--- 第三次数学危机

1. 悖论的产生 ---　第三次数学危机

2. 数学史上的第三次危机，是由1897年的突然冲击而出现的，到现在，从整体来看，还没有解决到令人满意的程度。这次危机是由于在康托的一般集合理论的边缘发现悖论造成的。由于集合概念已经渗透到众多的数学分支，并且实际上集合论成了数学的基础，因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑。数学史上的第三次危机，是由1897年的突然冲击而出现的，到现在，从整体来看，还没有解决到令人满意的程度。这次危机是由于在康托的一般集合理论的边缘发现悖论造成的。由于集合概念已经渗透到众多的数学分支，并且实际上集合论成了数学的基础，因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑。

3. 1897年，福尔蒂揭示了集合论中的第一个悖论。两年后，康托发现了很相似的悖论。1902年，罗素又发现了一个悖论，它除了涉及集合概念本身外不涉及别的概念。罗素悖论曾被以多种形式通俗化。其中最著名的是罗素于1919年给出的，它涉及到某村理发师的困境。1897年，福尔蒂揭示了集合论中的第一个悖论。两年后，康托发现了很相似的悖论。1902年，罗素又发现了一个悖论，它除了涉及集合概念本身外不涉及别的概念。罗素悖论曾被以多种形式通俗化。其中最著名的是罗素于1919年给出的，它涉及到某村理发师的困境。

4. 理发师悖论 • 古代欧洲某国家有一个小市镇，镇上居民不多，所以理发师也只有一人。镇上有一条不成文的法则，规定：凡是自己不给自己理发的人，由理发师去理；同时又规定：理发师只能去剃自己不给自己理发的人的头。 • 规定得如此明确，可谓万无一失矣。可是，问题来了，理发师自己的头由谁来剃呢? • 如果他自己不剃头，那么按 照法规，他应该请理发师(也就是他自己)去剃；如果他自己剃头，那么按照规定，他又不应该让理发师(即他自己)去剃。 • 结果是剃也不是，不剃也不是了。 • 这是有名的逻辑学家罗素(R．A．W.Russll，1872－1970)在1918年引述的一个逻辑悖论。毛病出在法规本身制订得不合理。其实质在于，该法规把小镇上的全体居民截然分成两类，一类是自己替自己理发的人，一类是自己不替自己理发的人。结果使理发师本人无法归入哪一类。

5. 罗素悖论使整个数学大厦动摇了。当时著名的数学家弗雷格在收到罗素的信之后，在他刚要出版的《算术的基本法则》第２卷末尾写道："一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了，即在工作完成之时，它的基础垮掉了，当本书等待印出的时候，罗素先生的一封信把我置于这种境地"。于是终结了近12年的刻苦钻研。

6. 选举悖论 • 从甲、乙、丙三个候选人中要产生一个学生会主席。民意测验表明：有2／3的学生认为甲比乙合适，有2／3的学生认为乙比丙合适。这种情况下，你是否认为甲当选的希望最大呢? • 对此，你一定感到很惊奇。这说明“好恶”关系是不具有传递性的。 • 选举悖论又称为阿洛悖论。美国经济学家肯尼思．阿洛(K。Arrow)根据这一悖论及其他依据证明了一个十全十美的选举方法在原则上是不存在的。

7. 芝诺诡辩 • 设阿溪里(希腊神话中善行走的神)每小时行走10公里，乌龟每小时爬1公里。现在，阿溪里在乌龟之后10公里，乌龟往前爬，而阿溪里在后面追。 • 1小时之后，当阿溪里走了10公里，到达乌龟原来的位置A1，此时，乌龟已爬到前面1公里的A2处。 • 再过 1/10小时后，阿溪里追到A2处，而此时乌龟却又爬到A2前面1/10公里的A3处。 • 再过1/100小时后，阿溪里追到A3处，而此时乌龟却又爬到A3前面1/100公里的A4处。 • …… • 所以，阿溪里永远追不上乌龟!你认为对不对?

8. 分析 • 这当然是不对的。其错误在于：把阿溪里追赶乌龟的路程任意地分割成无穷多段，而且认为，要走完这无穷多段路程，就非要无限长的时间不可。其实，即使按照这种分段方法，走完第一段路程需1小时，走完第二段路程需1/10小时，走完第三段路程需1/100小时……这样，追上乌龟的时间恰恰是有限数： (小时)。 • (根据高中里将学到的无穷递缩等比数列知识，可以严格地推证) • 这同算术、代数方法求得的结果是一致的。 • 这个诡辩是公元前5世纪古希腊哲学家芝诺(Zeno)提出的。芝诺一共提出四则诡辩，以这一则为最著名。芝诺诡辩的提出，显示了古希腊人已经接触到“无限”思想。

9. 谎话悖论 • 美国逻辑学家雷蒙德·斯穆里安还记得他小时候一次受骗的经历。那天正是愚人节，哥哥埃米尔对他说：“喂，弟弟，今天是愚人节。你向来没让人骗不定期，今天我要骗骗你啦！”于是，斯穆里安严阵以待，可是整整等了一天，哥哥一直不动声色。最后妈妈只好要求哥哥来骗骗他。兄弟俩在深夜展开了一场有趣的对话： • 哥哥：这么说，你是盼我骗你喽？ • 弟弟：是啊。 • 哥哥：可我没骗你吧？ • 弟弟：没有啊。 • 哥哥：而你是盼我骗的，对不？ • 弟弟：对啊。 • 哥哥：这不得了，我已经把你给骗了！ • 弟弟到底有没有受骗呢？一方面，如果他没有受骗，那么他就没有盼到他所盼的事，因此他就受了骗。哥哥正是这样认为的。不过，从另一方面看，如果他受了骗，那么他就明明盼到了他所盼的事，既然如此，又怎么谈得上他受了骗呢？说受骗了其实没受骗，说没受骗却说明他受骗了，到底他受骗了没有？ • 这便是逻辑学上的悖论！悖论的奇特之处在于，你沿着一条无懈可击的推理思路往前走，看似步步春风得意，结果却发现自己已陷入四面楚歌的矛盾之中

10. 只缘身在此山中 不识庐山真面目

11. 小结 • 1、承认无穷集合，承认无穷基数，就好像一切灾难都出来了，这就是第三次数学危机的实质。尽管悖论可以消除，矛盾可以解决，然而数学的确定性却在一步一步地丧失。现代公理集合论的大堆公理，简直难说孰真孰假，可是又不能把它们都消除掉，它们跟整个数学是血肉相连的。所以，第三次危机表面上解决了，实质上更深刻地以其它形式延续着。

12. 悖论的重要作用 • 它的出现促进了现代数学的一个重要分支-----数理逻辑的发展，它使得康托的集合理论建立在更坚实的基础之上，数学大厦的基础十分坚实而稳固。