תמונה בעין מתמטית סדרת פיבונאצ'י

1. תמונה בעין מתמטית סדרת פיבונאצ'י מגישים: שיר גורן, איליי בניאן, שירה אינברטוניתאי יניב מורה: אירנה דהן כיתה: ז'2 בית ספר דה שליט חטיבה ב'

2. סמל העיר רחובות הסתכלנו על סמל העיר רחובות, וראינו כי סמל העיר רחובות מורכב ממגן שבו נראים שני תפוזים תלויים מענף, מגן דוד קטן, מיקרוסקופ וספר פתוח. הסמל נבחר כמייצג את העיר ששימשה מרכז לתעשיית הפרי ההדר, כעיר מדע שבה שוכן מכון ויצמן וכיישוב המייחס חשיבות רבה לחינוך.בעבודה זו רצינו לחבר בין זוג התפוזים והמיקרוסקופ :ענפי עץ פרי הדר המסמלים את סדרת פיבונאצ'י.

3. התמונות שבחרנו: עצי פרי הדר ברחובות: בפרדסי מכון ויצמן באתר הפרדסנות ע"ש מינקוב (פרדס מינקוב)

4. רחובות עיר ההדרים בשנת 1904ניטע ברחובות הפרדס הראשון על ידי זלמן מינקוב, חלוץ הפרדסנות ברחובות. מינקוב העסיק פועלים עבריים בלבד, ופרדסו היה מעין אכסניה לפועלים ולפגישות של אנשי העלייה השנייה. אחריו נטעו פרדסים גם משה סמילנסקי, אליעזר יעקובזון וי. פיינשטיין, בנוסף לפרדסים שניטעו ב"אדמת יאסין". החל משנת 1925 נטעו איכרים רבים באזור החוף פרדסים. הסיבה לכך היתהכלכלית: מחירי ההדרים באירופה עלו כתוצאה מההכרה בחשיבותו של ויטמין C . דבר זה הביא את האיכרים להכרה שעתיד החקלאות נמצא בהדרים וכי יש להשקיע בענף זה.

5. לאונרדו מפיזה – פיבונצ'י פיבונאצ'י, לאונרדו מפיזה, (1170 - 1250), היה מתמטיקאי איטלקי. הכינוי פיבונאצ'י, שניתן לו לאחר מותו, משמעותו "בנו של בונאצ'י", על שם אביו שכונה בונאצ'י. התפרסם בעיקר בשל תרומתו למעבר לשיטת הספירה על בסיס עשרוני כאשר היה הראשון שפרסם אותה במערב אירופה, וכן בשל סדרת המספרים שהגדיר, הקרויה על שמו - סדרת פיבונאצ'י.

6. סדרת פיבונאצ'י במתמטיקה, סדרת פיבונאצ'י היא הסדרה שאיבריה הראשונים הם:  1,1,2,3,5,8,13,21,34,55... המספרים בסדרה נקראים מספרי פיבונצ'י. איבריה הראשונים של הסדרה הם 1 ו-1 וכל איבר אחר בה שווה לסכום שני קודמיו. הסדרה מוגדרת ברקורסיה על ידי נוסחת נסיגה ותנאי ההתחלתי. היא קרויה על שם לאונרדו מפיזה, הידוע בכינוי "פיבונאצ'י", שתיאר אותה לראשונה באירופה בספרו "ספר החשבונייה" בשנת 1202(קדמו לו מתמטיקאים הודים). שם הסדרה הוענק לה על ידי אדוארד לוקאס. פיבונצ'י השתמש בסדרה כדי לתאר את מספר הצאצאים של זוג ארנבים אחד, אם מניחים שכל זוג ארנבים שהגיע לגיל חודשיים ממליט מדי חודש זוג נוסף. באוכלוסייה כזו, מספר זוגות הארנבים בחודש ה- nיהיה שווה לסכום שני איבריו הקודמים(n-1 ו n-2). למעט הסדרות החשבוניות וההנדסיות, ושילובים שלהן, סדרת פיבונאצ'י היא הדוגמה הפשוטה ביותר לסדרה המוגדרת ברקורסיה.

7. מספרי פיבונאצ'י ויחס הזהב היחס בין שני איברים עוקבים של סדרת פיבונאצ'ישואף ליחס הזהב: מספר אי-רציונלי שערכו ...1.61803398, כפי שהראה לראשונה יוהנס קפלר. יחס הזהב מושג בקירוב טוב כבר באיבר ה-11 של סדרת פיבונאצ'י: ובאיבר ה-16 הדיוק משתפר לרמה של 5 ספרות אחרי הנקודה העשרונית. חלק סופי משבר אינסופי זה הוא יחס בין שני מספרי פיבונאצ'יעוקבים, אם קוטעים את החישוב במקום המתאים. לדוגמה, עבור האיברים 3 ו-5 השבר מקבל את הערך 1.618.

8. סדרת פיבונצ'י בטבע סדרת פיבונצ'י מופיעה פעמים רבות בטבע בצורות שונות ומגוונות. • מבנה צורת הענפים בעצים שונים(יחס המספרים מתייחס לכל העץ וגודל המספרים מתייחס לענף יחיד).

9. ריבוי הדבורים בכוורת • צורת השבלול • זרעי חמנייה

10. ריבוי השפנים כך ש: לזוג ארנבות שרק נולד לוקח חודש להיות בוגרים וחודש נוסף עד שהארנבת מתחילה להמליט. הארנבת ממשיכה להמליט כל חודש זוג נוסף. מצא פיבונצ'י את הסדרה (1,1,2,3,5,8,13,21,34,55...)

11. משימה ראשונה א. השלימו את הטבלה על פי סדרת פיבונצ'י ב. מצאו את הקשר בין האיברים ( חוק הסדרה). ________________________________________________________________________________________________________________________

12. פתרון– משימה ראשונה ב.חוק הסדרה (סדרת פיבונצ'י) הוא שכל איבר החל מהאיבר השלישי שווה לסכום שני איבריו הקודמים. an=an-2+an-1

13. משימה שנייה • ניתן באמצעות מספרי פיבונצ'י למצוא סכום של מספרים בזריזות. האם תוכלו לגלות כיצד? • חברו את עשרת מספרי פיבונצ'י הבאים: • 1+1+2+3+5+8+13+21+34+55 • כעת מצאו את שני האברים הבאים בסדרה (כלומר את האיבר ה- 11 וה - 12). • האם אתם יכולים כעת לנחש מהו הכלל למציאת סכום מספרים עוקבים בסדרת פיבונצ'י? • מהו סכום 14 המספרים הראשונים העוקבים בסדרת פיבונצ'י לפי כלל זה?

14. פתרון-משימה שנייה • 143 = 1+1+2+3+5+8+13+21+34+55 • האיבר ה-11 של הסדרה הוא 89 והאיבר ה- 12 הוא 144. • כלומר האיבר ה-12 הוא סכום עשרת האיברים הראשונים ועוד1. • לכן הכלל הוא: • בכדי למצוא את הסכום של n מספרים רצופים בסדרת פיבונאצ'י (החל מהאיבר הראשון) נמצא את שני האיברים הבאים בתור לאחר האיבר ה- n, ונפחית ממנו 1. • לכן סכום 14 האיברים הראשונים בסדרת פיבונאצ'י יהיה: • ? = 1+1+2+3+5+8+13+21+34+55+89+144+233+377 • נמצא את האיבר ה-15 : 233+377 = 610  • נמצא את האיבר ה-16 : 377+610= 987 • ולכן סכום 14 האיברים הראשונים הוא 987-1 = 986.

15. משימה שלישית 1. רשום שלושה מספרים עוקבים מסדרת פיבונצ'י 2. כפול את הקטן בגדול. 3. כפול את האמצעי בעצמו. 4. חסר את המכפלה הקטנה מן הגדולה, מה קבלת? 5. נסה מספרים נוספים- מה קבלת? 6. נסח את מסקנתך.

16. משימה שלישית - דוגמה 1. ניקח את המספרים 2,3,5 2. 5*2 = 10 3. 3*3 = 9 4. 10-9 = 1 ............... 6. מסקנתנו היא שההפרש בין המכפלות הנ"ל שווה תמיד ל-1.

17. תודה לכל מי שעזרו לנו אירנה דהן מורתנו למתמטיקה שעזרה ותמכה בנו לאורך כל התהליך. שיר גורן שסיכמה על האתרים. איליי בניאן שעזר למצוא שאלות . שירה אינברט- פומפן שחשבה על הנושא. ניתאי יניב שצילם ועזר.