空间两个平面

1. 9.6.1 两个平面垂直的判定与性质（一） 空间两个平面 二 面 角

2.      二　面　角 

3. 复习回顾 1.在平面几何中"角"是怎样定义的？ 从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。 或: 一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角。

4. 2.在立体几何中,"异面直线所成的角"是怎样定义的？ 直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O,分别引直线a' //a, b'// b,我们把相交直线a' 和 b'所成的锐角 （或直角）叫做异面直线所成的角。 3.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎样定义的？ 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角, 叫做这条直线和这个平面所成的角。

5. 水平面 拦洪坝 异面直线所成的角、直线和平面所成的角与有什么共同的特征？ 它们的共同特征都是将三维空间的角转化为二维空间的角,即平面角。

6. 1.二面角的定义 一条直线上的一个点把这条直线分成两个部分，其中的每一部分都叫做射线。 一个平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中的每一部分都叫做半平面。

7. B O A 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。 这条直线叫做二面角的棱。 这两个半平面叫做二面角的面。 B Q P l  A  平面角由射线--点--射线构成。 二面角由半平面--线--半平面构成。 二面角的表示

8. E A F B A D C B    C B  D l A 2.二面角的画法 二面角－ l－  二面角－AB－  二面角C－AB－ D 5

9. A 边 顶点 O B 边 角 二面角 A  面  a 棱 图形 B 面 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。 从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。 定义 构成 边—点—边 （顶点） 面—直线—面 （棱） 二面角—l— 表示法 ∠AOB 或二面角—AB—

10. O1 O ？ 3.二面角的度量 以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。 二面角的大小用它的平面角来度量  B1 B l  A1 A ∠A O B ∠A1O1B1

11. 1）角的顶点在棱上 2）角的两边分别在两个面内 3）角的边都要垂直于二面角的棱 注意： 二面角的平面角必须满足： 平面角是直角的二面角叫做直二面角 二面角的大小的范围:

12. A D’ C’ A’ B’ D B D C C A B  B  D C A 练习： 指出下列各图中的二面角的平面角： l AC⊥l O 二面角--l-- O O E 二面角B--B’C--A 二面角A--BC--D BD ⊥l

13.  l  4.二面角的平面角的作法： 1、定义法 根据定义作出来 2、垂面法 作与棱垂直的平面与 两半平面的交线得到

14. 3、三垂线定理法 借助三垂线定理或 其逆定理作出来

15. 5.二面角的计算： 1、找到或作出二面角的平面角 2、证明1中的角就是所求的角 3、计算出此角的大小 一“作”二“证”三“计算” 例1 例2

16. 例1、已知锐二面角－l－，A为面内一点，A到 的距离为2 ，到l 的距离为4；求二面角－ l－  的大小。 ∴AO=2 ，AD=4  l  解： 过 A作 AO⊥于O，过 O作 OD⊥ l 于D，连AD则由三垂线定理得AD⊥ l ∴∠ADO就是二面角 － l－  的平面角 ∵ AO为A到的距离 ， AD为A到 l 的距离 A 在Rt△ADO中， AO AD ∵sin∠ADO= D O ∴ ∠ADO=60° ∴二面角－ l－  的大小为60 °

17. ∵ BD=1 ∴ AO=1，在△OAC中，AC=2， ∴ 在Rt △COD中，DO=AB=3 例 2 如图，已知A、B是120的二面角—l—棱l上的两点，线段AC，BD分别在面，内，且AC⊥l，BD⊥l ，AC=2，BD=1，AB=3，求线段CD的长。 E  l B  D C O 解：在平面内，过A作AO⊥l ，使 AO=BD, A 连结CO、DO, 则∠OAC就是 二面角—l—的平面角，即 ∠OAC＝120， ∵BD⊥l ∴ AO∥BD，∴四边形ABDO为矩形, ∴ DO∥ l，AO=BD ∵AC⊥l ， AO⊥l ， ∴ l ⊥面CAO∴DO⊥面CAO,又CO面CAO∴ CO⊥DO

18. 小结 一、二面角的定义 二、二面角的表示方法 三、二面角的平面角 四、二面角的平面角的作法 五、二面角的计算

19. 课后练习： 河堤斜面