度为V,由功率定义 • P出= FTV • 此时棒产生的电动势为E= BLV , I = • 棒的合外力为零,则有: FT-mg-BIL=0 • 由以上式子解得: V=2m/s • (2)上升达支最大速度过程中,由能量守恒 • P出 t= mgh + mv2 + Q • 代入数值得: t= 1s

13. 归纳总结 在同一水平面内，重力势能不变，动能与电能之和守恒，如例3：物体做匀速运动时，其动能不变，势能与电能之和守恒，如例1和例4；如果再有克服摩擦力做功，则势能、内能之和守恒，如例5，在电磁感应现象中，机械能不守恒。