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7 .5一阶电路全响应的两种分解

7 .5一阶电路全响应的两种分解. 电工技术. 由上一节我们知道一阶电路全响应的公式为 （ 7 -10） 式中的响应有两部分组成，其中第一项是常量，为电路的稳态响应；第二项是与时间相关的量，为电路的暂态响应。即：全响应=稳态响应+暂态响应 式（ 7 -10）还可以整理为

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7 .5一阶电路全响应的两种分解

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Presentation Transcript

  1. 7.5一阶电路全响应的两种分解 电工技术 • 由上一节我们知道一阶电路全响应的公式为 （7-10） • 式中的响应有两部分组成，其中第一项是常量，为电路的稳态响应；第二项是与时间相关的量，为电路的暂态响应。即：全响应=稳态响应+暂态响应 • 式（7-10）还可以整理为 • （7-11） • 上式中，当y(0+)=0时， ，说明 • 这一项是在储能元件初始储能为零时，由外加激励产生的响应，这种响应我们称为零状态响应。

  2. 电工技术 • 而当y(∞)=0时， ，这也说明了 这 • 一项是在没有外加激励电源，仅由储能元件的初始储能产生的响应，当储能释放完后，电路中的电压、电流均为零，即稳态值为零，这种响应我们称为零输入响应。 • 因此，一阶电路的全响应还可分解为零输入响应和零状态响应，即：全响应=零输入响应+零状态响应 • 这也就是说初始状态不为零而又有外加激励的全响应可以看作是零输入与零状态的叠加。这实际上也是叠加原理在一阶动态电路的应用，可以分别求出电路的零输入响应和零状态响应，然后相加就可求得电路的全响应。 • 从以上分析我们可以知道，电路的全响应即可分解成暂态响应和稳态响应，又可以分解为零输入响应和零状态响应。前者是着眼于电路的工作状态，后者是着眼于激励与响应之间的因果关系，便于计算。

  3. 电工技术 • 图6-15画出了两种分解后的曲线，它们的叠加都得到全响应。 • 由于零输入响应和零状态响应可以看做是在零输入和零状态下的全响应，所以它们的求解方法一样可以采用三要素法。 • 图6-15 全响应的分解 图6-16 例6.8图

  4. 电工技术 • [例6.8]电路如图7-16所示，已知US =20V，R1=5Ω，R2=4Ω，R3=3Ω，C =0.1F。试用三要素法求S打开后i1、i2、i3和uC的零输入响应，并画出它们的响应曲线。 • 解：（1）求初始值。

  5. 电工技术 • （2）求稳态值。 • 电路打开后，电容储存的能量开始释放，当放电完后，电路也就达到新的稳态值，所以 • uc(∞)=0 • （3）求时间常数。 • =（3+4）×0.1=0.7s • （4）根据三要素公式，得 i1=0

  6. 电工技术 • (a)i2 、i3 (b) uC • 图6-17 、和随时间变化的曲线

  7. 电工技术 • 图6-17画出了i2、i3和uC随时间变化的曲线，由曲线可以看出i2、i3和uC都是按照同样的指数规律从它们各自的初始值逐渐衰减到零的。这个规律同样可适用于RL电路的零输入响应，大家可自行分析。 • 由以上计算可知，一阶电路零输入响应的一般公式为 • （6-12） • 所以，当电路只存在零输入响应时，只需求出各电流、电压的初始值和电路的时间常数，代入上式即可求得各电流电压的零输入响应。 • [例6.9]电路如图6-18所示，已知US =10V，R1=3Ω，R2=2Ω，L=1H，试求S闭合后i1、i2、iL和uL的零状态响应

  8. 电工技术 • 解：（1）求初始值 • 由于S闭合前电感没有 • 储能，所以 iL(0_)=0 • 根据换路定律有 iL(0_)=iL(0+)=0 • （2）求稳态值。 • 电路稳定时电感相当于短路，所以

  9. 电工技术 • （3）求时间常数。 • （4）根据三要素公式，得 • 由计算过程可知，只有当初始状态为零时，零状态响应的公式为 • （6-13） • 这样，当电路只存在零状态响应时，由于换路后储能元件的iL或uC不能发生跃变，初始状态为零，所以可以利用式（6-13）进行计算。而对于电路的其它元件，则要按三要素的一般公式进行计算。

  10. 6.6正弦激励下一阶电路的全响应 电工技术 • 前面我们介绍的都是直流激励下一阶电路的响应，实际上正弦激励的情况也是经常用到，这一节将以一阶电路为例，来讨论正弦激励下一阶电路的全响应。 • 如图7-19所示的RC一阶串联电路中，t=0时开关S合上，uS=Usmsin（ωt+ψS）V，uC（0+）=U0，由基尔霍夫电压定律，得 • 由于 ， ，uS=Usmsin（ωt+ψS），代入上式，得 • +Usmsin（ωt+ψS） （6-14）

  11. 电工技术 • 其解也是由通解 和 • 特解 两部分组成，即 • （6-15） • 先求通解，与该方程相应的 • 齐次方程为 ， • 可写出其特征方程为 • 故特征根为 • 于是通解 • （6-16） • 式中，A为待定系数。

  12. 电工技术 • 特解的形式取决于电源激励的类型。当激励为正弦激励时，其特解为相同频率的正弦函数，即 • = Ucmsin（ωt+ψu） （6-17） • 式中，Ucm、ψu为待定系数。所以 • uC= + Ucmsin（ωt+ψu） （6-18） • 将uC（0+）=U0代入式（7-18），得 • A= U0- Ucmsinψu • 所以 • uC =（ U0- Ucmsinψu） + Ucmsin（ωt+ψu ) （6-19）

  13. 电工技术 • 下面来确定Ucm、ψu。 • 将式（6-17）代入式（6-14），得 ωRCUcmcos（ωt+ψu） + Ucm= Usmsin（ωt+ψS）（6-20） • 令 Ksinθ=ωRC Ucm （6-21） • K cosθ=Ucm （6-22） • 则式（6-18）变为 • Ksinθcos（ωt+ψu）+K cosθsin（ωt+ψu）= • Usmsin（ωt+ψS） • 利用三角公式，上式可写为 • Ksin（ωt+ψu+θ）= Usmsin（ωt+ψS） • 所以， • K =Usm ，ψu+θ=ψS （6-23）

  14. 电工技术 • K、θ的值可由式（6-21）、（6-22）求得 • θ=arctgωRC ， • 代入式（6-23），整理计算得 • ψu=ψS-θ=ψS- arctgωRC （6-24） • 所以uC(t)的最终解为 • （6-25）

  15. 电工技术 • 由式（6-25）可看出： • （1）经过后，暂态过程结束，电路进入稳态，稳态响应是与激励频率相同的正弦函数。 • （2）当，暂态分量为零，电路直接进入稳态。 • [例6.10] 电路如图6-20（a）所示，已知uS=18sin10 t （V），R1=3kΩ，R2 = 6kΩ，R3=2kΩ，C =100μF，设换路前电容没有储能，试求S闭合后的和。

  16. （a） （b） • 图6-20 例6.10图 • 解：由题意可知 = =0 • 用戴维南定理将原电路等效为图6-20（b）。

  17. 图中 uOC= uS=12sin10t • R= R3+ R1// R2=4 kΩ • 这样可用式（6-25）来计算uC。 • ψu=ψS - arctgωRC= -arctg（10×4×103×100×10-6） • =760 • uC=（ U0- Ucmsinψu ） + Ucmsin（ωt+ψu） • =（0-2.9sin760） +2.9sin(10 t+760) • = -2.8 +2.9sin(10 t+760) V • iC= =0.7 +2.9cos(10 t+760) (mA)

  18. 6.7 RC微分电路与RC积分电路 电工技术 • 在前面分析中，我们知道由RC构成的一阶电路响应主要是由于电容的充放电而产生的，充放电的速度取决于电路的时间常数。在实用电子技术中也会经常利用RC电路的一阶响应，例如常用RC串联电路实现对输入脉冲信号的微分或积分运算，构成微分电路或积分电路，达到波形变换的目的，在电路输出端得到的变换波形与输出变量的选择、时间常数都有很大的关系。本节主要是介绍RC积分电路和微分电路的组成及运用。

  19. 电工技术 • 6.7.1 RC微分电路 • 图6-21所示RC串联电路中,电路的输出电压取自电阻,在输入端输入矩形脉冲 • 电压, 脉冲宽度为tP， • tP=T/2>> ，如图6-22所示。 • 图6-21 RC微分电路 图6-22 微分电路输入输出电压波形

  20. 电工技术 • 下面来分析在脉冲激励信号作用下输出电压的响应。为分析方便，假设电容的初始储能为零。 • uC(0+)=uC(0-) =0，u0(0+)=Uim • 当0<t≤T/2时，电容开始充电，电容电压按指数规律上升，而输出电压按指数规律下降，上升或下降的速度取决于电路的时间常数，由于tP>> ，所以在很短时间内上升uC至Uim，而输出电压u0下降为零。 • 当ui由Uim变为零时，电容电压不能突变，仍然等于Uim，由电路可知此时的u0= -Uim。 • 这样，在T/2<t≤T时，电容开始放电，由于tP>> ，所以在很短时间内电容放电结束，由Uim迅速下降为0，而输出电压u0由-Uim迅速上升为零。 • 上述电路响应过程可用图6-22表示。

  21. 电工技术 • 从图中可看出： • （1）在tP>>τ的情况下，uC≈ui，所以 • （6-26） • 上式说明输出电压u0与输入电压ui的微分成正比，实现了对输入的微分运算，故该电路称为微分电路。 • （2）微分电路将输入的矩形脉冲波转换成尖脉冲输出，实现了波形变换。尖脉冲信号在电子技术中常用作可控硅元件的触发信号。 • （3）时间常数越小，RC充放电速度越快，uC越接近输入ui，微分关系越正确。所以输出电压取自电阻的RC串联电路构成微分电路的条件是tP>>τ。

  22. 电工技术 • [例6.11]如图6-23（a）所示的微分电路中，输入电压ui的波形如图6-23（b）所示， • R=300kΩ，C =0.1μF， • 请画出输出电压uO的波形。 • （a）RC微分电路 （b）输入输出电压波形 • 图6-23 例6.11图

  23. 电工技术 • 6.7.2 RC积分电路 • 图6-24所示RC串联电路中,电路的输出电压取自电容,在输入端输入矩形脉冲电压, 脉冲宽度为tP，τ>> tP=T/2，如图6-25所示。 图6-24 RC积分电路 图6-25 积分电路输入输出电压波形

  24. 电工技术 • 下面来分析在脉冲激励信号作用下输出电压的响应。为分析方便，同样假设电容的初始储能为零。 • uC(0+)=uC(0-) =0，uO(0+)=0 • 当0<t≤T/2时，电容开始充电，输出电压uO=uC按指数规律上升，由于τ>> tP，所以电容充电速度很慢，在整个T/2时间，只充得很小的一部分，输入电压几乎全加在电阻上。 • 在T/2<t≤T时，ui由Uim变为零，电容电压不能突变，电容从原先充得的数值开始放电，放电速度也是很慢，输出电压下降幅度不大。 • 由于电容充放电速度很慢，所以相应的充放电曲线也接近直线，如图6-25所示。

  25. 电工技术 • 从图中可看出： • （1）在τ>> tP的情况下，uR≈ui，所以 • （6-27） • 上式说明输出电压uO与输入电压ui的积分成正比，实现了对输入的积分运算，故该电路称为积分电路。 • （2）积分电路将输入的矩形脉冲波转换成三角波输出，实现了波形变换。 • （3）时间常数越大，RC充放电速度越慢，uR越接近输入ui ，积分关系越正确。所以输出电压取自电容的RC串联电路构成积分电路的条件是τ>> tP。

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