Produto Escalar

1. Produto Escalar • Definição • Propriedades • Definição Geométrica • Ângulos Diretores e Cossenos Diretores • Projeção de um vetor em uma dada direção

2. Produto Escalar • Definição Dados dois vetores na base ortonormal O produto escalar: Exemplo: Determine o produto escalar entre u e v. Obs: Para calcular-se o produto escalar é necessário que ambos os vetores sejam conhecidos. O produto escalar é representado por ou < , >. O resultado é um valor real positivo, negativo ou nulo.

3. Propriedades Comutativa 2. 3. Distributiva 4. Módulo de um vetor. 5. Ângulo entre dois vetores

4. Definição Geométrica 5. Ângulo entre dois vetores Relações métricas em um triângulo qualquer. Lei dos Cossenos: Portanto o ângulo entre os vetores Consequencia: Se u e v diferentes de zero, então u.v=0 se e somente se q=p/2 ou u é perpendicular a v

5. Exemplo: Dados os vetores u=(3,5) e v=(-2,4), na base ortornormal determine o ângulo entre u e v. y x Dados os vetores u=(2,3,3) e v=(1,-2,4), na base ortornormal determine o ângulo entre u e v. z y x

6. Ângulos Diretores e Cossenos Diretores z Considerando-se a base ortonormal e o vetor uK0, a,b,g são os respectivos ângulos diretores entre u e os respectivos versores da base y Lembrado: x Calculando-se: São os cossenos diretores de u.

7. Proposições: 1. Prova: 2. As coordenadas de um versor são os seus cossenos diretores

8. Exemplo: Dado o vetor v=(1,-1,0) na base ortonormal : Determine os cossenos e os ângulos diretores de v. Determine a o versor. b) A partir dos cossenos diretores: R: a) z y x

9. Projeção de um vetor em uma dada direção Dado um vetor u, na base ortornormal (i,j), o módulo da projeção do vetor no eixo x (direção i) corresponde ao cateto adjacente ao ângulo q mostrado na figura à direita. y x Desta forma, o vetor projeção fica: Podendo-se escrever da seguinte forma, lê-se Projeção de u na direção i. Utilizando-se o produto escalar entre u e o vetor unitário da direção x (i) tem-se: Comparando-se os resultados conclui-se que: A projeção de um vetor em uma dada direção nada mais é do que o produto escalar deste vetor com o vetor unitário da direção vezes o vetor unitário da direção.

10. Desta forma, para se determinar a projeção do vetor v na direção do vetor u basta: Determinar o vetor unitário da direção de u; Calcular o produto escalar deste vetor unitário com o vetor v; Finalmente multiplicar-se o resultado pelo vetor unitário da direção de u. y 1. 2. 3. x Rigorosamente:

11. Exemplo: dados u=(1,2,1) e v=(2,1,0) na base ortonormal (i,j,k), determine: a) b) a) b)

12. E´o Fim E´o Fim P e r g u n t a s?